Spazio ultrametrico

In topologia, uno spazio ultrametrico è uno speciale spazio metrico che soddisfa una versione rinforzata della disuguaglianza triangolare.

Definizione

Uno spazio ultrametrico è un insieme di punti X con una funzione $d : X \times X \to ℝ$ che soddisfi le seguenti proprietà per ogni x,y,z in X:

$d (x, y) \geq 0$
$d (x, y) = 0$ se e solo se $x = y$
$d (x, y) = d (y, x)$
$d (x, z) \leq max {d (x, y), d (y, z)}$

La funzione d è detta ultrametrica (o supermetrica o metrica non archimedea).

Esempi di spazi ultrametrici

Un linguaggio formale, cioè un insieme di stringhe di lunghezza arbitraria su un dato alfabeto, munito della distanza che associa $2^{- n}$ a due stringhe che differiscono per la prima volta nell'n-esima posizione;
I numeri p-adici con la metrica data da $d (x, y) = p^{- n}$ , dove n è l'unico intero tale che $x - y = p^{n} (a / b)$ (con a e b interi non divisibili per p). Tale spazio è anche completo;
Lo spazio delle successioni complesse $(x_{n})_{n}$ con la metrica indotta dalla funzione $| x |_{r} = \underset{n}{lim sup} | x_{n} |^{r_{n}}$ , dove $(r_{n})_{n}$ è una data successione reale decrescente a zero.

Proprietà

Se x, y e z sono tre punti di uno spazio ultrametrico, non è possibile che le distanze tra due di essi siano tutte diverse. Infatti, se così fosse, tra di esse ci sarebbe un massimo, che evidentemente non potrebbe soddisfare la proprietà 4 della definizione. Per rendere intuitiva questa proprietà si può dire, un po' impropriamente, che in uno spazio ultrametrico tutti i triangoli sono isosceli.

Definendo inoltre la palla esattamente come in uno spazio metrico, cioè $B (x, r) = {z \in X : d (x, z) < r}$ allora

Ogni punto all'interno di una palla è il suo centro;
Se due palle si intersecano, allora una è contenuta nell'altra;
Tutte le palle sono sia aperte che chiuse nella topologia indotta;
L'insieme delle palle di raggio r centrate nei punti di una palla chiusa avente lo stesso raggio forma una partizione di quest'ultima.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Ultrametric, su MathWorld, Wolfram Research.

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