Ultrafiltro
In teoria degli insiemi un ultrafiltro è un filtro proprio sull'insieme tale che ogni sottoinsieme di o il suo complemento appartiene ad , in formule
Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.
Proprietà
Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia un elemento di , e il filtro principale generato da . Allora, per ogni sottoinsieme di , se , allora . Se invece , per la definizione di insieme complemento, e quindi .
In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.
Il filtro cofinito, cioè l'insieme dei sottoinsiemi cofiniti di , non è un ultrafiltro. Infatti sia un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di tranne un numero finito. Se è finito, non è un filtro proprio: infatti l'insieme ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in , ma contiene e dunque non è un filtro proprio. Se invece è infinito, tale che sia che sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in .
Ultrafiltro limite
Ultrafiltro libero
Un ultrafiltro su di un insieme si definisce libero quando contiene il filtro cofinito .
Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.
Bibliografia
- Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics, in The Journal of Symbolic Logic, vol. 52, n. 2, giugno 1987, pp. 437-454.
