Unità di misura di Planck

Nella fisica delle particelle e nella cosmologia, le unità di Planck sono un insieme di unità di misura definite esclusivamente in termini di cinque costanti fisiche universali, in modo tale che queste cinque costanti fisiche assumano il valore numerico di 1 quando espresse in termini di queste unità.

Originariamente proposte nel 1899 dal fisico tedesco Max Planck, queste unità sono anche conosciute come unità naturali perché l'origine della loro definizione deriva solo da proprietà della natura e non da alcun costrutto umano, come ad esempio l'intensità luminosa (misurata in candele), il flusso luminoso (misurato in lumen), e la dose equivalente (misurata in Sievert), né derivano da qualsiasi proprietà della terra o dell'universo (come per esempio accade per l'accelerazione di gravità, l'atmosfera standard o la costante di Hubble), né da qualsiasi caratteristica di una data sostanza (come il punto di fusione dell'acqua, la densità dell'acqua o la capacità termica specifica dell'acqua).

Le unità di Planck sono solo un insieme di più sistemi di unità naturali, ma non si basano sulle proprietà di alcun oggetto prototipo o particella che sarebbe scelta arbitrariamente (come la carica elementare, la massa a riposo dell'elettrone o la massa a riposo del protone), ma piuttosto si basano sulle proprietà dello spazio libero: difatti la velocità di Planck è la velocità della luce, il momento angolare di Planck è la costante ridotta di Planck, la resistenza di Planck è l'impedenza di spazio libero, l'entropia di Planck è la costante di Boltzmann, tutte sono proprietà dello spazio libero. Le unità di Planck hanno un significato rilevante per la fisica teorica poiché semplificano diverse espressioni algebriche mediante la cosiddetta non dimensionalizzazione. Sono altresì rilevanti nella ricerca su teorie unificate come la gravità quantistica.

Il termine scala di Planck si riferisce alle magnitudini di spazio, tempo, energia e altre unità, al di sotto delle quali (od oltre le quali) le previsioni del Modello standard, la teoria quantistica dei campi e la relatività generale non sono più riconciliabili, e si prevedono dominare gli effetti quantistici della gravità. Questa regione può essere caratterizzata da energie tra i $5.52 \times 1 0^{8} J$ e i $1.96 \times 1 0^{9} J$ (chiamate appunto energie di Planck), intervalli di tempo tra i $1.91 \times 1 0^{- 43} s$ e i $5.39 \times 1 0^{- 44} s$ (chiamati tempi di Planck) e lunghezze tra i $5.73 \times 1 0^{- 35} m$ e i $1.62 \times 1 0^{- 35} m$ (chiamate lunghezze di Planck). Su scala Planck, non ci si aspetta che i modelli attuali siano una guida utile al cosmo, e i fisici non hanno un modello scientifico per suggerire come si comporta l'universo fisico. L'esempio più noto è rappresentato dalle condizioni nei primi $1 0^{- 43}$ secondi del nostro universo dopo il Big Bang, circa 13,8 miliardi di anni fa. Nel nuovo 2019 CODATA da NIST si prevede di usare le unità di Planck come future unità in sostituzione delle unità attuali internazionali di riferimento.

Esistono due versioni delle unità di Planck, la versione di Lorentz – Heaviside (chiamata anche razionalizzata) e la versione gaussiana (chiamata anche non razionalizzata).

Le costanti universali che le unità di Planck, per definizione, normalizzano a $1$ sono:

la velocità della luce nel vuoto, $c$ , (nota anche come velocità di Planck)
la costante gravitazionale, G
- $G$ per la versione gaussiana, $4 π G$ per la versione Lorentz – Heaviside
la costante ridotta di Planck, $ℏ$ , (nota anche come azione di Planck)
la permittività del vuoto, ε0 (nota anche come permittività di Planck)
- $ε_{0}$ per la versione Lorentz – Heaviside, $4 π ε_{0}$ per la versione gaussiana
la costante di Boltzmann, $k_{B}$ (nota anche come capacità termica di Planck).

Ciascuna di queste costanti può essere associata a una teoria o concetto fisico fondamentale:

$c$ con la relatività speciale,
$G$ con la relatività generale,
$ℏ$ con la meccanica quantistica,
$ε_{0}$ con l'elettromagnetismo,
$k_{B}$ con le nozioni dell'entropia, della meccanica statistica e della termodinamica.

Introduzione

A qualsiasi sistema di misura può essere assegnato un insieme reciprocamente indipendente di quantità di base e unità di misura di base associate, da cui possono derivare tutte le altre quantità e unità. Nel Sistema internazionale, ad esempio, le quantità di base includono la lunghezza con l'unità associata del metro. Nel sistema di unità di Planck, è possibile selezionare un insieme simile di quantità di base e l'unità di base Planck per la lunghezza è quindi nota semplicemente come lunghezza di Planck, l'unità di base del tempo è il tempo di Planck, e così via. Queste unità sono derivate dalle costanti fisiche universali a cinque dimensioni della Tabella 1, in modo tale che queste costanti vengano eliminate dalle equazioni fondamentali delle leggi della fisica quando le quantità fisiche sono espresse in termini di unità di Planck. Ad esempio, la legge di gravitazione universale di Newton

\begin{matrix} F & = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \\ = (\frac{F_{P} l_{P}^{2}}{m_{P}^{2}}) \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \end{matrix}

può essere espressa come:

$\frac{F}{F_{P}} = \frac{(\frac{m_{1}}{m_{P}}) (\frac{m_{2}}{m_{P}})}{{(\frac{r}{l_{P}})}^{2}} .$

Entrambe le equazioni sono dimensionalmente coerenti e ugualmente valide in qualsiasi sistema di unità, ma la seconda equazione, con $G$ mancante, riguarda solo le quantità senza dimensioni poiché qualsiasi rapporto tra due quantità con dimensioni simili è una grandezza adimensionale. Se si intende che ogni grandezza fisica è il rapporto corrispondente ad una coerente unità di Planck (o "espresso in unità di Planck"), i rapporti di cui sopra possono essere espressi semplicemente con i simboli della grandezza fisica, senza essere scalati esplicitamente dalla loro unità corrispondente:

$F = \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} .$

Quest'ultima equazione (senza $G$ ) è valida solo se $F$ , $m_{1}$ , $m_{2}$ e $r$ sono valori numerici senza dimensioni delle stesse grandezze fisiche misurate in termini di unità di Planck. Questo è il motivo per cui le unità di Planck o qualsiasi altro uso di unità naturali devono essere impiegate con attenzione. Riferendosi a $G = c = 1$ , Paul S. Wesson scrisse che:

«Matematicamente è un trucco accettabile che salva il lavoro. Fisicamente rappresenta una perdita di informazioni e può creare confusione.»

Definizione

In fisica, le unità di misura di Planck sono un particolare sistema di unità naturali, in cui cinque costanti hanno valore unitario:

Tabella 1: Unità universali dal 2018 CODATA normalizzate alle unità di Planck
Costante	Simbolo	Dimensioni fisiche	Valore	Teorie associate
Velocità della luce nel vuoto	$c$	$[L] {[T]}^{- 1}$	$299792458 \frac{m}{s}$ (esatta per definizione)	Elettromagnetismo Relatività ristretta
Costante gravitazionale	$G$	${[M]}^{- 1} {[L]}^{3} {[T]}^{- 2}$	$6, 67430 (15) \cdot 1 0^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}}$	Relatività generale Gravità newtoniana
Costante di Planck ridotta	$ℏ = \frac{h}{2 π}$ dove $h$ è la costante di Planck	$[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 1}$	$1, 054571817 \dots \cdot 1 0^{- 34} J s$ (esatta per definizione da h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J⋅s)	Meccanica quantistica
Costante della forza di Coulomb	$\frac{1}{4 π ε_{0}}$ dove $ε_{0}$ è la costante dielettrica nel vuoto	$[M] {[L]}^{3} {[T]}^{- 2} {[Q]}^{- 2}$	$8, 9875517923 (14) \cdot 1 0^{9} \frac{k g \cdot m^{3}}{s^{4} \cdot A^{2}}$	Elettrostatica
Costante di Boltzmann	$k_{B}$	$[M] {[L]}^{2} {[T]}^{- 2} {[Θ]}^{- 1}$	$1, 380649 \cdot 1 0^{- 23} \frac{J}{K}$ (esatta per definizione)	Termodinamica Meccanica statistica
Località di Planck, seconda costante di radiazione	$C_{2} = \frac{h c}{k_{B}}$	$[L] [Θ]$	$0, 01438777 m \cdot K$	Termodinamica Meccanica statistica Elettromagnetismo
Costante di Stefan-Boltzmann	$σ = \frac{π^{2} k_{B}^{4}}{60 ℏ^{3} c^{2}} = \frac{{2 π}^{5} k_{B}^{4}}{15 h^{3} c^{2}}$	$[M] {[T]}^{- 3} {[Θ]}^{- 4}$	$5, 67037441 \dots \cdot 1 0^{- 8} \frac{W}{m^{2} \cdot K^{4}}$	Termodinamica Elettromagnetismo
Carica elementare	$e = q_{e}$	$[Q]$	$1, 602176634 \cdot 1 0^{- 19} C$ (esatta per definizione)	Elettrostatica
Costante di struttura fine o costante di Sommerfeld	$α = α_{e} = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} ℏ c}$	Numero adimensionale	$0, 0072973525693 (11)$ $\frac{1}{137, 035999084 (21)}$	Elettromagnetismo Teoria Atomica

Nota: $L$ = lunghezza, $M$ = massa, $T$ = tempo, $Q$ = carica, $Θ$ = temperatura.

Le unità naturali possono aiutare i fisici a rispondere alcune domande. Frank Wilczek probabilmente ha fatto l'osservazione più acuta:

«…Vediamo che la domanda [posta] non è "Perché la gravità è così debole?" ma piuttosto "Perché la massa del protone è così piccola?". Per le unità di Planck, l'intensità della gravità è semplicemente quella che è, una quantità primaria, mentre la massa del protone è un numero molto piccolo…»

L'intensità della gravità è semplicemente quella che è, così come l'intensità della forza elettromagnetica è semplicemente quella che è. La forza elettromagnetica opera in base alla carica elettrica, diversamente dalla gravità, che opera in base alla massa, così che non sia possibile una diretta comparazione tra le due: è da notare, infatti, come la gravità sia una forza estremamente debole rispetto alla forza elettromagnetica; dal punto di vista delle unità naturali, sarebbe come paragonare le mele con le arance perché la massa e la carica sono grandezze incommensurabili. Vero è che la forza elettrostatica repulsiva tra due protoni che si trovino in uno spazio vuoto surclassa la forza di attrazione gravitazionale tra gli stessi, ma la disparità di intensità delle due forze è una manifestazione del fatto che la carica dei protoni è approssimativamente la carica unitaria, mentre la massa dei protoni è molto inferiore alla massa unitaria.

Le unità di Planck hanno il vantaggio di semplificare molte equazioni fisiche, rimuovendo i fattori di conversione, per questo motivo sono molto usate nella teoria dei quanti.

