Wronskiano

In matematica, il wronskiano è un determinante introdotto dal matematico polacco Josef Hoene-Wronski diffusamente utilizzato nello studio di equazioni differenziali. Consente frequentemente di mostrare l'indipendenza lineare di un insieme di soluzioni.

Definizione

Il wronskiano di due funzioni differenziabili $f$ e $g$ è $W (f, g) = f g^{'} - g f^{'}$ . In generale, dato un insieme di n funzioni $f_{1}, \dots, f_{n}$ , il wronskiano $W (f_{1}, \dots, f_{n})$ è definito come:

W (f_{1}, \dots, f_{n}) (x) = | \begin{matrix} f_{1} (x) & f_{2} (x) & \dots & f_{n} (x) \\ {f_{1}}^{'} (x) & {f_{2}}^{'} (x) & \dots & {f_{n}}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{1}^{(n - 1)} (x) & f_{2}^{(n - 1)} (x) & \dots & f_{n}^{(n - 1)} (x) \end{matrix} | x \in I

ovvero come il determinante della matrice quadrata costruita mettendo le funzioni nella prima riga, la derivata prima di ogni funzione nella seconda riga, e così fino alla derivata $n - 1$ . In una equazione differenziale lineare del secondo ordine, il wronskiano può essere calcolato facilmente con l'identità di Abel.

Indipendenza lineare

Il wronskiano può essere usato per determinare se un insieme di funzioni derivabili è linearmente indipendente su un dato intervallo, in quanto se le funzioni $f_{i}$ sono linearmente dipendenti allora lo sono anche le loro derivate (essendo la derivata una trasformazione lineare), e dunque le colonne del wronskiano sono linearmente dipendenti.

Se il wronskiano è diverso da zero in almeno un punto dell'intervallo allora le funzioni associate sono linearmente indipendenti nell'intervallo; se sono invece linearmente dipendenti è uguale a zero, tuttavia non è vero il viceversa: se il wronskiano è uniformemente zero nell'intervallo le funzioni possono anche non essere linearmente dipendenti, cioè il fatto che $W = 0$ ovunque non implica la dipendenza lineare.

Questo utilizzo del wronskiano è presente in molte situazioni, ad esempio per verificare l'indipendenza lineare di due soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine.

Esempi

Si considerino le funzioni $f_{1} (x) = x^{2}$ , $f_{2} (x) = x$ e $f_{3} (x) = 1$ definite per $x$ numero reale. Calcolando il wronskiano:

W = | \begin{matrix} x^{2} & x & 1 \\ 2 x & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{matrix} | = - 2

si vede che

W

non è uniformemente nullo, quindi queste funzioni devono essere linearmente indipendenti.

Si considerino le funzioni $f_{1} (x) = 2 x^{2} + 3$ , $f_{2} (x) = x^{2}$ , e $f_{3} (x) = 1$ . Queste funzioni sono linearmente dipendenti, infatti $2 x^{2} + 3 = 2 (x^{2}) + 3 (1)$ . Così il wronskiano deve essere zero; come si può verificare nel seguente modo:

W = | \begin{matrix} 2 x^{2} + 3 & x^{2} & 1 \\ 4 x & 2 x & 0 \\ 4 & 2 & 0 \end{matrix} | = 8 x - 8 x = 0

Come detto precedentemente, il fatto che il wronskiano sia nullo non implica in generale che le funzioni considerate siano linearmente dipendenti. Si considerino le funzioni $f_{1} (x) = x^{3}$ e $f_{2} (x) = | x^{3} |$ , con $| \cdot |$ il valore assoluto. La seconda funzione può essere scritta come:

| x^{3} | = {\begin{matrix} - x^{3} x < 0 \\ x^{3} x \geq 0 \end{matrix}

È possibile verificare che queste due funzioni sono linearmente indipendenti nell'insieme dei numeri reali; tuttavia il loro wronskiano è zero:

W = {\begin{matrix} | \begin{matrix} x^{3} & - x^{3} \\ 3 x^{2} & - 3 x^{2} \end{matrix} | = - 3 x^{5} + 3 x^{5} = 0 x < 0 \\ | \begin{matrix} x^{3} & x^{3} \\ 3 x^{2} & 3 x^{2} \end{matrix} | = 3 x^{5} - 3 x^{5} = 0 x \geq 0 \end{matrix}

Bibliografia

(EN) T.M. Apostol, Mathematical analysis , Addison-Wesley (1974)
(EN) P. Hartman, Ordinary differential equations , Birkhäuser (1982)
(FR) G. Peano, "Sur le déterminant Wronskian" Mathesis , 9 (1989) pp. 75–76

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Wronskian, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Wronskiano, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Wronskian determinant, articolo su PlanetMath, con licenza GFDL
More on the Wronskian, Paul's Online Math Notes, su tutorial.math.lamar.edu.

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