Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche $π$ -sistema, su un insieme $Ω$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di $Ω$ (ovvero $P \subseteq$ $𝒫 (Ω)$ ), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Proprietà

Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un $π$ -sistema.
Se A è un $π$ -sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un $π$ -sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano $μ$ e $ν$ misure su uno spazio misurabile $(X, Σ)$ e sia $ℐ$ un $π$ -sistema che generi $Σ$ . Se

$μ (X) = ν (X) < \infty$

$μ |_{ℐ} = ν |_{ℐ}$

allora $μ = ν$

Bibliografia

Allan Gut, Probability: A Graduate Course, New York, Springer, 2005, DOI:10.1007/b138932, ISBN 0-387-22833-0.
David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 2007, ISBN 0-521-40605-6.

Voci correlate

Lemma di Dynkin

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