Risolvendo le cinque equazioni precedenti per le cinque incognite si ottiene un insieme unico di valori per le cinque unità di Planck di base:

Unità di Planck fondamentali

Tabella 2: Unità di Planck dal 2018 CODATA
Dimensione	Formula	versione di Lorentz–Heaviside	Versione gaussiana	Valore di Lorentz-Heaviside	Valore nel Sistema Internazionale gaussiano
Lunghezza di Planck	Lunghezza $[L]$	$l_{P} = \sqrt{\frac{4 π ℏ G}{c^{3}}}$	$l_{P} = \sqrt{\frac{ℏ G}{c^{3}}}$	$5, 729475 \cdot 1 0^{- 35} m$	$1, 616255 (18) \cdot 1 0^{- 35} m$
Massa di Planck	Massa $[M]$	$m_{P} = \sqrt{\frac{ℏ c}{4 π G}}$	$m_{P} = \sqrt{\frac{ℏ c}{G}}$	$6, 139608 \cdot 1 0^{- 9} k g$	$2, 176434 (24) \cdot 1 0^{- 8} k g$
Tempo di Planck	Tempo $[T]$	$t_{P} = \sqrt{\frac{4 π ℏ G}{c^{5}}}$	$t_{P} = \frac{l_{P}}{c} = \sqrt{\frac{ℏ G}{c^{5}}}$	$1, 911147 \cdot 1 0^{- 43} s$	$5, 391247 (60) \cdot 1 0^{- 44} s$
Carica di Planck	Carica elettrica $[Q]$	$q_{P} = \sqrt{ε_{0} ℏ c}$	$q_{P} = \sqrt{4 π ε_{0} ℏ c}$	$5, 290818 \cdot 1 0^{- 19} C$	$1, 875545956 (41) \cdot 1 0^{- 18} C$
Temperatura di Planck	Temperatura $[Θ]$	$Θ_{P} = \sqrt{\frac{ℏ c^{5}}{4 π G {k_{B}}^{2}}}$	$Θ_{P} = \frac{m_{P} c^{2}}{k_{B}} = \sqrt{\frac{ℏ c^{5}}{G k_{B}^{2}}}$	$3, 996674 \cdot 1 0^{31} K$	$1, 416784 (16) \cdot 1 0^{32} K$

Nota: $L$ = lunghezza, $M$ = massa, $T$ = tempo, $Q$ = carica, $Θ$ = temperatura.

Le tre costanti della fisica sono espresse in questo modo semplicemente, mediante l'uso delle unità fondamentali di Planck:

$c = \frac{l_{P}}{t_{P}}$

$ℏ = \frac{m_{P} l_{P}^{2}}{t_{P}}$

$G = \frac{l_{P}^{3}}{m_{P} t_{P}^{2}}$

Nel 1899 Max Planck propose di partire dalle costanti fondamentali (che sono: nella teoria della gravitazione, la costante di Newton $G$ ; nell'elettrostatica la costante di Coulomb $\frac{1}{4 π ε_{0}}$ ; nell'elettromagnetismo e nella relatività la velocità della luce $c$ ; nella termodinamica la costante di Boltzmann $k_{B}$ e nella meccanica quantistica la costante di Planck ridotta $ℏ = \frac{h}{2 π}$ ) per definire le unità di misura di lunghezza, tempo, massa, carica e temperatura, invece di fare il contrario. Ottenne un sistema di misura alternativo basato su «unità di Planck» in cui la costante di Newton è l'attrazione gravitazionale esercitata da due masse di Planck poste alla distanza di Planck, la costante di Coulomb è l'attrazione elettrica esercitata da due cariche di Planck poste alla distanza di Planck, la velocità della luce è la velocità di percorrenza della lunghezza di Planck nel tempo di Planck, la costante di Boltzmann è l'energia termica della temperatura di Planck e la costante di Planck è l'energia della frequenza pari all'inverso del tempo di Planck. Planck fu molto soddisfatto della scoperta delle sue unità di misura perché «mantengono il loro significato in tutti i tempi e luoghi, e risultano sempre uguali anche se misurate dalle intelligenze più disparate», mentre le costanti universali assumono valori diversi a seconda del sistema di misura considerato (il sistema internazionale di misura (SI), piuttosto che il sistema CGS). Le unità di Planck però portano con sé i limiti delle teorie attuali, nel senso che al di sotto delle lunghezze, dei tempi e delle cariche di Planck, o al di sopra delle masse e delle temperature di Planck, la fisica come la conosciamo perde di senso. Quanto ai loro valori, il tempo di Planck è circa $10^{- 43}$ secondi, la lunghezza di Planck è $10^{20}$ volte più piccola di un protone, la massa di Planck è pari a $10^{19}$ protoni e farebbe collassare un quanto in un buco nero, la carica di Planck è $12$ volte maggiore di quella di un elettrone o un protone, la temperatura di Planck, infine, è di circa $10^{30}$ gradi, e un corpo che la raggiungesse emetterebbe radiazioni aventi lunghezze d'onda pari alla lunghezza di Planck.

La tabella definisce chiaramente le unità di Planck in termini di costanti fondamentali. Tuttavia, rispetto ad altre unità di misura come quelle del sistema internazionale, i valori delle unità di Planck, diversi dalla carica Planck, sono conosciuti solo approssimativamente. Ciò è dovuto all'incertezza nel valore della costante gravitazionale $G$ misurata rispetto alle definizioni del SI. Oggi il valore della velocità della luce $c$ nelle unità SI non è soggetto a errori di misurazione, poiché l'unità base SI di lunghezza, il metro, è ora definita come la lunghezza del percorso dalla luce nel vuoto durante un intervallo di tempo di $\frac{1}{299792458}$ di secondo. Quindi il valore di $c$ è ora esatto per definizione e non contribuisce all'incertezza degli equivalenti SI delle unità di Planck. Lo stesso vale per il valore della permittività del vuoto $ε_{0}$ , a causa della definizione di ampere che imposta la permeabilità magnetica del vuoto $μ_{0}$ a $4 π \times 1 0^{- 7} \frac{H}{m}$ : infatti, poiché $μ_{0}$ e $c$ sono ben definite, dalla relazione $μ_{0} ε_{0} = \frac{1}{c^{2}}$ è possibile ricavare un valore di $ε_{0}$ privo di incertezze. Il valore numerico della costante ridotta di Planck $ℏ$ è stato determinato sperimentalmente a 12 parti per miliardo, mentre quello di $G$ è stato determinato sperimentalmente a non migliore di 1 parte su 21300 (o 47000 parti per miliardo). $G$ appare nella definizione di quasi tutte le unità di Planck nelle tabelle 2 e 3, ma non tutte. Quindi l'incertezza nei valori degli equivalenti SI delle unità di Planck deriva quasi interamente dall'incertezza nel valore di $G$ . (La propagazione dell'errore in $G$ è una funzione dell'esponente di $G$ nell'espressione algebrica per un'unità. Poiché tale esponente è $\pm \frac{1}{2}$ per ogni unità base diversa dalla carica di Planck, l'incertezza relativa di ciascuna unità di base è circa la metà di quella di $G$ . Questo è davvero il caso; secondo CODATA, i valori sperimentali degli equivalenti SI delle unità di Planck di base sono noti a circa 1 parte su 43500, o 23000 parti per miliardo). Dopo il 20 maggio 2019, $h$ (e quindi $ℏ = \frac{h}{2 π}$ ) è un valore di riferimento esatto, $k_{B}$ è anch'essa esatta ma, poiché $G$ non è ancora esatta, anche i valori di $ℓ_{P}$ , $m_{P}$ , $t_{P}$ e $θ_{P}$ non sono esatti. Inoltre, $μ_{0}$ (e quindi $ε_{0} = \frac{1}{c^{2} μ_{0}}$ ) non è più esatto (solo la carica $e$ è esatta), quindi anche $q_{P}$ non è esatto come precisione numerica.

Unità di Planck derivate

In qualsiasi sistema di misura, le unità per molte grandezze fisiche possono essere derivate da unità di base. La tabella 3 offre un campione di unità di Planck derivate, alcune delle quali in realtà sono usate raramente. Come per le unità di base, il loro uso è per lo più limitato alla fisica teorica perché la maggior parte di esse è troppo grande o troppo piccola per un uso empirico o pratico, e vi sono grandi incertezze nei loro valor

Table 3: Unità derivate delle unità di Planck
Unità derivata da	Espressione	Equivalente SI
area (L²)	$l_{P}^{2} = \frac{ℏ G}{c^{3}}$	2,6121×10⁻⁷⁰ m²
volume (L³)	$l_{P}^{3} = {(\frac{ℏ G}{c^{3}})}^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(ℏ G)^{3}}{c^{9}}}$	4,2217×10⁻¹⁰⁵ m³
quantità di moto (LMT⁻¹)	$m_{P} c = \frac{ℏ}{l_{P}} = \sqrt{\frac{ℏ c^{3}}{G}}$	6,5249 kg⋅m/s
energia (L²MT⁻²)	$E_{P} = m_{P} c^{2} = \frac{ℏ}{t_{P}} = \sqrt{\frac{ℏ c^{5}}{G}}$	1,9561×10⁹ J
forza (LMT⁻²)	$F_{P} = \frac{E_{P}}{l_{P}} = \frac{ℏ}{l_{P} t_{P}} = \frac{c^{4}}{G}$	1,2103×10⁴⁴ N
densità (L⁻³M)	$ρ_{P} = \frac{m_{P}}{l_{P}^{3}} = \frac{ℏ t_{P}}{l_{P}^{5}} = \frac{c^{5}}{ℏ G^{2}}$	5,1550×10⁹⁶ kg/m³
accelerazione (LT⁻²)	$a_{P} = \frac{c}{t_{P}} = \sqrt{\frac{c^{7}}{ℏ G}}$	5,5608×10⁵¹ m/s²

Alcune unità di Planck, come quella di tempo o di lunghezza, sono molti ordini di grandezza maggiori o minori per essere d'uso pratico, e sono rilevanti solo nella fisica teorica. In alcuni casi, un'unità di Planck suggerisce un limite alla gamma di valori che una grandezza fisica può assumere nelle attuali teorie. Per esempio, l'attuale comprensione del Big Bang si ferma all'epoca di Planck, corrispondente all'età dell'universo di un tempo di Planck. Descrivere l'universo durante l'epoca di Planck comporta una teoria di gravità quantistica, che incorpori gli effetti quantistici nella relatività generale.

Discussione

Nelle "scale di Planck" di lunghezza, tempo, densità o temperatura, si devono considerare sia gli effetti della meccanica quantistica che della relatività generale, ma ciò richiede una teoria della gravità quantistica di cui ancora non conosciamo la forma.

La maggior parte delle unità sono o troppo piccole o troppo grandi per l'utilizzo pratico. Inoltre soffrono di incertezze nella misura di alcune delle costanti su cui sono basate, in particolare la costante gravitazionale $G$ (che ha un'incertezza di 1 su 44000 parti).

La carica di Planck non fu originariamente definita da Planck. È una definizione di unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck, ed è utilizzata in alcune pubblicazioni. È interessante notare che la carica elementare, misurata in termini della carica di Planck, risulta essere:

e = \sqrt{α} q_{P} = 0,085 424 543 1319 (64) q_{P}

dove $α$ è la costante di struttura fine:

α = {(\frac{e}{q_{P}})}^{2} = \frac{e^{2}}{ℏ c 4 π ε_{0}} = \frac{1}{137,035 999 084 (21)}

Si può ritenere che la costante di struttura fine, adimensionale, possieda il proprio valore per via della quantità di carica, misurata in unità naturali (carica di Planck), che gli elettroni, i protoni e altre particelle cariche hanno in natura. Poiché la forza elettromagnetica tra due particelle è proporzionale alle cariche di ciascuna particella (che è proporzionale a $\sqrt{α}$ ), la forza elettromagnetica relativamente alle altre forze è proporzionale a $α$ .

L'impedenza di Planck risulta essere l'impedenza caratteristica del vuoto, $Z_{0}$ , divisa per $4 π$ . Ciò avviene in quanto la costante della forza di Coulomb, $\frac{1}{4 π ε_{0}}$ , è normalizzata a $1$ nella legge di Coulomb, così come viene fatto nelle unità del sistema CGS, invece che porre a $1$ la permittività del vuoto $ε_{0}$ . Tali considerazioni, insieme al fatto che la costante gravitazionale $G$ è normalizzata a $1$ (invece che $4 π G$ o $8 π G$ o $16 π G$ ), inducono a ritenerla una definizione arbitraria e forse non ottimale nella prospettiva di definire le unità più naturali della fisica come unità di Planck.

