Serie di Neumann

In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

\sum_{n = 0}^{\infty} T^{n}

dove $T$ è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

Proprietà

Sia $T$ un operatore limitato su uno spazio normato $X$ . Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora $I d - T$ è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

(I d - T)^{- 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} T^{n}

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando $X$ è uno spazio di Banach e $| | T | | < 1$ nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach $B$ e $B^{'}$ è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia $S : B \to B^{'}$ un operatore invertibile e sia $T : B \to B^{'}$ un altro operatore. Se $| S - T | < | S^{- 1} |^{- 1}$ , allora anche $T$ è invertibile. Questo segue da scrivere $T$ come:

T = S (I d - (I d - S^{- 1} T))

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di $T^{- 1}$ può essere limitata da:

| T^{- 1} | \leq \frac{1}{1 - q} | S^{- 1} | dove q = | S - T | | S^{- 1} |

Bibliografia

(EN) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Springer Verlag, 2005, ISBN 3-540-43586-7.
(EN) Smithies, Integral equations , Cambridge University Press (1970) pp. Chapt. II
(EN) N. Suzuki, On the convergence of Neumann series in Banach space Math. Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
(EN) H.W. Engl, A successive-approximation method for solving equations of the second kind with arbitrary spectral radius J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
(EN) I.C. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory , Birkhäuser (1981)
(EN) A.E. Taylor, D.C. Lay, Introduction to functional analysis , Wiley (1980) pp. Chapt. 5

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) B.V. Khvedelidze, Neumann series, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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