Regole di Feynman

Le regole di Feynman in teoria quantistica dei campi sono un insieme di regole che permettono di calcolare un contributo ad una funzione di correlazione a partire dal diagramma di Feynman corrispondente.

Esse possono essere ricavate direttamente dall'azione sfruttando alcune regole base, rivelandosi dunque molto potenti nel caso di calcoli perturbativi in QFT.

Requisti dell'azione

L'azione di una QFT locale soddisfa tre requisti principali:

è uno scalare di Lorentz;
è reale;
contiene tutti ed i soli termini rinormalizzabili.

Teoria scalare

Si consideri il caso di una teoria contenente un solo campo scalare reale $ϕ$ per semplicità. Allora l'azione sarà una somma di termini del tipo $A ϕ^{n} (\partial_{μ} ϕ)^{m}$ , ovvero prodotto di potenze del campo e delle sue derivate. La costante $A$ è una costante in generale dimensionata che stabilisce quanto sia "forte" il vertice in questione, ed è detta costante di accoppiamento. Affinché soddisfi le proprietà precedentemente elencate, notiamo che è necessario che $m$ sia pari per poter contrarre tutti gli indici di Lorentz e che, considerando uno spaziotempo in 4 dimensioni, $n + 2 m$ sia minore o uguale a 4 affinché la teoria sia rinormalizzabile. Dunque tutti ed i soli vertici possibili di questa teoria sono: $(\partial_{μ} ϕ) (\partial^{μ} ϕ)$ , $ϕ$ (di solito non considerato imponendo che l'energia del vuoto sia nulla), $ϕ^{2}$ , $ϕ^{3}$ (di solito non considerato imponendo la simmetria $ℤ^{2}$ ) e $ϕ^{4}$ .

Il termine con due derivate e quello quadratico compongono quello che in generale viene detto termine cinetico. La regola di Feynman associata impone di corrispondere ad ogni linea interna di un diagramma di Feynman un fattore caratteristico della teoria detto propagatore.

Per il caso degli altri vertici, il caso generale è quindi $A ϕ^{n}$ e la regola di Feynman associata impone di associare un fattore $i A$ ad ogni vertice in cui contribuiscono $n$ campi scalari. L'unità immaginaria è introdotta dato l'esponente dell'integrale sui cammini.

Consideriamo ora il caso a più campi senza derivate. Se abbiamo due campi scalari reali $ϕ$ e $χ$ , allora ad un termine del tipo $A ϕ^{n} χ^{m}$ associamo un vertice in cui interagiscono $n$ campi $ϕ$ e $m$ campi $χ$ , e la regola di Feynman associata sarà $i A$ .

Campi complessi

Se abbiamo un campo scalare complesso oppure un campo fermionico, è essenziale distinguere il campo dal suo complesso coniugato.La motivazione è più facilmente intuibile nella quantizzazione canonica della teoria.

Nel caso scalare, il campo $ϕ$ è associato alla distruzione di particelle ed alla creazione di antiparticelle, mentre il suo complesso coniugato $ϕ^{*}$ ha un comportamento opposto. Dato che la lagrangiana deve essere reale, consideriamo il caso di un vertice del tipo $A (ϕ^{*} ϕ)^{n}$ . A tale termine corrisponde quindi un vertice che può essere interpretato in più modi: se nel vertice entrano $p$ particelle e $q$ antiparticelle, allora usciranno $n - q$ particelle ed $n - p$ antiparticelle, con $0 \leq p, q \leq n$ . Al vertice corrisponderà comunque un fattore $i A$ .

Un analogo discorso vale per un campo fermionico $ψ$ ed il suo aggiunto $\bar{ψ} = ψ^{†} γ^{0}$ . È importante notare come l'ordine degli indici spinoriali va rispettato nella costruzione dell'espressione algebrica a partire dal diagramma.

Vertici con derivate

Se nell'azione abbiamo un termine con le derivate, ad esempio $\partial_{μ} ϕ$ , allora considereremo la sostituzione $\partial_{μ} \to - i p_{μ}$ dettata dalla trasformata di Fourier, dato che le regole di Feynman sono comunemente date nello spazio dei momenti.

Bisogna fare attenzione al fatto che tale sostituzione è valida per particelle uscenti dal vertice, associate ad un'onda piana $\exp {- i p x} = \exp {- i E t + i \vec{p} \cdot \vec{x}}$ . Per una particella entrante, associata ad un'onda piana $\exp {i p x}$ , la sostituzione da effettuare sarà $\partial_{μ} \to i p_{μ}$ .

Voci correlate

Bibliografia

Mark Srednicki, Quantum Field Theory, 2006, DOI:10.1017/CBO9780511813917.

Portale Fisica

Portale Quantistica