«Una convenzione sempre più comune nella letteratura di fisica delle particelle e cosmologia è quella di usare 'unità di Planck ridotte' in cui

8 π G = 1

(così chiamato perché la massa di Planck è ridotta di

\sqrt{8 π}

in queste unità). Queste unità hanno il vantaggio di rimuovere un fattore

8 π

dall'equazione di campo di Einstein, azione di Einstein-Hilbert, equazioni di Friedmann e l'equazione di Poisson per la gravitazione, a scapito di introdurne una nella legge di gravitazione universale. Un'altra convenzione che si vede occasionalmente è di impostare

16 π G = 1

, che fissa il coefficiente di

R

nell'azione di Einstein-Hilbert all'unità. Tuttavia, un'altra convenzione imposta

4 π G = 1

in modo che le costanti dimensionali nella controparti gravitoelettromagnetica (GEM) delle equazioni di Maxwell vengano eliminate. Le equazioni GEM hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'interazione elettromagnetica con massa (o densità di massa) che sostituisce carica (o densità di carica) e

1 / (4 π G)

sostituendo la permittività

ε_{0}

e sono applicabili in campi gravitazionali deboli o spazio-tempo ragionevolmente piatto. Come le radiazioni elettromagnetiche, le radiazioni gravitazionali si propagano alla velocità di

c

e hanno impedenza caratteristica di spazio libero

Z_{0} = \frac{4 π G}{c}

che diventa unitaria se le unità sono definite giudiziosamente in modo che

c = 1

e

4 π G = 1

»

.

La carica, come le altre unità di Planck, non era originariamente definita da Planck. È un'unità di carica che è un'aggiunta naturale alle altre unità di Planck e viene utilizzata in alcune pubblicazioni. La carica elementare $e$ , misurato in termini di unità di Planck, è

e = \sqrt{4 π α} \cdot q_{P} \approx 0.302822121 \cdot q_{P}

(Versione Lorentz – Heaviside)

e = \sqrt{α} \cdot q_{P} \approx 0.085424543 \cdot q_{P}

(Versione gaussiana)

dove $α$ è la costante di struttura fine

α = \frac{k_{e} e^{2}}{ℏ c} \approx \frac{1}{137, 03599911}

α = \frac{1}{4 π} {(\frac{e}{q_{P}})}^{2}

α = {(\frac{e}{q_{P}})}^{2}

La costante di struttura fine $α$ è anche chiamata costante di accoppiamento elettromagnetico, confrontandola così con la costante di accoppiamento gravitazionale $α_{G}$ . La massa a riposo dell'elettrone $m_{e}$ misurata in termini di massa di Planck, è:

$m_{e} = \sqrt{4 π α_{G}} \cdot m_{P} \approx 1.48368 \cdot 1 0^{- 22} \cdot m_{P}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

$m_{e} = \sqrt{α_{G}} \cdot m_{P} \approx 4.18539 \cdot 1 0^{- 23} \cdot m_{P}$ (Versione gaussiana)

dove $α_{G}$ è la costante di accoppiamento gravitazionale:

$α_{G} = \frac{G m_{e}^{2}}{ℏ c} \approx 1, 7518 \cdot 1 0^{- 45}$

$α_{G} = \frac{1}{4 π} {(\frac{m_{e}}{m_{P}})}^{2}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

$α_{G} = {(\frac{m_{e}}{m_{P}})}^{2}$ (Versione gaussiana)

Alcune unità di Planck sono adatte per misurare quantità familiari nel mondo della fisica. Per esempio:

la massa di Planck è di circa $6, 14 μ g$ (versione di Lorentz – Heaviside) o $21, 8 μ g$ (versione gaussiana);
il momento di Planck è di circa $1, 84 N \cdot s$ (versione di Lorentz – Heaviside) o $6, 52 N \cdot s$ (versione gaussiana);
l'energia di Planck è di circa $153 k W \cdot h$ (versione Lorentz – Heaviside) o $543 k W \cdot h$ (versione gaussiana);
l'angolo di Planck è $1$ radiante (entrambe le versioni);
l'angolo solido di Planck è $1$ steradiante (entrambe le versioni);
la carica di Planck è di circa $3, 3$ cariche elementari (versione Lorentz – Heaviside) o $11, 7$ cariche elementari (versione gaussiana);
l'impedenza di Planck è di circa $377 Ω$ (versione Lorentz-Heaviside) o $30 Ω$ (versione gaussiana);
la conduttanza Planck è di circa $2, 65 m S$ (versione Lorentz – Heaviside) o $33, 4 m S$ (versione gaussiana);
la permeabilità di Planck è di circa $1, 26 \frac{μ H}{m}$ (versione Lorentz – Heaviside) o $0, 1 \frac{μ H}{m}$ (versione gaussiana);
il flusso elettrico di Planck è di circa $59, 8 m V \cdot μ m$ (versione Lorentz – Heaviside) o $16, 9 m V \cdot μ m$ (versione gaussiana).

Tuttavia, la maggior parte delle unità di Planck ha ordini di grandezza troppo grandi o troppo piccoli per essere di uso pratico, quindi le unità di Planck come sistema sono realmente rilevanti solo per la fisica teorica. In effetti, $1$ unità di Planck è spesso il valore più grande o più piccolo di una quantità fisica che ha senso secondo la nostra attuale comprensione. Per esempio:

La velocità di Planck è la velocità della luce nel vuoto, la massima velocità fisica possibile nella relatività speciale; 1 miliardesimo della velocità di Planck è di circa 1,079 km/h.
La nostra comprensione del Big Bang inizia con l'epoca di Planck, quando l'universo aveva $1$ tempo di Planck e $1$ lunghezza di Planck di diametro, e aveva una temperatura di Planck pari a $1$ . In quel momento, la teoria quantistica, come attualmente intesa, diventa applicabile. Comprendere l'universo quando era meno di $1$ tempo di Planck richiede una teoria della gravità quantistica che incorporerebbe gli effetti quantistici nella relatività generale. Tale teoria non esiste ancora.

Nelle unità di Planck abbiamo:

α = \frac{e^{2}}{4 π}

(Versione Lorentz – Heaviside)

α = e^{2}

(Versione gaussiana)

α_{G} = \frac{m_{e}^{2}}{4 π}

(Versione Lorentz – Heaviside)

α_{G} = m_{e}^{2}

(Versione gaussiana)

dove:

α

è la costante di struttura fine

e

è la carica elementare

α_{G}

è la costante di accoppiamento gravitazionale

m_{e}

è la massa di riposo dell'elettrone

da qui la carica specifica dell'elettrone

(\frac{e}{m_{e}})

è

\sqrt{\frac{α}{α_{G}}}

Carica specifica di Planck, in entrambe le versioni delle unità di Planck.

Significato

Le unità di Planck sono prive di arbitrarietà antropocentrica. Alcuni fisici sostengono che la comunicazione con l'intelligenza extraterrestre dovrebbe impiegare un tale sistema di unità per essere compresa. A differenza del metro e del secondo, che esistono come unità di base nel sistema SI per ragioni storiche, la lunghezza di Planck e il tempo di Planck sono concettualmente collegati a un livello fisico fondamentale.

Cosmologia

Nella cosmologia del Big Bang, l'epoca di Planck o era di Planck è il primo stadio del Big Bang, prima che il tempo trascorso fosse uguale al tempo di Planck, $t_{P}$ , o circa $1 0^{- 43}$ secondi. Al momento non esiste una teoria fisica disponibile per descrivere tempi così brevi, e non è chiaro in che senso il concetto di tempo sia significativo per valori inferiori al tempo di Planck. Si presume generalmente che gli effetti quantistici della gravità dominino le interazioni fisiche a questa scala temporale. Su questa scala, si presume che la forza unificata del Modello standard sia unificata con la gravitazione. Incommensurabilmente caldo e denso, lo stato dell'epoca di Planck fu seguito dall'epoca della grande unificazione, in cui la gravitazione è separata dalla forza unificata del Modello Standard, a sua volta seguita dall'epoca inflazionistica, che si concluse dopo circa $1 0^{- 32}$ secondi (o circa $1 0^{10} t_{P}$ ).

Rispetto all'epoca di Planck, l'universo osservabile oggi sembra estremo quando espresso in unità di Planck, come in questo insieme di approssimazioni:

Tabella 4: L'universo osservabile di oggi in unità di Planck
Proprietà dell'Universo osservabile	Espressione	Hubble in unità di Planck	Unità di Hubble (universo osservabile)
Età di Hubble	$\frac{1}{H_{0}}$	$8, 080 \cdot 1 0^{60} t_{P}$	$4, 356129 \cdot 1 0^{17} s \approx 13, 799 \cdot 1 0^{9} a n n i$
Diametro di Hubble	$\frac{2 π c}{H_{0}}$	$5, 07681 \cdot 1 0^{61} l_{P}$	$8, 20543 \cdot 1 0^{26} m \approx 8, 7 \cdot 1 0^{23} k m$ $\approx 9, 2 \cdot 1 0^{10} a n n i l u c e$
Massa di Hubble	$\frac{8 π c}{H_{0} 4 π r_{s}} \equiv \frac{8 π c^{3}}{3 H_{0} G}$	$8, 080 \cdot 1 0^{60} m_{P}$ $6, 769 \cdot 1 0^{61} m_{P}$ (con 8π/3)	$\approx 1, 7586 \cdot 1 0^{53} k g \approx 1, 76 \cdot 1 0^{50} t o n n e l l a t e$ $\approx 1, 47 \cdot 1 0^{54} k g$ (con 8π/3) $\approx 8, 844 \cdot 1 0^{22} m a s s e s o l a r i$ (solo stelle) $\approx 2, 945 \cdot 1 0^{28} m a s s e t e r r e s t r i$ $\approx 1, 051 \cdot 1 0^{80} p r o t o n i$ (conosciuto come numero di Eddington)
Densità di Hubble	$\frac{2 Λ}{r_{s}} = \frac{3 H_{0}^{2}}{4 π c^{2} r_{s}} \equiv \frac{3 H_{0}^{2}}{8 π G}$	$1.8283 \cdot 1 0^{- 123} ρ_{P}$ $1, 5317 \cdot 1 0^{- 122} ρ_{P}$	$\approx 9, 4248 \cdot 1 0^{- 27} k g \cdot m^{- 3}$ $\approx 7, 8957 \cdot 1 0^{- 26} k g \cdot m^{- 3}$ (senza 3/8π)
Pressione di Hubble Energia del vuoto	$\frac{Λ c^{4}}{G} = \frac{2 Λ c^{2}}{r_{s}} \equiv \frac{3 H_{0}^{2} c^{2}}{8 π G}$	$1, 5317 \cdot 1 0^{- 122} p_{P}$	$\approx 7, 0963 \cdot 1 0^{- 9} J \cdot m^{- 3}$
Temperatura di Hubble		$1, 92371 \cdot 1 0^{- 32} Θ_{P}$	$2, 72548 K \pm 0, 00057 K$ (2,72548=radiazione cosmica di fondo) $\approx - 270, 43452^{\circ} C$ $\approx 160, 23 G H z$ $\approx λ = 1, 063 m m$ a $242 G H z$ $\approx 6, 626 \cdot 1 0^{- 4} e V$ $\approx 0, 25 e V \cdot c m^{- 3}$ $\approx 4, 005 \cdot 1 0^{- 14} J \cdot m^{- 3}$ Temperatura della radiazione cosmica di fondo
Carica di Hubble	$\frac{2 c q_{r_{s}}}{H_{0} r_{s}} \equiv \frac{8 π c^{3}}{3 H_{0} G} \sqrt{4 π ε_{0} G}$	$8, 080 \cdot 1 0^{60} q_{P}$	$\approx 1, 5154 \cdot 1 0^{43} C$
Accelerazione di Hubble	$H_{0} c$	$1, 237623 \cdot 1 0^{- 61} a_{P}$	$\approx 6, 882084 \cdot 1 0^{- 10} m \cdot s^{- 2} \approx 7 \cdot 1 0^{- 11} g t e r r e s t r i$
Costante cosmologica, $Λ$	$Λ \equiv {(\frac{H_{0}}{2 π c})}^{2}$	$5, 42977 \cdot 1 0^{- 122} t_{P}^{- 2}$ 2,883 89 × 10⁻¹²² l_−2P (con 8π/3)	$\approx 1, 86811 \cdot 1 0^{- 35} s^{- 2}$ $1, 10352 \cdot 1 0^{- 52} m^{- 2}$
Costante di Hubble	$H_{0}$	$1, 237623 \cdot 1 0^{- 61} t_{P}^{- 1}$	$\approx 2, 295616 \cdot 1 0^{- 18} \approx 70, 83531 (k m / s) / M p c$
Costante di accoppiamento di Hubble	$α_{H_{0}} \equiv {(\frac{_{Massa} H_{0}}{m_{P}})}^{2} \equiv \frac{G}{ℏ c} {(\frac{8 π c^{3}}{3 H_{0} G})}^{2}$	$6, 52865 \cdot 1 0^{121}$ 4,582 × 10¹²³ (con 8π/3)	$\approx 3, 09253 \cdot 1 0^{106}_{M a s s a} H_{0}^{2} = M a s s a d i H u b b l e a l q u a d r a t o$ $\approx 2, 17046 \cdot 1 0^{108}_{M a s s a} H_{0}^{2}$ (con 8π/3)
Entropia di Hubble	$S_{H_{0}} = α_{H_{0}} k_{B} \equiv \frac{Λ^{- 2} k_{B}}{4 l_{P}^{2}} \equiv \frac{c^{5} k_{B}}{ℏ G H_{0}^{2}}$	$6, 52865 \cdot 1 0^{121}$ 1,632 × 10¹²³ (1/4) 4,582 × 10¹²³ (con 8π/3)	$2, 2534419 \cdot 1 0^{98} J / K_{c o n 1 / 4} 9, 013768 \cdot 1 0^{98} J / K$ $7, 551356 \cdot 1 0^{99} J / K$ (con 8π/3)
Informazione teorica di Hubble secondo il limite di Bekenstein	$\frac{2 π α_{H_{0}}}{\log [2]} \equiv (\frac{2 π c_{distanza} H_{0}_{Massa} H_{0}}{ℏ \log [2]})$	$6, 528645 \cdot 1 0^{122} I_{b i t s P}$	$I_{b i t s} \approx 5, 918034 \cdot 1 0^{122} b i t s$ $I_{b y t e s} \approx 7, 397543 \cdot 1 0^{121} b y t e s$ $\approx 2^{407, 84} I_{b i t s} \approx 2^{404, 84} I_{b y t e s}$ $\approx 7, 4 \cdot 1 0^{109} T B \approx 7, 4 \cdot 1 0^{112} G B \approx 7, 4 \cdot 1 0^{115} M B$ L'informazione di Hubble che può avere l'universo osservabile di dati secondo Seth LIyod e Jacob Bekenstein sugli studi dell'entropia dei buchi neri. Questo enorme valore ci dice quanti dati possiamo archiviare teoricamente, circa $7, 4 \cdot 1 0^{109} T B$ , su una chiavetta USB che possa avere questa capacità. Ma per avere questa capacità teorica dovrebbe usare la stessa massa/energia dell'intero universo osservabile di oggi. Cioè l'analogia è che la massa di Hubble, quindi la massa del universo può avere massimo $7, 4 \cdot 1 0^{109} T B$ di dati sapendo che ogni unità di Planck al quadrato può avere 1,133 bytes di dati. Quindi la radice quadrata delle unità di Planck e circa $1, 0645 \sqrt{_{B y t e s}}$ . l'intera massa di Hubble a circa $8, 08 \cdot 1 0^{60}$ unità di Planck, per $1, 0645 \sqrt{_{B y t e s}}$ di singola unità di Planck porta a $7, 4 \cdot 1 0^{109} T B$ . In bits sarà la radice quadrata di $9, 065 b i t s$ della costante di accoppiamento di Planck, ovvero unità di Planck al quadrato. Diventerà $3, 011 \sqrt{_{b i t s}}$ di singola unità di Planck per l'intera massa di Hubble a circa $8, 08 \cdot 1 0^{60}$ unità di Plack uguale a $5, 918 \cdot 1 0^{122} b i t s$ . Questo calcolo deriva da Jacob Bekenstein che usava non la massa di Planck, ma l'area di Planck secondo la sua formula dell'entropia di un buco nero che è l'area della superficie divisa 4 area di Planck.

