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Babb inizia il suo percorso professionale nei Paesi Bassi, facendo parte della rosa dell'Utrecht, pur senza essere impiegata nell'edizione 2013-2014 del campionato di BeNe League. Nella stagione 2017-18 è nell'organico dell'Excelsior/Barendrecht marcando almeno una presenza nel campionato di Eredivisie.
Nella successiva stagione si trasferisce nella squadra rumena dell'U Olimpia Cluj, prima sua esperienza professionale all'estero, debuttando in amichevole con il MTK Hungária durante la preparazione estiva precampionato Nell'agosto 2018 debutta in UEFA Women's Champions League, giocando tutti tre incontri del gruppo 6 nelle qualificazioni alla fase a eliminazione diretta dell'edizione 2018-2019, nel quale le campionesse di Romania in carica chiudono al secondo posto con 2 vittorie e una sconfitta, con le ucraine dello Žytlobud-1 Charkiv, venendo eliminate dal torneo.
Nell'estate 2019 inizia la stagione con le campionesse di Cipro dell'Apollōn Lemesou, con le quali affronta per la seconda volta la Champions League come vice del portiere titolare, la statunitense Cassie Miller, rimanendo in panchina in tutti i tre incontri del gruppo 7 nelle qualificazioni alla fase a eliminazione diretta dell'edizione 2019-2020, Anche in questo caso Babb e compagne falliscono il passaggio del turno chiudendo il minitorneo al secondo posto con 2 vittorie e la sconfitta di misura con le portoghesi del Braga.
Compromesso il percorso nel torneo UEFA, Babb si svincola per trasferirsi nella squadra spagnola dell'Huelva. Il tecnico Antonio Toledo selezionò l'inglese Chelsea Ashurst, appena ritornata nel club andaluso dopo sei anni, come titolare, pertanto Babb passò la stagione come riserva. Giocò due sole partite da titolare, nella sconfitta interna per 2-0 con la Real Sociedad alla 12ª giornata di campionato e nella sconfitta per 4-0 con il Barcellona agli ottavi di finale di Coppa della Regina.
Dall'estate 2020 all'estate 2026 è sempre stata una giocatrice tesserata con il Milan, del quale è stato anche vice-capitano. Tuttavia, la presenza in organico del portiere della nazionale italiana Laura Giuliani le ha sempre lasciato poco spazio. Unica parentesi del periodo è stata la cessione in prestito alla Sampdoria nella stagione 2021-22 in Serie A, condividendo il ruolo con Amanda Tampieri. Rimase con le blucerchiate solamente fino a dicembre 2021, tornando nella squadra rossonera. Il Milan decise di investire nuovamente sul portiere olandese rinnovandole il contratto il 18 agosto 2023 per ulteriori tre stagioni.
Dopo aver concluso la stagione 2023-2024 giocando l'ultimo incontro della poule salvezza, vinta per 3-1 sulle ex compagne della Sampdoria, inizia la preparazione precampionato nel tour americano che la vede impiegata nell'amichevole contro il Monterrey. Tuttavia, problemi articolari alla gamba sinistra si acutizzano tanto da rendere necessari nell'ottobre di quell'anno degli accertamenti medici che rivelano una lesione menisco mediale al ginocchio. Il periodo di convalescenza è stato funestato da una serie di problemi che l'hanno costretta a sottoporsi ad altri due interventi, nel marzo 2025 e nell'ottobre 2025, compromettendo il suo totale recupero e il reintegro in rosa. Con l'obiettivo di tornare pienamente operativa prima dell'inizio della stagione 2025-2026, l'ultima sua stagione in rossonero si conclude con nessuna presenza nei tre tornei disputati dalla sua squadra.
Scaduti i termini di contratto, nel corso della sessione estiva di calciomercato 2026 si è trasferita al Como Women a titolo definitivo.
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