Prodotto interno

In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale $V$ , detto $Λ^{p} V$ l'insieme delle $p$ -forme su $V$ , per ogni vettore $X \in V$ si definisce $ι_{X}$ l'applicazione

ι_{X} : Λ^{p} V \to Λ^{p - 1} V

ω \mapsto ι_{X} ω

per cui

(ι_{X} ω) (X_{1}, \dots, X_{p - 1}) = ω (X, X_{1}, \dots, X_{p - 1})

Pertanto, il prodotto interno agisce su una $p$ -forma restituendo una $(p - 1)$ -forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

Linearità in $ω$
Linearità in $X$
Regola di Leibniz graduata: $ι_{X} (ω \land ξ) = (ι_{X} ω) \land ξ + (- 1)^{p} ω \land ι_{X} ξ ω \in Λ^{p}$
Anticommutatività: $ι_{X} ι_{Y} + ι_{Y} ι_{X} = 0$

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero $ι_{X}^{2} = 0$ . Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado $- 1$ perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

Bibliografia

(EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
(EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
(EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Interior Product, su MathWorld, Wolfram Research.

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