La ricorrenza di grandi numeri vicino o correlata a $1 0^{60}$ nella tabella sopra è una coincidenza che incuriosisce alcuni teorici. È un esempio del tipo di coincidenza di grandi numeri che ha portato teorici come Eddington e Dirac a sviluppare teorie fisiche alternative (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ). Dopo la misurazione della costante cosmologica $Λ$ nel 1998, stimata in $1 0^{- 122}$ unità di Planck, è stato notato che ciò è suggestivamente vicino al reciproco dell'età dell'universo al quadrato. Barrow and Shaw (2011) hanno proposto una teoria modificata in cui tale costante è un campo che si evolve in modo tale che il suo valore rimanga $Λ \sim T^{- 2}$ per tutta la storia dell'universo.

Tabella 5: Alcuni quantità fisiche comuni in unità di Planck
Quantità	versione di Lorentz–Heaviside in unità di Planck	versione di Gaussian in unità di Planck
Gravità standard ( $g$ )	$6.25154 \cdot 1 0^{- 51} a_{P}$	$1.76353 \cdot 1 0^{- 51} a_{P}$
Atmosfera standard ( $𝖺 𝗍 𝗆$ )	$3.45343 \cdot 1 0^{- 108} p_{P}$	$2.18691 \cdot 1 0^{- 109} p_{P}$
Tempo astronomico solare	$4.52091 \cdot 1 0^{47} t_{P}$	$1.60262 \cdot 1 0^{48} t_{P}$
Raggio equatoriale della Terra	$1.11323 \cdot 1 0^{41} l_{P}$	$3.94629 \cdot 1 0^{41} l_{P}$
Circonferenza equatoriale della Terra	$6.99465 \cdot 1 0^{41} l_{P}$	$2.47954 \cdot 1 0^{42} l_{P}$
Diametro dell'universo osservabile	$1.53594 \cdot 1 0^{61} l_{P}$	$5.44477 \cdot 1 0^{61} l_{P}$
Volume della Terra	$1.89062 \cdot 1 0^{55} l_{P}^{3}$	$6.70208 \cdot 1 0^{55} l_{P}^{3}$
Volume dell'universo osservabile	$6.98156 \cdot 1 0^{114} l_{P}^{3}$	$2.47490 \cdot 1 0^{115} l_{P}^{3}$
Massa della Terra	$9.72717 \cdot 1 0^{32} m_{P}$	$2.74398 \cdot 1 0^{32} m_{P}$
Massa dell'universo osservabile	$2.37796 \cdot 1 0^{61} m_{P}$	$6.70811 \cdot 1 0^{60} m_{P}$
Densità media della Terra	$1.68905 \cdot 1 0^{- 91} ρ_{P}$	$1.06960 \cdot 1 0^{- 93} ρ_{P}$
Densità dell'universo osservabile	$3.03257 \cdot 1 0^{- 121} ρ_{P}$	$1.92040 \cdot 1 0^{- 123} ρ_{P}$
Età della Terra	$7.49657 \cdot 1 0^{59} t_{P}$	$2.65747 \cdot 1 0^{60} t_{P}$
Età dell'universo (tempo di Hubble)	$2.27853 \cdot 1 0^{60} t_{P}$	$8.07719 \cdot 1 0^{60} t_{P}$
Temperatura media della Terra	$7.18485 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$	$2.02681 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$
Temperatura dell'universo	$6.81806 \cdot 1 0^{- 32} Θ_{P}$	$1.92334 \cdot 1 0^{- 32} Θ_{P}$
Costante di Hubble ( $H_{0}$ )	$4.20446 \cdot 1 0^{- 61} t_{P}^{- 1}$	$1.18605 \cdot 1 0^{- 61} t_{P}^{- 1}$
Costante cosmologica ( $Λ$ )	$3.62922 \cdot 1 0^{- 121} l_{P}^{- 2}$	$2.88805 \cdot 1 0^{- 122} l_{P}^{- 2}$
Densità del vuoto energetico ( $ρ_{0}$ )	$1.82567 \cdot 1 0^{- 121} ρ_{P}$	$1.15612 \cdot 1 0^{- 123} ρ_{P}$
Punto di evaporazione dell'acqua	$6.83432 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$	$1.92793 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$
Punto di ebollizione dell'acqua	$9.33636 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$	$2.63374 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$
Pressione del punto triplo dell'acqua	$2.08469 \cdot 1 0^{- 109} p_{P}$	$1.32015 \cdot 1 0^{- 111} p_{P}$
Temperatura del punto triplo dell'acqua	$6.83457 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$	$1.92800 \cdot 1 0^{- 30} Θ_{P}$
Densità dell'acqua	$3.06320 \cdot 1 0^{- 92} ρ_{P}$	$1.93980 \cdot 1 0^{- 94} ρ_{P}$
Calore specifico dell'acqua	$1.86061 \cdot 1 0^{18} c_{P}$	$6.59570 \cdot 1 0^{18} c_{P}$
Volume molare ideale ( $V_{m}$ )	$2.00522 \cdot 1 0^{77} 𝒱_{P}$	$8.93256 \cdot 1 0^{78} 𝒱_{P}$
Carica elementare ( $e$ )	$3.02822 \cdot 1 0^{- 1} q_{P}$	$8.54245 \cdot 1 0^{- 2} q_{P}$
Massa dell'elettrone ( $m_{e}$ )	$1.48368 \cdot 1 0^{- 22} m_{P}$	$4.18539 \cdot 1 0^{- 23} m_{P}$
Massa del protone ( $m_{p}$ )	$2.72427 \cdot 1 0^{- 19} m_{P}$	$7.68502 \cdot 1 0^{- 20} m_{P}$
Massa del neutrone ( $m_{n}$ )	$2.72802 \cdot 1 0^{- 19} m_{P}$	$7.69562 \cdot 1 0^{- 20} m_{P}$
Massa atomica costante ( $u$ )	$2.70459 \cdot 1 0^{- 19} m_{P}$	$7.62951 \cdot 1 0^{- 20} m_{P}$
Rapporto carica-massa dell'elettrone ( $ξ_{e}$ )	$- 2.04102 \cdot 1 0^{21} q_{r_{s}}$
Rapporto carica-massa del protone ( $ξ_{e}$ )	$1.11157 \cdot 1 0^{18} q_{r_{s}}$
giromagneto del protone ( $γ_{p}$ )	$3.10445 \cdot 1 0^{18} Θ_{P}$
Momento magnetico dell'elettrone ( $μ_{e}$ )	$- 1.02169 \cdot 1 0^{21} {μ_{d}}_{P}$
Momento magnetico del protone ( $μ_{p}$ )	$1.55223 \cdot 1 0^{18} {μ_{d}}_{P}$
Costante di Faraday ( $F$ )	$3.02822 \cdot 1 0^{- 1} q_{P} N_{A}$	$8.54245 \cdot 1 0^{- 2} q_{P} N_{A}$
Raggio di Bohr ( $a_{0}$ )	$9.23620 \cdot 1 0^{23} l_{P}$	$3.27415 \cdot 1 0^{24} l_{P}$
Magnetone di Bohr ( $μ_{B}$ )	$1.02051 \cdot 1 0^{21} \frac{𝐄_{P}}{𝐁_{P}}$
Flusso magnetico quantistico ( $φ_{0}$ )	$10.3744 ϕ_{P}^{E}$	$36.7762 ϕ_{P}^{E}$
Raggio classico dell'elettrone ( $r_{e}$ )	$4.91840 \cdot 1 0^{19} l_{P}$	$1.74353 \cdot 1 0^{20} l_{P}$
Lunghezza d'onda Compton dell'elettrone ( $λ_{c}$ )	$2.71873 \cdot 1 0^{28} l_{P}$	$9.63763 \cdot 1 0^{28} l_{P}$
Costante di Rydberg ( $R_{\infty}$ )	$6.28727 \cdot 1 0^{- 28} l_{P}^{- 1}$	$1.77361 \cdot 1 0^{- 28} l_{P}^{- 1}$
Costante di Josephson ( $K_{J}$ )	$9.63913 \cdot 1 0^{- 2} \frac{1}{ϕ_{P} t_{P}}$	$2.71915 \cdot 1 0^{- 2} \frac{1}{ϕ_{P} t_{P}}$
Costante di von Klitzing ( $R_{K}$ )	$68.5180 Z_{P}$	$861.023 Z_{P}$
Costante di Stefan-Boltzmann ( $σ$ )	$1.64493 \cdot 1 0^{- 1} \frac{P_{P}}{l_{P}^{2} Θ_{P}^{4}}$

Semplificazione delle equazioni

Le quantità fisiche che hanno dimensioni diverse (come il tempo e la lunghezza) non possono essere equiparate anche se sono numericamente uguali (1 secondo non è uguale a 1 metro). Nella fisica teorica, tuttavia, questo scrupolo può essere messo da parte, mediante un processo chiamato non dimensionalizzazione. La tabella 6 mostra come l'uso delle unità di Planck semplifichi molte equazioni fondamentali della fisica, poiché conferiscono a ciascuna delle cinque costanti fondamentali, e prodotti di esse, un semplice valore numerico pari a $1$ , mentre nel sistema SI le unità devono essere contabilizzate. Nella forma non dimensionata le unità, che ora sono unità di Planck, non devono essere scritte se ne viene compreso l'uso.

