Distribuzione Beta

Distribuzione B(α,β)
	Funzione di densità di probabilità ;
	Funzione di ripartizione;
Parametri	α,β>0
Supporto	[0,1]
Funzione di densità	xα−1(1−x)β−1B(α,β)
Funzione di ripartizione	Ix(α,β) ; (funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	αα+β
Moda	α−1α+β−2 se α,β>1 ; 0 se α<1 e β⩾1 ; 1 se α⩾1 e β<1
Varianza	αβ(α+β)2(α+β+1)
Indice di asimmetria	2β−αα+β+2α+β+1αβ
Funzione generatrice dei momenti	1+∑k=1∞(∏r=0k−1α+rα+β+r)tkk!
Funzione caratteristica	1F1(α;α+β;it)
	Manuale

In teoria delle probabilità e in statistica, la distribuzione $B$ (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri $α$ e $β$ sull'intervallo unitario $[0, 1]$ .

Questa distribuzione nasce in modo molto naturale nella inferenza bayesiana, perché governa la probabilità $p$ di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di $α - 1$ "successi" e $β - 1$ "fallimenti", quando $p$ è a priori distribuita uniformemente tra $0$ e $1$ .

Definizione

La distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ (entrambi positivi) è definita sull'intervallo $[0, 1]$ con funzione di densità di probabilità

f (x) = \frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)}

.

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione

x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}

,

riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta

B (α, β) = \int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x

;

in questo modo ha probabilità totale $P (X \in [0, 1]) = 1$ .

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata

F (x) = I_{x} (α, β) = \frac{B_{x} (α, β)}{B (α, β)} = \frac{\int_{0}^{x} t^{α - 1} (1 - t)^{β - 1} d t}{\int_{0}^{1} t^{α - 1} (1 - t)^{β - 1} d t}

.

Caratteristiche

I momenti semplici di una variabile aleatoria $X$ con distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ sono

μ_{k} = E [X^{k}] = \frac{\int_{0}^{1} x^{α + k - 1} (1 - x)^{β - 1} d x}{\int_{0}^{1} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1} d x} = \frac{B (α + k, β)}{B (α, β)} = \frac{(α)_{k}}{(α + β)_{k}}

,

dove $x_{k}$ indica il fattoriale crescente con k fattori, $(x)_{k} = x (x + 1) \dots (x + k - 1)$ . (L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma, $B (α, β) = Γ (α) Γ (β) / Γ (α + β)$ e dalla proprietà $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ .)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva

μ_{k + 1} = \frac{α + k}{α + β + k} μ_{k}

.

In particolare, la distribuzione ha:

valore atteso $E [X] = \frac{α}{α + β}$ ;
varianza $Var (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ ;
indice di asimmetria $γ_{1} = 2 \frac{β - α}{α + β + 2} \sqrt{\frac{α + β + 1}{α β}}$ ;
indice di curtosi $γ_{2} = 6 \frac{α^{3} - 2 α^{2} β - 2 α β^{2} + β^{3} + α^{2} - 4 α β + β^{2}}{α β (α + β + 2) (α + β + 3)}$ .

Invertendo le relazioni qui sopra, che forniscono il valore atteso e la varianza in funzione dei parametri $α$ e $β$ , possiamo esprimere univocamente i suddetti parametri in termini del valore atteso e della varianza:

α = E [X] (\frac{E [X] (1 - E [X])}{Var (X)} - 1)

;

β = (1 - E [X]) (\frac{E [X] (1 - E [X])}{Var (X)} - 1)

.

Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti, con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è

H (X) = \log B (α, β) - (α - 1) ϝ (α) - (β - 1) ϝ (β) + (α + β - 2) ϝ (α + β)

,

dove $ϝ$ è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di $α - 1$ e $β - 1$ , ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:

se

α > 1

e

β > 1

allora la moda è

\frac{α - 1}{α + β - 2}

;

se

α > 1

(o

α = 1

) e

β < 1

allora la moda è 1;

se

β > 1

(o

β = 1

) e

α < 1

allora la moda è 0.

(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se $α < 1$ , in 1 se $β < 1$ .)

Relazioni con altre distribuzioni

Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo $[a, b]$ , costruendo una nuova variabile casuale $Y = a + (b - a) X$ .

Se $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ allora $1 - X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(β, α)$ .

