Ceviana

In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto ceviano – le cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di Ceva – designando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

Lunghezza

Teorema di Stewart

La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana $d$ è data dalla formula:

b^{2} m + c^{2} n = a (d^{2} + m n) .

Mediana

La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

m (b^{2} + c^{2}) = a (d^{2} + m^{2})

oppure

2 (b^{2} + c^{2}) = 4 d^{2} + a^{2}

da cui

a = 2 m .

In questo caso

d = \sqrt{\frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}} .

Bisettrice

La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

(b + c)^{2} = a^{2} (\frac{d^{2}}{m n} + 1),

e

d^{2} + m n = b c

e

d = \frac{2 \sqrt{b c s (s - a)}}{b + c}

dove $s = (a + b + c) / 2$ è il semiperimetro.

Il lato di lunghezza $a$ è diviso secondo la proporzione $b : c$ .

Altezza

La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

d^{2} = b^{2} - n^{2} = c^{2} - m^{2}

e

d = \frac{2 \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}}{a},

dove $s = (a + b + c) / 2$ è il semiperimetro.

Ceviane concorrenti

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.

È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

o_{i} = \frac{\sqrt{l_{j} l_{k} [l_{j} l_{k} (ω_{j}^{2} + ω_{k}^{2}) + ω_{j} ω_{k} (l_{j}^{2} + l_{k}^{2} - l_{i}^{2})]}}{l_{j} ω_{j} + l_{k} ω_{k}}

dove l_x indica il lato e ω_x la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti r_i tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

r_{a} = \frac{A O}{O A^{'}}

;

r_{b} = \frac{B O}{O B^{'}}

;

r_{c} = \frac{C O}{O C^{'}}

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

r_{a} + r_{b} + r_{c} = \frac{b β + c γ}{a α} + \frac{a α + c γ}{b β} + \frac{a α + b β}{c γ}

r_{a} r_{b} r_{c} = \frac{(a α + b β) (b β + c γ) (a α + c γ)}{a b c α β γ}

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.

Note

↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
↑ Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Cevian, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, Cambridge University Press, 1995 ISBN 978-0-88385-639-0, p. 13 et 137.
(EN) Vladimir Karapetoff, Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle, American Mathematical Monthly, 36 (1929), 476–9 jstor.

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[Johnson-1] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.

[2] Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141