Tabella 6: Equazioni usate spesso nelle unità di Planck
Nome	Equazione	Unità Naturali di Planck
Nome	Equazione	Versione Lorentz–Heaviside	Versione Gaussian

Proprietà delle Forze
Legge di gravitazione universale di Newton	$F_{_{N}} = - G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$	$F = - \frac{m_{1} m_{2}}{4 π r^{2}}$	$F = \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
Forza di Coulomb per cariche elettriche	$F_{e} = k_{e} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} = \frac{_{1}}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$	$F = \frac{q_{1} q_{2}}{4 π r^{2}}$	$F = \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
Forza di Coulomb per cariche magnetiche	$F_{m} = k_{m} \frac{b_{1} b_{2}}{r^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{b_{1} b_{2}}{r^{2}}$	$F = \frac{b_{1} b_{2}}{4 π r^{2}}$	$F = \frac{b_{1} b_{2}}{r^{2}}$
Forza Entropica	$F_{Θ} Δ x = T Δ 𝐒$ $F_{Θ} = - \frac{G k_{B}^{2}}{c^{4}} \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{r^{2}}$ $F_{Θ} = \frac{k_{B}^{2}}{ℏ c} Θ_{1} Θ_{2} \equiv \frac{π μ_{0}}{α c^{2}} Θ_{1} Θ_{2}$	$F_{Θ} = - k_{B}^{2} \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{4 π r^{2}}$	$F_{Θ} = - k_{B}^{2} \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{r^{2}}$
Gravità Entropica proposto da Erik Verlinde e Ted Jacobson	$F_{Φ} = \frac{F_{_{N}}}{N} = \frac{F_{_{N}} 4 π r^{2} Θ}{l_{P}^{2} T_{_{u r u h}}} = m \frac{4 π c}{ℏ} \frac{E}{N} = m \frac{4 π c^{3}}{ℏ} \frac{M}{N} = m 4 π \frac{G M}{r^{2}} = G \frac{m M}{r^{2}}$ $N = \frac{A_{B H}}{ℓ_{P}^{2}} = \frac{4 π r^{2}}{l_{P}^{2}} = \frac{4 π r^{2} c^{3}}{ℏ G}$ $F_{Φ} = \frac{F_{Θ}}{F_{e}} = - \frac{G k_{B}^{2}}{c^{4} k_{e}} \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{q_{1} q_{2}}$ $F_{Φ} = \frac{Φ^{2} F_{Θ}}{F_{_{N}}} = \frac{k_{B}^{2}}{G} \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{m_{1} m_{2}}$ $F_{Φ} = - \frac{k_{B}^{2}}{k_{e}} = \frac{Θ_{1} Θ_{2}}{q_{1} q_{2}}$
Proprietà dei Quanti
Energia di un fotone o dell'impulso di una particella $ν - ω$	$E = h ν$ $E = ℏ ω$ $E = ℏ ω = h ν = \frac{h c}{λ}$	$E = 2 π ν$ $E = ω$ $E = ω = 2 π ν = \frac{2 π}{λ}$
Momento di un fotone	$p = ℏ k = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}$	$p = k = 2 π ν = \frac{2 π}{λ}$
Lunghezza d'onda e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie (come materia d'onda)	$λ = \frac{h}{m v} = \frac{2 π ℏ}{m v}$ $λ_{2 π} = \frac{ℏ}{m v}$	$λ = \frac{2 π}{m v}$ $λ_{2 π} = \frac{1}{m v}$
La formula e lunghezza d'onda Compton e Ipotesi di de Broglie	$λ = \frac{h}{m c} = \frac{2 π ℏ}{m c}$ $λ_{2 π} = \frac{ℏ}{m c}$	$λ = \frac{2 π}{m c}$ $λ_{2 π} = \frac{_{1}}{m c}$
La celebre formula E=mc² di Einstein	$E = m c^{2}$	$E = m$
Relazione energia-momento	$E^{2} = m^{2} c^{4} + p^{2} c^{2}$	$E^{2} = m^{2} + p^{2}$
Principio di indeterminazione di Heisenberg	$Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}$	$Δ x \cdot Δ p \geq \frac{1}{2}$
Equazione di Schrödinger in forma Hamiltoniana	$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ = H \cdot ψ$	$i \frac{\partial}{\partial t} ψ = H \cdot ψ$
Forma di Hamilton dell'Equazione di Schrödinger	$H \| ψ_{t} ⟩ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} \| ψ_{t} ⟩$	$H \| ψ_{t} ⟩ = i \frac{\partial}{\partial t} \| ψ_{t} ⟩$
Forma covariante dell'Equazione di Dirac	$(ℏ γ^{μ} \partial_{μ} + i m c) ψ = 0$	$(γ^{μ} \partial_{μ} + i m) ψ = 0$
Equazione di Schrödinger	$- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ (𝐫, t) + V (𝐫) ψ (𝐫, t) = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} (𝐫, t)$	$- \frac{1}{2 m} \nabla^{2} ψ (𝐫, t) + V (𝐫) ψ (𝐫, t) = i \frac{\partial ψ}{\partial t} (𝐫, t)$
Proprietà Atomiche
Costante di struttura fine	$α = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} ℏ c} = \frac{e^{2}}{2 ε_{0} h c} = \frac{k e^{2}}{ℏ c}$	$4 α$	$\frac{α}{π}$
Costante di accoppiamento gravitazionale	$α_{G} = \frac{G m_{e}^{2}}{ℏ c} = {(\frac{m_{e}}{m_{P}})}^{2}$
Elettronvolt	$e V = ϕ q = 1_{_{v o l t}} e$
Flusso magnetico: costante di Josephson K_J	$K_{J} = \frac{e}{π ℏ}$	$K_{J} = \sqrt{\frac{4 α}{π}}$	$K_{J} = \frac{\sqrt{α}}{π}$
Effetto Hall quantistico: costante di Von Klitzing R_K	$R_{K} = \frac{2 π ℏ}{e^{2}}$	$R_{K} = \frac{_{1}}{2 α}$	$R_{K} = \frac{2 π}{α}$
Raggio di Bohr di un atomo	$a_{0} = \frac{4 π ε_{0} ℏ^{2}}{m_{e} e^{2}} = \frac{ℏ}{m_{e} c α}$	$a_{0} = \frac{_{1}}{\sqrt{4 π α^{2} α_{G}}}$	$a_{0} = \frac{_{1}}{\sqrt{α^{2} α_{G}}}$
Nucleo magnetico di Bhor	$μ_{𝐁} = \frac{e ℏ}{2 m_{e}}$	$μ_{𝐁} = \sqrt{\frac{α}{4 α_{G}}}$
Costante di Rydberg R_∞	$R_{\infty} = \frac{m_{e} e^{4}}{8 ε_{0}^{2} h^{3} c} = \frac{α^{2} m_{e} c}{4 π ℏ}$	$R_{\infty} = \sqrt{\frac{α^{4} α_{G}}{4 π}}$
Rapporto di carica-massa dell'elettrone	$ξ_{e} = \frac{e}{m_{e}} = \sqrt{\frac{α G}{k_{e} α_{G}}} = \sqrt{\frac{4 π ε_{0} G α}{α_{G}}}$	$ξ_{e} = \sqrt{\frac{α}{α_{G}}}$
Costante di Avogadro N_A	$N_{A} = \frac{R}{k_{B}}$ $n_{0} = \frac{p_{0} N_{A}}{R T_{0}} \frac{R}{k_{B}}$
Costante di Faraday F_e	$N q = N_{A} e$
Proprietà Termodinamiche
Beta termodinamica, temperatura inversa ''β''	$β = \frac{_{1}}{k_{B} T}$
Temperature termodinamica ''Θ, T''	$Θ = τ = k_{B} T$ $Θ = k_{B} {\frac{\partial U}{\partial S}}_{N}$ $Θ^{- 1} = \frac{_{1}}{k_{B}} {\frac{\partial S}{\partial U}}_{N}$
Entropia ''S''	$S = - k_{B} \sum_{i} p_{i} \ln p_{i}$ $S = - {\frac{\partial F}{\partial T}}_{V}$ $S = - {\frac{\partial G}{\partial T}}_{N, P}$
Entropia dell'informazione di Shannon	$H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} P (x_{i}) \log_{b} P (x_{i})$
Pressione ''p''	$p = - {\frac{\partial F}{\partial V}}_{T, N}$ $p = - {\frac{\partial U}{\partial V}}_{S, N}$
Energia interna ''U''	$U = \sum_{i} E_{i}$
Entalpia ''H''	$H = U + p V$
Funzione di partizione (meccanica statistica) ''Z''	$Z$
Energia libera di Gibbs ''G''	$G = H - T S$
Energia libera di Helmholtz ''F''	$F = U - T S$
Energia libera di Landau, grande potenziale	$Ω_{G} = U - T S - μ N$
Potenziale di Massieu, entropia libera di Helmholtz	$ϕ_{F} = S - \frac{U}{T}$
Potenziale di Planck, entropia libera di Gibbs	$Ξ = Φ - p \frac{V}{T}$
Relazioni di Maxwell: $U (S, V)$ = Energia interna $H (S, P)$ = Entalpia $F (T, V)$ = Energia libera di Helmholtz $G (T, P)$ = Energia libera di Gibbs	${(\frac{\partial T}{\partial V})}_{S} = - {(\frac{\partial P}{\partial S})}_{V} = \frac{\partial^{2} U}{\partial S \partial V}$ $+ {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{T} = {(\frac{\partial P}{\partial T})}_{V} = - \frac{\partial^{2} F}{\partial T \partial V}$ $- {(\frac{\partial S}{\partial P})}_{T} = {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{P} = \frac{\partial^{2} G}{\partial T \partial P}$
Potenziale chimico $μ_{i}$	$μ_{i} = {(\frac{\partial U}{\partial N_{i}})}_{N_{j \neq i}, S, V}$ $μ_{i} = {(\frac{\partial F}{\partial N_{i}})}_{T, V}$ Dove F non è proporzionale di N perché μ_i dipende dalla pressione. $μ_{i} = {(\frac{\partial G}{\partial N_{i}})}_{T, P}$ Dove G è proporzionale a N (purché la composizione del rapporto molare del sistema rimanga la stessa) perché μ_i dipende solo dalla temperatura, dalla pressione e dalla composizione. $\frac{μ_{i}}{τ} = - \frac{_{1}}{k_{B}} {(\frac{\partial S}{\partial N_{i}})}_{U, V}$
Calore generale, capacità termica	$C = \frac{\partial Q}{\partial T}$
capacità termica (isobarica)	$C_{p} = \frac{\partial H}{\partial T}$
Calore specifico (isobarica)	$C_{m p} = \frac{\partial^{2} Q}{\partial m \partial T}$
Calore specifico molare (isobarica)	$C_{n p} = \frac{\partial^{2} Q}{\partial n \partial T}$
capacità termica (isocorica/volumetrica)	$C_{V} = \frac{\partial U}{\partial T}$
Calore specifico (isocorica)	$C_{m V} = \frac{\partial^{2} Q}{\partial m \partial T}$
Calore specifico molare (isocorica)	$C_{n V} = \frac{\partial^{2} Q}{\partial n \partial T}$
Calore specifico latente	$L = \frac{\partial Q}{\partial m}$
Rapporto tra capacità di calore isobarica e isocorica, rapporto di capacità termica, indice adiabatico. Rapporto di Mayer	$γ = \frac{C_{p}}{c_{V}} = \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{C_{m p}}{c_{m V}}$
Gradiente della temperatura	$\nabla \cdot T$
Velocità di conduzione termica, corrente termica, flusso termico, potenza di calore.	$P = d Q / d t$
Intensità di calore	$I = d P / d A$
Densità del flusso termico (analogo vettoriale dell'intensità termica sopra)	$Q = \iint 𝐪 \cdot d 𝐒 d t$
Proprietà Quantistiche Termiche	$U = N k_{B} T^{2} {(\frac{\partial \ln Z}{\partial T})}_{V}$ $S = \frac{U}{T} + N$ $S = \frac{U}{T} + N k_{B} \ln Z - N k \ln N + N k$
Grado di libertà Funzione di partizione	$Z_{t} = \frac{(2 π m k_{B} T)^{\frac{3}{2}} V}{h^{3}}$ Traslazione $Z_{v} = \frac{1}{1 - e^{\frac{- h ω}{2 π k_{B} T}}}$ Vibrazione $Z_{r} = \frac{2 I k_{B} T}{σ (\frac{h}{2 π})^{2}}$ Rotazione