La distribuzione Beta di parametri $(1, 1)$ corrisponde alla distribuzione continua uniforme $𝒰 ([0, 1])$ sull'intervallo unitario.
La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta: essa descrive la distribuzione a posteriori dei parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori, appunto, di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.
Per $α = β = \frac{3}{2}$ la densità di probabilità del tipo Beta $f (x) = \sqrt{x (1 - x)}$ è, in termini geometrici, la metà superiore di una circonferenza: $(2 f (x))^{2} + (2 x - 1)^{2} = 1$ , descrive un semicerchio. La variabile aleatoria $Y = r (2 X - 1)$ segue una distribuzione di Wigner di parametro r.
Se $X$ e $Y$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri $(α, θ)$ e $(β, θ)$ , allora la variabile aleatoria $\frac{X}{X + Y}$ segue la distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ .
Se la variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ allora la variabile aleatoria $T = \frac{X}{1 - X}$ è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità

f (t) = \frac{x^{α - 1} / (1 - x)^{α + β}}{B (α, β)}

La distribuzione di Wilks $Λ (p, m, n)$ può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto $X_{1} \dots X_{n}$ di n variabili aleatorie indipendenti $X_{1}, ..., X_{n}$ con rispettivi parametri $(\frac{m + 1 - p}{2}, \frac{p}{2}), ..., (\frac{m + n - p}{2}, \frac{p}{2})$ .
Se $Y$ è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri $(a, b)$ allora $X = Y^{a}$ segue la distribuzione Beta di parametri $(1, b)$ .

Inferenza bayesiana

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli

E' immediato dimostrare che, se X è distribuita come una v.c. binomiale con parametri n e π

f (x | π) = B i n o m (x | n; π)

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

g (π) = B e t a (π | a; b)

allora il parametro π è distribuito a posteriori, anch'esso, come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

g (π | x) = B e t a (π | a + x; b + n - x)

Come detto in precedenza, qualora il parametro π sia distribuito a priori come una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori del parametro π è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

g (π | x) = (n + 1) (\binom{n}{x}) π^{x} (1 - π)^{n - x}

essa ha come valore modale p

p = \frac{x}{n}

, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico, mentre il valore atteso o media, è

p = \frac{x + 1}{n + 2}

, che per x<n/2 è maggiore del valore modale

\frac{x}{n}

. Il valore atteso minimizza lo scarto quadratico.

Infatti, la probabilità di ottenere $α - 1$ successi e $β - 1$ fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è $(\binom{α + β - 2}{α - 1}) p^{α - 1} (1 - p)^{β - 1}$ , proporzionale alla densità $f (p)$ della distribuzione Beta di parametri $(α, β)$ .

Pertanto, come detto sopra, se la variabile aleatoria $S$ segue una distribuzione binomiale $ℬ (P, α + β - 2)$ con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario $[0, 1]$ , a posteriori dell'osservazione $S = α - 1$ il parametro P segue la distribuzione $B (α, β)$ .

Più in generale, se $S$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale $ℬ (P, n)$ e il parametro P segue a priori la distribuzione $B (α, β)$ , allora a posteriori dell'osservazione $S = s$ il parametro P segue la distribuzione $B (α + s, β + n - s)$ .

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo $B (1, 1) = 𝒰 (0, 1)$ .

Priori coniugate e la v.c. binomiale negativa

Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa con parametri m e θ

f (x | θ) = B i n N e g (x | m; θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

g (θ) = B e t a (θ | a; b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

g (θ | x) = B e t a (θ | a + m; b + x)

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t

t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria $T$ segue la distribuzione di Pascal $𝒩 ℬ (P, n)$ e P segue a priori la distribuzione $B (α, β)$ , allora a posteriori dell'osservazione $T = t$ il parametro P segue la distribuzione $B (α + n, β + t)$ .

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Beta Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4144975-7

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Distribuzione $B (α, β)$
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	$α, β > 0$
Supporto	$[0, 1]$
Funzione di densità	$\frac{x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}}{B (α, β)}$
Funzione di ripartizione	$I_{x} (α, β)$ (funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	$\frac{α}{α + β}$
Moda	$\frac{α - 1}{α + β - 2}$ se $α, β > 1$ $0$ se $α < 1$ e $β ⩾ 1$ $1$ se $α ⩾ 1$ e $β < 1$
Varianza	$\frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$
Indice di asimmetria	$2 \frac{β - α}{α + β + 2} \sqrt{\frac{α + β + 1}{α β}}$
Funzione generatrice dei momenti	$1 + \sum_{k = 1}^{\infty} (\prod_{r = 0}^{k - 1} \frac{α + r}{α + β + r}) \frac{t^{k}}{k!}$
Funzione caratteristica	$_{1} F_{1} (α; α + β; i t)$
Manuale