Teorema di Ceva
Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.
Enunciato
Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:
Dimostrazione
Si considerino i triangoli e . Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti e , basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula , per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:
- .
Similmente si può dimostrare che vale anche:
e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:
Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:
possiamo infine scrivere che:
Ragionando in modo analogo per i lati e scriveremo anche le proporzioni:
- .
Moltiplicando tra loro le tre proporzioni così ottenute si nota che i vari termini si semplificano a vicenda dando come risultato 1:
Forma trigonometrica
La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:
Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.
Voci correlate
Altri progetti
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Ceva
Collegamenti esterni
- Dimostrazione e conseguenze del teorema, su lorenzoroi.net.