Definizione della temperatura per l'energia d'una particella per grado di libertà	$E = \frac{1}{2} k_{B} Θ$	$E = \frac{1}{2} Θ$
Legge di Boltzmann per l'entropia	$S = k_{B} \ln Ω$	$S = \ln Ω$
Legge di Planck (intensità di superficie per unità d'angolo solido per unità di frequenza angolare) per un corpo nero a temperatura Θ.	$I (ω, Θ) = \frac{ℏ ω^{3}}{4 π^{3} c^{2}} \frac{1}{e^{\frac{ℏ ω}{k_{B} Θ}} - 1}$	$I (ω, Θ) = \frac{ω^{3}}{4 π^{3}} \frac{1}{e^{ω / Θ} - 1}$
Costante dei gas	$R = N_{A} k_{B}$ $R = \frac{P V}{n T}$
Equazione di stato dei gas perfetti	$P V = n R T = N k_{B} T$	$P V = N T$
Equazioni medie della velocità dei gas	$v_{r m s} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$	$v_{r m s} = \sqrt{\frac{3 T}{m}}$
Teoria cinetica dei gas	$Σ \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} N k_{B} T$	$Σ \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{3}{2} N T$
Legge di Wien per la temperatura W = 4.965114231744276303698759131322893944...	$T \cdot λ_{m a x} = \frac{C_{2}}{_{W}} = \frac{h c}{k_{B}_{[5 + W (- 5 e^{- 5})]}}$
Costante di prima radiazione C_1L	$C_{1 L} = 2 h c^{2}$
Località di Planck, seconda radiazione costante	$C_{2} = \frac{h c}{k_{B}}$	$C_{2} = \frac{_{1}}{4 π k_{B}}$	$C_{2} = \frac{_{1}}{k_{B}}$
Costante di Stefan-Boltzmann	$σ = \frac{π^{2} k_{B}^{4}}{60 ℏ^{3} c^{2}}$	$σ = π^{2} / 60$
Effetto Unruh per la temperatura	$Θ = T = \frac{ℏ a}{2 π c k_{B}}$	$Θ = T = \frac{a}{2 π}$
Energia termica delle particelle libere	$E = \frac{1}{2} k_{B} T$	$E = \frac{1}{2} T$
Legge di Boltzmann per entropia	$S = k_{B} \ln Ω$	$S = \ln Ω$
Temperatura di Hawking per i buchi neri	$T_{H} = \frac{ℏ}{c k_{B}} \frac{κ}{2 π}$ $T_{H} = \frac{ℏ c^{3}}{8 π G M k_{B}}$	$T_{H} = \frac{1}{2 M}$	$T_{H} = \frac{1}{8 π M}$
Accelerazione di superficie per i buchi neri	$k = \frac{ℏ c^{3}}{4 G M k_{B}}$	$k = \frac{1}{4 M}$
Entropia dei buchi neri di Bekenstein-Hawking	$S_{B H} = \frac{A_{B H} k_{B} c^{3}}{4 G ℏ} = \frac{4 π m_{B H}^{2} k_{B} G}{ℏ c}$	$S_{B H} = π A_{B H} = m_{B H}^{2}$	$S_{B H} = \frac{A_{B H}}{4} = 4 π m_{B H}^{2}$
Tempo delle radiazioni di Hawking per i buchi neri	$P = \frac{ℏ c^{6}}{15 360 π G^{2} M^{2}}$ $t_{ev} = \frac{5120 π G^{2} M_{0}^{3}}{ℏ c^{4}}$
Proprietà dell'Elettromagnetismo
Permeabilità magnetica nel vuoto	$μ_{0} = \frac{_{1}}{ε_{0} c^{2}}$	$μ_{0} = 1$	$μ_{0} = 4 π$
Costante di Coulomb	$k_{e} = \frac{_{1}}{4 π ε_{0}}$	$k_{e} = \frac{_{1}}{4 π}$	$k_{e} = 1$
Costante di Coulomb magnetica	$k_{m} = \frac{μ_{0}}{4 π} = \frac{_{1}}{4 π ε_{0} c^{2}}$	$k_{m} = \frac{_{1}}{4 π}$	$k_{m} = 1$
Carica magnetica	$b = q_{m} = q v = e c$
Corrente magnetica	$I_{m} = \frac{\partial b}{t} = q a = I v$
Impedenza caratteristica del vuoto	$Z_{0} = \frac{𝐄}{𝐇} = \sqrt{\frac{μ_{0}}{ε_{0}}} = \frac{_{1}}{ε_{0} c} = μ_{0} c$	$Z_{0} = 1$	$Z_{0} = 4 π$
Ammetanza caratteristica del vuoto	$Y_{0} = \frac{𝐇}{𝐄} = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} = ε_{0} c = \frac{_{1}}{μ_{0} c}$	$Y_{0} = 1$	$Y_{0} = \frac{_{1}}{4 π}$
Equazioni del campo elettrico e dell'Induzione elettrica	$𝐃 = ε_{0} 𝐄$	$𝐃 = 𝐄$	$𝐃 = \frac{𝐄}{4 π}$
Equazioni del campo magnetico e dell'Induzione magnetica	$𝐁 = μ_{0} 𝐇$	$𝐁 = 𝐇$	$𝐁 = 4 π 𝐇$
Legge di Biot-Savart	$Δ B = \frac{μ_{0} I}{4 π} \frac{Δ L}{r^{2}} \sin θ$	$Δ B = \frac{I}{4 π} \frac{Δ L}{r^{2}} \sin θ$	$Δ B = I \frac{Δ L}{r^{2}} \sin θ$
Magnetostatica di Biot-Savart	$𝐁 (𝐫) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{C} \frac{I d ℓ \times 𝐫^{'}}{\| 𝐫^{'} \|^{3}}$	$𝐁 (𝐫) = \frac{1}{4 π} \int_{C} \frac{I d ℓ \times 𝐫^{'}}{\| 𝐫^{'} \|^{3}}$	$𝐁 (𝐫) = \int_{C} \frac{I d ℓ \times 𝐫^{'}}{\| 𝐫^{'} \|^{3}}$
Equazioni di Maxwell	$\nabla \cdot 𝐄 = \frac{ρ}{ε_{0}}$ $\nabla \cdot 𝐁 = 0$ $\nabla \times 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\nabla \times 𝐁 = μ_{0} 𝐉 + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	$\nabla \cdot 𝐄 = 4 π ρ$ $\nabla \cdot 𝐁 = 0$ $\nabla \times 𝐄 = - \frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\nabla \times 𝐁 = 4 π 𝐉 + \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$
Forza di Lorentz dell'elettromagnetismo di Maxwell	$𝐅_{e} = q (𝐄 + 𝐯 \times 𝐁)$
Vettore di Poynting Intensità, W/m²	$𝒮 = c^{2} ε_{0} 𝐄 \times 𝐁$	$𝒮 = \frac{_{1}}{4 π} 𝐄 \times 𝐁$	$𝒮 = 𝐄 \times 𝐁$
Proprietà della Gravità
La formula del raggio di Schwarzschild	$r_{s} = \frac{2 G m}{c^{2}}$	$r_{s} = \frac{m}{2 π}$	$r_{s} = 2 m$
Carica di Schwarzschild	$Q_{r_{s}} = \frac{q_{P}}{m_{P}} = \sqrt{\frac{G}{k_{e}}} = \sqrt{4 π ε_{0} G}$
Legge di Gauss per la gravità	$𝐠 \cdot d 𝐀 = - 4 π G M$ $\nabla \cdot 𝐠 = - 4 π G ρ$	$𝐠 \cdot d 𝐀 = - M$ $\nabla \cdot 𝐠 = - ρ$	$𝐠 \cdot d 𝐀 = - 4 π M$ $\nabla \cdot 𝐠 = - 4 π ρ$
Equazioni di Poisson	$\nabla^{2} ϕ = 4 π G ρ$ $ϕ (r) = \frac{- G m}{r}$	$\nabla^{2} ϕ = ρ$ $ϕ (r) = \frac{- m}{4 π r}$	$\nabla^{2} ϕ = 4 π ρ$ $ϕ (r) = \frac{- m}{r}$
Gravità quantistica come formula principale	$Δ r_{s} Δ r \geq \frac{ℏ G}{c^{3}}$	$Δ r_{s} Δ r \geq \frac{1}{4 π}$	$Δ r_{s} Δ r \geq 1$
momento-impulso Newtoniana di Schwarzschild	$ℏ_{r_{s}} = \frac{4 π ℏ}{m^{2}} = \frac{4 π G}{c}$	$ℏ_{r_{s}} = 1$	$ℏ_{r_{s}} = 4 π$
momento angolare inverso Newtoniana di Schwarzschild	$\frac{_{1}}{ℏ_{r_{s}}} = \frac{m^{2}}{4 π ℏ} = \frac{c}{4 π G}$	$\frac{_{1}}{ℏ_{r_{s}}} = 1$	$\frac{_{1}}{ℏ_{r_{s}}} = \frac{1}{4 π}$
Equazioni GEM per ll gravitomagnetismo per la gravità di Oliver Heaviside ρ_g = kg/m³ E_g = a = m/s² B_g = E_g/v = s⁻¹ Per la carica elementare D_g = ρ_g/t = kg/(m³·s) H_g = D_g·v = ρ_g/t = kg/(m²·s²) J_g = ρ_g·v = kg/(m²·s)	$\nabla \cdot 𝐄_{𝐠} = - 4 π G ρ_{g}$ $\nabla \cdot 𝐁_{𝐠} = 0$ $\nabla \times 𝐄_{𝐠} = - \frac{\partial 𝐁_{𝐠}}{\partial t}$ $\nabla \times 𝐁_{𝐠} = \frac{1}{c^{2}} (- 4 π G 𝐉_{𝐠} + \frac{\partial 𝐄_{𝐠}}{\partial t})$ $\nabla \cdot 𝐃_{𝐠} = ρ_{g} f$ $\nabla \times 𝐇_{𝐠} = 𝐉_{𝐠} f + \frac{\partial 𝐃_{𝐠}}{\partial t}$	$\nabla \cdot 𝐄_{𝐠} = ρ_{g}$ $\nabla \cdot 𝐁_{𝐠} = 0$ $\nabla \times 𝐄_{𝐠} = - \frac{\partial 𝐁_{𝐠}}{\partial t}$ $\nabla \times 𝐁_{𝐠} = 𝐉_{𝐠} + \frac{\partial 𝐄_{𝐠}}{\partial t}$ $\nabla \cdot 𝐃_{𝐠} = ρ_{g} f$ $\nabla \times 𝐇_{𝐠} = 𝐉_{𝐠} f + \frac{\partial 𝐃_{𝐠}}{\partial t}$	$\nabla \cdot 𝐄_{𝐠} = 4 π ρ_{g}$ $\nabla \cdot 𝐁_{𝐠} = 0$ $\nabla \times 𝐄_{𝐠} = - \frac{\partial 𝐁_{𝐠}}{\partial t}$ $\nabla \times 𝐁_{𝐠} = 4 π 𝐉_{𝐠} + \frac{\partial 𝐄_{𝐠}}{\partial t}$ $\nabla \cdot 𝐃_{𝐠} = ρ_{g} f$ $\nabla \times 𝐇_{𝐠} = 𝐉_{𝐠} f + \frac{\partial 𝐃_{𝐠}}{\partial t}$
Forza di Lorentz del gravitomagnetismo di GEM	$𝐅_{g} = m (𝐄_{g} + 𝐯 \times 4 𝐁_{g})$
Vettore di Poynting del gravitomagnetismo di GEM Intensità, W/m²	$𝒮_{g} = - \frac{c^{2}}{4 π G} 𝐄_{g} \times 4 𝐁_{g}$	$𝒮_{g} = - \frac{_{1}}{4 π} 𝐄_{g} \times 4 𝐁_{g}$	$𝒮_{g} = - 𝐄_{g} \times 4 𝐁_{g}$
Equazione di campo gravitazionale di Albert Einstein (Relatività generale)	$G_{μ ν} = 8 π \frac{G}{c^{4}} T_{μ ν}$ ridotto $R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}$ originale $R_{μ ν} - \frac{1}{2} g_{μ ν} R + Λ g_{μ ν} = \frac{8 π G}{c^{4}} T_{μ ν}$ esteso	$G_{μ ν} = 2 T_{μ ν}$	$G_{μ ν} = 8 π T_{μ ν}$
Costante cosmologica	$ρ_{Λ} = \frac{Λ c^{4}}{8 π G}$	$ρ_{Λ} = \frac{Λ}{2}$	$ρ_{Λ} = \frac{Λ}{8 π}$
Metrica di Schwarzschild	$d s^{2} = (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}) d t^{2} - {(1 - \frac{2 G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} - r^{2} d θ^{2} - r^{2} {s e n}^{2} θ d ϕ^{2}$
Bosone di Higgs	$m_{H} = \sqrt{2 μ^{2}} \equiv \sqrt{2 λ v^{2}}$
Meccanismo del campo di Higgs	$- m \bar{ψ} ψ = - m ({\bar{ψ}}_{L} ψ_{R} + {\bar{ψ}}_{R} ψ_{L})$ da cui: $Φ = m + H$ $Φ Ψ Ψ = (m + H) Ψ Ψ$ $(m + H) Ψ Ψ = m Ψ Ψ + H Ψ Ψ$ $ϕ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} ϕ^{+} \\ ϕ^{0} \end{matrix})$ Langragiana di Higgs $ℒ_{H} = {[(\partial_{μ} - i g W_{μ}^{a} t^{a} - i g^{'} Y_{ϕ} B_{μ}) ϕ]}^{2} + μ^{2} ϕ^{†} ϕ - λ (ϕ^{†} ϕ)^{2}$
Fermioni cinetici di Dirac	$i \bar{ψ} γ^{μ} \partial_{μ} ψ$
Energia cinetica di Gauge	$ℒ_{k i n} = - \frac{1}{4} B_{μ ν} B^{μ ν} - \frac{1}{2} t r W_{μ ν} W^{μ ν} - \frac{1}{2} t r G_{μ ν} G^{μ ν}$
Interazione di Yukawa	$V \approx g \bar{Ψ} ϕ Ψ$ scalare $V \approx g \bar{Ψ} γ^{5} ϕ Ψ$ pseudoscalre
Costante gravitazionale entropica	$k_{e} = \frac{_{1}}{4 π ε_{0}} \equiv - G \frac{m_{1} m_{2}}{q_{1} q_{2}}$ $\frac{_{1}}{G} \equiv \frac{μ_{0}}{c^{2}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}} = \frac{_{1}}{4 π ε_{0} c^{4}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$	$k_{e} \equiv - \frac{m_{1} m_{2}}{4 π q_{1} q_{2}}$ $\frac{_{1}}{G} \equiv \frac{_{1}}{4 π c^{2}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$	$k_{e} \equiv - \frac{m_{1} m_{2}}{q_{1} q_{2}}$ $\frac{_{1}}{G} \equiv \frac{_{1}}{c^{2}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$

Nota:

Per la carica elementare $e$ :

e = \sqrt{4 π α}

(versione Lorentz – Heaviside)

e = \sqrt{α}

(versione gaussiana)

dove $α$ è la costante di struttura fine.

Per la massa di riposo dell'elettrone $m_{e}$ :

m_{e} = \sqrt{4 π α_{G}}

(versione di Lorentz – Heaviside)

m_{e} = \sqrt{α_{G}}

(versione gaussiana)

dove $α_{G}$ è la costante di accoppiamento gravitazionale.

Come si può vedere sopra, la forza gravitazionale di due corpi di $1$ massa di Planck ciascuno, separati da $1$ lunghezza di Planck è 1 forza di Planck nella versione gaussiana, o $\frac{1}{4 π}$ forza di Planck nella versione Lorentz-Heaviside. Allo stesso modo, la distanza percorsa dalla luce durante $1$ tempo di Planck è di $1$ lunghezza di Planck. Per determinare le grandezze fisiche, in termini di SI o di un altro sistema esistente di unità, devono essere soddisfatti i valori quantitativi delle cinque unità di Planck di base mediante le seguenti cinque equazioni:

$l_{P} = c t_{P}$

$F_{P} = \frac{l_{P} m_{P}}{t_{P}^{2}} = 4 π G \frac{m_{P}^{2}}{l_{P}^{2}}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

$F_{P} = \frac{l_{P} m_{P}}{t_{P}^{2}} = G \frac{m_{P}^{2}}{l_{P}^{2}}$ (Versione gaussiana)

$E_{P} = \frac{l_{P}^{2} m_{P}}{t_{P}^{2}} = ℏ \frac{1}{t_{P}}$

$C_{P} = \frac{t_{P}^{2} q_{P}^{2}}{l_{P}^{2} m_{P}} = ε_{0} l_{P}$ (Versione Lorentz – Heaviside)

$C_{P} = \frac{t_{P}^{2} q_{P}^{2}}{l_{P}^{2} m_{P}} = 4 π ε_{0} l_{P}$ (Versione gaussiana)

$E_{P} = \frac{l_{P}^{2} m_{P}}{t_{P}^{2}} = k_{B} Θ_{P}$

Scelte alternative di normalizzazione

Come già detto sopra, le unità di Planck sono derivate "normalizzando" i valori numerici di alcune costanti fondamentali su $1$ . Queste normalizzazioni non sono né le uniche possibili, né necessariamente le migliori. Inoltre, la scelta di quali fattori normalizzare, tra i fattori che compaiono nelle equazioni fondamentali della fisica, non è evidente e i valori delle unità di Planck sono sensibili a questa scelta.

Il fattore $4 π$ è onnipresente nella fisica teorica perché la superficie di una sfera di raggio $r$ è $4 π r^{2}$ . Questo, insieme al concetto di flusso, sono la base per la legge del quadrato inverso, la legge di Gauss e l'operatore di divergenza applicato alla densità del flusso. Ad esempio, i campi gravitazionali ed elettrostatici prodotti dalle cariche puntiformi hanno una simmetria sferica. Il $4 π r^{2}$ che appare a denominatore della legge di Coulomb in forma razionalizzata, ad esempio, segue il flusso di un campo elettrostatico distribuito uniformemente sulla superficie di una sfera; lo stesso accade per la legge di gravitazione universale di Newton. (Se lo spazio avesse più di tre dimensioni spaziali, il fattore $4 π$ dovrebbe essere modificato in base alla geometria della sfera in dimensioni superiori).

Quindi un corpo sostanziale di teoria fisica sviluppato da Planck (1899) suggerisce di normalizzare non $G$ ma $4 π G$ (o $8 π G$ oppure $16 π G$ ) a $1$ . In tal modo si introdurrebbe un fattore pari a $\frac{1}{4 π}$ (o $\frac{1}{8 π}$ oppure $\frac{1}{16 π}$ ) nella forma adimensionalizzata della legge di gravitazione universale, coerente con la moderna formulazione razionalizzata della legge di Coulomb in termini di permittività del vuoto. Infatti, le normalizzazioni alternative preservano frequentemente il fattore di $\frac{1}{4 π}$ anche nella forma non dimensionalizzata della legge di Coulomb, cosicché le equazioni di Maxwell non dimensionalizzate per l'elettromagnetismo e il gravitoelettromagnetismo assumono entrambe la stessa forma di quelle per l'elettromagnetismo nel SI, che non hanno alcun fattore $4 π$ . Quando questo viene applicato alle costanti elettromagnetiche, il sistema di unità viene chiamato razionalizzato. Se applicate in aggiunta alla gravitazione e alle unità di Planck, queste sono chiamate unità di Planck razionalizzate e si vedono fisica delle alte energie..

Le unità di Planck razionalizzate sono definite in modo tale che $c = 4 π G = ℏ = ϵ_{0} = k_{B} = 1$ . Queste sono le unità di Planck basate su unità di Lorentz-Heaviside (invece che sulle unità gaussiane più convenzionali) come illustrato sopra. Esistono diverse possibili normalizzazioni alternative.

Gravità

Nel 1899, la legge di gravitazione universale di Newton era ancora vista come esatta, piuttosto che come un'approssimazione conveniente per velocità e masse "piccole" (la natura approssimativa della legge di Newton fu dimostrata in seguito allo sviluppo della relatività generale nel 1915). Quindi Planck normalizzò a $1$ la costante gravitazionale $G$ nella legge di Newton. Nelle teorie emerse dopo il 1899, $G$ appare quasi sempre in formule moltiplicate per $4 π$ o un suo multiplo intero piccolo. Quindi, una scelta da fare quando si progetta un sistema di unità naturali è quale, se del caso, delle istanze di $4 π$ che compaiono nelle equazioni della fisica devono essere eliminate tramite la normalizzazione.

Normalizzando 4πG a 1, e quindi ponendo G=14π si ha che:
- la legge di Gauss per la gravità diventa $Φ_{g} = - M$ (piuttosto che $Φ_{g} = - 4 π M$ in unità di Planck)
- elimina $4 π G$ dall'equazione di Poisson
- elimina $4 π G$ nelle equazioni gravitoelettromagnetiche (GEM), che reggono in campi gravitazionali deboli o nello spaziotempo localmente piatto. Queste equazioni hanno la stessa forma delle equazioni di Maxwell (e dell'equazione della forza di Lorentz) dell'elettromagnetismo, con la densità di massa che sostituisce la densità di carica e con $\frac{1}{4 π G}$ che sostituisce $ε_{0}$
- normalizza l'impedenza caratteristica $Z_{0}$ della radiazione gravitazionale nello spazio libero a $1$ , normalmente espressa come $\frac{4 π G}{c}$
- elimina $4 π G$ dalla formula di Bekenstein-Hawking (per l'entropia di un buco nero in termini della sua massa $m_{B H}$ e area del suo orizzonte degli eventi $A_{B H}$ ) che è semplificata in $S_{B H} = π A_{B H} = (m_{B H})^{2}$ .
- in questo caso la massa di riposo dell'elettrone, misurata in termini di questa massa razionalizzata di Planck, è:

m_{e} = \sqrt{4 π α_{G}} \cdot m_{P} \approx 1.48368 \times 1 0^{- 22} \cdot m_{P}

dove

α_{G}

è la costante di accoppiamento gravitazionale. Questa convenzione è usata nella fisica delle alte energie.

Normalizzando $8 π G$ a $1$ , e quindi ponendo $G = \frac{1}{8 π}$ , si ha che ciò eliminerebbe $8 π G$ dalle equazioni di campo di Einstein, dall'azione di Einstein-Hilbert e dalle equazioni di Friedmann per la gravitazione. Le unità di Planck modificate in modo che $8 π G = 1$ sono note come unità di Planck ridotte, perché la massa di Planck è divisa per $\sqrt{8 π}$ . Inoltre, la formula di Bekenstein-Hawking per l'entropia di un buco nero si semplifica in $S_{B H} = \frac{(m_{B H})^{2}}{2} = 2 π A_{B H}$ .
Normalizzando $16 π G = 1$ , eliminerebbe la costante $\frac{c^{4}}{16 π G}$ dall'azione Einstein-Hilbert. La forma delle equazioni di campo di Einstein con costante cosmologica $Λ$ diventa $R_{μ v} + Λ g_{μ v} = \frac{1}{2} (R g_{μ v} + T_{μ v})$ .

Elettromagnetismo

Per costruire unità naturali nell'elettromagnetismo si possono usare:

Unità di Lorentz – Heaviside (classificate come un sistema razionalizzato di unità di elettromagnetismo).
Unità gaussiane (classificate come un sistema non razionalizzato di unità di elettromagnetismo).

Di questi, Lorentz – Heaviside è il sistema un po' più utilizzato, principalmente perché le equazioni di Maxwell sono più semplici nelle unità di Lorentz – Heaviside che non nelle unità gaussiane.

Nei sistemi a due unità, la carica dell'unità di Planck $q_{P}$ è:

$q_{P} = \sqrt{4 π α ℏ c}$ (Lorentz – Heaviside),
$q_{P} = \sqrt{α ℏ c}$ (Gauss)

dove $ℏ$ è la costante di Planck ridotta, $c$ è la velocità della luce e $α \approx \frac{1}{137}$ è la costante di struttura fine.

In un sistema di unità naturale in cui $c = 1$ , le unità di Lorentz – Heaviside possono essere derivate dalle unità impostando $ε_{0} = μ_{0} = 1$ . Unità gaussiane possono essere derivate da unità di un insieme più complicato di trasformazioni, come moltiplicando tutti i campi elettrici per $(4 π ε_{0})^{- 1 / 2}$ , tutte le suscettibilità magnetiche per $4 π$ e così via. Le unità di Planck normalizzano a $1$ la costante di Coulomb $k_{e} = \frac{1}{4 π ε_{0}}$ (come fanno il sistema di misura CGS e le unità gaussiane). Questo imposta l'impedenza di Planck, $Z_{P}$ , uguale a $\frac{Z_{0}}{4 π}$ dove $Z_{0}$ è l'impedenza caratteristica del vuoto.

La normalizzazione della costante dielettrica del vuoto da $ε_{0}$ a $1$ (come le unità di Planck della versione Lorentz – Heaviside):

imposta la permeabilità dello spazio libero $μ_{0} = 1$ (perché $c = 1$ ).
imposta l'impedenza dell'unità o la resistenza dell'unità all'impedenza caratteristica dello spazio libero, $Z_{P} = Z_{0}$ (o imposta l'impedenza caratteristica dello spazio libero da $Z_{0}$ a $1$ ).
elimina $4 π$ dalla forma non dimensionalizzata delle equazioni di Maxwell.
La legge di Coulomb ha un termine $4 π r^{2}$ rimanente al denominatore (che è la superficie della sfera racchiusa nel raggio $r$ ).
equivale alle nozioni di densità di flusso e intensità di campo nello spazio libero (intensità del campo elettrico $𝐄$ e induzione elettrica $𝐃$ , intensità del campo magnetico $𝐇$ e induzione magnetica $𝐁$ )
in questo caso la carica elementare, misurata in termini di questa carica razionalizzata di Planck, è:

e = \sqrt{4 π α} \cdot q_{P} \approx 0.302822121 \cdot q_{P}

dove $α$ è la costante di struttura fine. Questa convenzione è usata nella fisica delle alte energie.

Temperatura

Planck normalizzò a $1$ la costante di Boltzmann $k_{B}$

La normalizzazione di $\frac{1}{2} k_{B}$ a $1$ :

rimuove il fattore $\frac{1}{2}$ nell'equazione non dimensionalizzata per l'energia termica per particella ogni grado di libertà
introduce un fattore $2$ nella forma non dimensionalizzata della formula entropica di Boltzmann
non influenza il valore di nessuna delle unità di Planck di base o derivate elencate nelle Tabelle 2 e 3 diverse dalla temperatura di Planck, entropia di Planck, capacità termica specifica di Planck e conducibilità termica di Planck; la temperatura di Planck raddoppia e le altre tre diventano le loro metà.

Unità di Planck e il ridimensionamento invariante della natura

Alcuni teorici (come Dirac e Milne) hanno proposto cosmologie che ipotizzano che le "costanti" fisiche potrebbero effettivamente cambiare nel tempo (ad esempio una velocità della luce variabile o la teoria di G variabile di Dirac ). Tali cosmologie non hanno ottenuto l'accettazione generale e tuttavia esiste ancora un notevole interesse scientifico nella possibilità che le "costanti" fisiche possano cambiare, sebbene tali proposizioni introducano domande difficili. Forse la prima domanda da porsi è: in che modo un tale cambiamento farebbe una notevole differenza operativa nella misurazione fisica o, più fondamentalmente, nella nostra percezione della realtà? Se una particolare costante fisica fosse cambiata, come la noteremmo o come la realtà fisica sarebbe diversa? Quali costanti modificate si traducono in una differenza significativa e misurabile nella realtà fisica? Se una costante fisica che non è priva di dimensioni, come la velocità della luce, fosse effettivamente cambiata, saremmo in grado di notarla o misurarla in modo inequivocabile? Questa è una domanda esaminata da Michael Duff nel suo articolo "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali".

George Gamow sosteneva nel suo libro Mr Tompkins nel Paese delle Meraviglie che un cambiamento sufficiente in una costante fisica dimensionale, come la velocità della luce nel vuoto, avrebbe comportato evidenti cambiamenti percettibili. Ma questa idea è messa in discussione:

«[An] important lesson we learn from the way that pure numbers like α define the world is what it really means for worlds to be different. The pure number we call the fine structure constant and denote by α is a combination of the electron charge, e, the speed of light, c, and Planck's constant, h. At first we might be tempted to think that a world in which the speed of light was slower would be a different world. But this would be a mistake. If c, h, and e were all changed so that the values they have in metric (or any other) units were different when we looked them up in our tables of physical constants, but the value of α remained the same, this new world would be observationally indistinguishable from our world. The only thing that counts in the definition of worlds are the values of the dimensionless constants of Nature. If all masses were doubled in value [including the Planck mass m_P ] you cannot tell because all the pure numbers defined by the ratios of any pair of masses are unchanged.»

Facendo riferimento al "Commento sulla variazione temporale delle costanti fondamentali" di Duff e all'articolo di Duff, Okun e Gabriele Veneziano "Trialogo sul numero di costanti fondamentali", in particolare la sezione intitolata "The operationally indistinguishable world of Mr. Tompkins", se tutte le quantità fisiche (masse e altre proprietà delle particelle) fossero espresse in termini di unità di Planck, quelle quantità sarebbero numeri adimensionali (massa divisa per la massa di Planck, lunghezza divisa per la lunghezza di Planck, e così via) e le uniche quantità che alla fine misuriamo negli esperimenti fisici o nella nostra percezione della realtà sono numeri adimensionali. Quando si misura comunemente una lunghezza con un righello o un metro a nastro, si stanno effettivamente contando i segni di graduazione su un dato standard o misurando la lunghezza rispetto a quel dato standard, che è un valore adimensionale. Non è diverso per gli esperimenti fisici, poiché tutte le quantità fisiche vengono misurate rispetto a un'altra quantità di dimensioni simili.

Potremmo notare una differenza se una qualche grandezza fisica adimensionale (come la costante di struttura fine o il rapporto di massa protone/elettrone) cambiasse (le strutture atomiche cambierebbero), ma se tutte le quantità fisiche adimensionali rimanessero invariate (questo include tutti i possibili rapporti di quantità fisiche di dimensioni identiche), non possiamo dire se una quantità dimensionale, come la velocità della luce $c$ , è cambiata. E, in effetti, il concetto di Tompkins diventa privo di significato nella nostra percezione della realtà se una quantità dimensionale come $c$ è cambiata, anche drasticamente.

Se il valore velocità della luce $c$ è stato in qualche modo improvvisamente dimezzato e cambiato in $\frac{1}{2} c$ (ma con l'assioma che tutte le grandezze fisiche adimensionali rimangano uguali), allora la lunghezza di Planck aumenterebbe di un fattore $2 \sqrt{2}$ dal punto di vista di un osservatore esterno. Misurata da osservatori "mortali" in termini di unità di Planck, la nuova velocità della luce rimarrebbe come 1 nuova lunghezza di Planck per 1 nuovo tempo di Planck, che non è diverso dalla vecchia misurazione. Ma per assioma, la dimensione degli atomi (approssimativamente il raggio di Bohr) è correlata alla lunghezza di Planck da una costante immutabile di proporzionalità:

$a_{0} = \frac{4 π ϵ_{0} ℏ^{2}}{m_{e} e^{2}} = \frac{m_{P}}{m_{e} α} l_{P} .$

Quindi gli atomi sarebbero più grandi (in una dimensione) di $2 \sqrt{2}$ , e ognuno di noi sarebbe più alto di $2 \sqrt{2}$ , e così i nostri strumenti per misurare il metro sarebbero più alti (e più larghi e più spessi) di un fattore $2 \sqrt{2}$ . La nostra percezione della distanza e delle lunghezze rispetto alla lunghezza di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni.

I nostri orologi ticchetterebbero più lentamente di un fattore $4 \sqrt{2}$ (dal punto di vista di questo osservatore esterno) perché il tempo di Planck è aumentato di $4 \sqrt{2}$ , ma non conosceremmo la differenza (la nostra percezione delle durate del tempo rispetto al tempo di Planck è, per assioma, una costante immutabile senza dimensioni). Questo ipotetico osservatore esterno potrebbe osservare che la luce ora si propaga a metà della velocità che aveva precedentemente (così come tutte le altre velocità osservate), ma avrebbe comunque percorso $299792458$ dei nostri nuovi metri nel tempo trascorso da uno dei nostri nuovi secondi( $\frac{1}{2} c \cdot 4 \sqrt{2} / 2 \sqrt{2}$ continua a essere uguale a $299792458 m / s$ ). Non noteremmo alcuna differenza.

Ciò contraddice ciò che George Gamow scrive nel suo libro Mr. Tompkins; lì, Gamow suggerisce che se una costante universale dimensione-dipendente come $c$ cambiasse significativamente, dovremmo facilmente notare la differenza. Il disaccordo è meglio espresso dall'ambiguità nella frase "cambiare una costante fisica"; cosa succederebbe se (1) tutte le altre costanti senza dimensione sono state mantenute uguali o se (2) tutte le altre costanti dipendenti dalla dimensione vengono mantenute uguali. La seconda scelta è una possibilità alquanto confusa, poiché la maggior parte delle nostre unità di misura sono definite in relazione ai risultati degli esperimenti fisici, e i risultati sperimentali dipendono dalle costanti. Gamow non affronta questa sottigliezza; gli esperimenti di pensiero che conduce nelle sue opere popolari assumono la seconda scelta per "cambiare una costante fisica". E Duff o Barrow sottolineano che l'attribuzione di un cambiamento nella realtà misurabile, ovvero $α$ , a una specifica quantità dimensionale, come $c$ , è ingiustificata. La stessa differenza operativa nella misurazione o nella realtà percepita potrebbe anche essere causata da un cambiamento in $h$ o e se $α$ viene modificato e non vengono modificate altre costanti senza dimensione. Sono solo le costanti fisiche senza dimensioni che alla fine contano nella definizione di mondi.

Questo aspetto invariato della scala relativa a Planck, o quello di qualsiasi altro sistema di unità naturali, porta molti teorici a concludere che un ipotetico cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali può manifestarsi solo come un cambiamento nelle costanti fisiche senza dimensioni; una di queste costanti fisiche senza dimensioni è la costante di struttura fine. Ci sono alcuni fisici sperimentali che affermano di aver effettivamente misurato un cambiamento nella costante della struttura fine e questo ha intensificato il dibattito sulla misurazione delle costanti fisiche. Secondo alcuni teorici ci sono alcune circostanze molto speciali in cui i cambiamenti nella costante della struttura fine possono essere misurati come un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali. Altri tuttavia rifiutano la possibilità di misurare un cambiamento nelle costanti fisiche dimensionali in qualsiasi circostanza. La difficoltà o persino l'impossibilità di misurare i cambiamenti nelle costanti fisiche dimensionali ha portato alcuni teorici a discutere tra loro se una costante fisica dimensionale abbia o meno un significato pratico e che a sua volta porti a domande su quali costanti fisiche dimensionali siano significative.

Note

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Voci correlate

Portale Fisica

Portale Metrologia

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[16] to da Il matematico impertinente di Piergiorgio Odifreddi sul numero 553, settembre 2014, di Le Scienze

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