Maple

ワークシート

Mapleは、ワークシートと呼ばれるワークスペースに数式や文書を記述する。このワークシートには、「ワークシートモード」と「ドキュメントモード」と呼ばれる2種類のモードがある。ワークシートモードは、主に計算を行う場合やプログラミングの際に役立つ。ワークシートには、グループとプロンプトが挿入され、計算実行のラインを明確にする。一方でドキュメントモードは、計算実行可能な数式を含む文書作成に役立つ。ワークシートモードとは異なり、ドキュメントモードはWordのように、まっさらなドキュメントを提供する。いずれのモードも文字のフォント、サイズ、色の変更の方法は、Wordに近い。

数式の入力形式

また、Mapleは2種類の数式入力形式を有し、それぞれ「1D Math 入力」、「2D Math 入力」と呼ばれる。1D Math 入力は、計算やプログラミングの際に、よく使われる。タイプした文字が、そのまま表示される。

例: diff(sin(x))

一方で、2D Math入力は、教科書で見るような数式の入力を可能にする。可読性が高まるため、教材の作成や技術文書の作成に向いている。 例;

積分

次の式を計算する。

${\displaystyle \int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)dx}$.

 int(cos(x/a), x);

出力:

${\displaystyle a\sin \left({\frac {x}{a}}\right)}$

行列式

次の行列式を計算する。

 M := Matrix([[1,2,3], [a,b,c], [x,y,z]]);

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\a&b&c\\x&y&z\end{bmatrix}}}$

LinearAlgebra:-Determinant(M);

${\displaystyle bz-cy+3ay-2az+2xc-3xb}$

級数展開

series(tanh(x), x = 0, 15)

${\displaystyle x-{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}-{\frac {17}{315}}\,x^{7}}$

${\displaystyle {}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}-{\frac {1382}{155925}}\,x^{11}+{\frac {21844}{6081075}}\,x^{13}+{\mathcal {O}}\left(x^{15}\right)}$

方程式の数値解

高次の多項式の根を数値的に計算する。

 f := x^53-88*x^5-3*x-5 = 0

 fsolve(f)

${\displaystyle -1.097486315}$, ${\displaystyle -.5226535640}$, ${\displaystyle 1.099074017}$

同じコマンドで連立方程式の解を求められる。

 f := (cos(x+y))^2 + exp(x)*y+cot(x-y)+cosh(z+x) = 0:

 g := x^5 - 8*y = 2:

 h := x+3*y-77*z=55;
                    
 fsolve( {f,g,h} );

{x = -1.543352313, y = -1.344549481, z = -.7867142955}

1変数関数のプロット

${\displaystyle x\sin(x)}$ を ${\displaystyle x}$ = -10 から 10 の範囲で描画する。

 plot(x*cos(x), x = -10..0);

2変数関数のプロット

${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ を${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ が -1 から 1 までの範囲で描画する。

plot3d(x^2+y^2, x = -1..1, y = -1..1);

関数のアニメーション

• 2変数関数のアニメーション

${\displaystyle f:={\frac {2k^{2}}{\cosh ^{2}\left(xk-4k^{3}t\right)}}}$

plots:-animate(subs(k = 0.5, f), x=-30..30, t=-10..10, numpoints=200, frames=50, color=red, thickness=3);

• 3変数関数のアニメーション

plots:-animate3d(cos(t*x)*sin(3*t*y), x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..2);

• 3Dプロットのフライスルーアニメーション

 M := Matrix([[400,400,200], [100,100,-400], [1,1,1]], datatype=float[8]):
 plot3d(1, x=0..2*Pi, y=0..Pi, axes=none, coords=spherical, viewpoint=[path=M]);

ラプラス変換

• ラプラス変換

f := (1+A*t+B*t^2)*exp(c*t);

${\displaystyle \left(1+A\,t+B\,t^{2}\right)e^{ct}}$

 inttrans:-laplace(f, t, s);

${\displaystyle {\frac {1}{s-c}}+{\frac {A}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2B}{(s-c)^{3}}}}$

• 逆ラプラス変換

inttrans:-invlaplace(1/(s-a), s, x);

${\displaystyle e^{ax}}$

フーリエ変換

• フーリエ変換

 inttrans:-fourier(sin(x), x, w)

${\displaystyle \mathrm {I} \pi \,(\mathrm {Dirac} (w+1)-\mathrm {Dirac} (w-1))}$

積分方程式

積分方程式を満たす関数 ${\displaystyle f}$ を求める。

${\displaystyle f(x)-3\int _{-1}^{1}(xy+x^{2}y^{2})f(y)dy=h(x)}$.

eqn:= f(x)-3*Int((x*y+x^2*y^2)*f(y), y=-1..1) = h(x):
intsolve(eqn,f(x));

${\displaystyle f\left(x\right)=\int _{-1}^{1}\!\left(-15\,{x}^{2}{y}^{2}-3\,xy\right)h\left(y\right){dy}+h\left(x\right)}$

数式、関数の定義、代入、代数演算等に関するコマンド

f:=x->x*exp(-x^2); 

g:=(x,y)->y*exp(-x^2);

f:=x*exp(-x^2);

代入

代入に関するコマンド、つまり、文字式や関数に、文字や数字を代入するためのコマンドとしては、evalとsubsが代表的である。

f:=(x,y,z)->y*exp(-x^2)+z;

subs( x=2, x^2+x+1 );

subs( x=A, x^2+x+1 );

h:=x*exp(-x^2);
subs( x=A, f );

f:=x->x*exp(-x^2):
subs( x=A, f );

f

f:=x->x*exp(-x^2):
subs( x=A, f(x) );

                          / d      \       
                   der := |--- f(x)| + f(x)
                          \ dx     /       

               /    / d               \\       
               |eval|--- f(x), {x = 0}|| + f(0)
               \    \ dx              //       

                    (diff(f(0), 0)) + f(0)

整式の整理

多項式等を降冪の順や昇冪の順にならべることができる。ただし、Sinの次数について並べ替えるのは難しい。

基本構文

曲線を描画する plot コマンドの基本形は、以下となります

plot(曲線の定義式、x=a..b,options);

曲面を描画する plot3d コマンドの基本形は、以下となります

plot3d(曲面の定義式, x=a..b, y=c..d, options) ;

x,y,z で、陰関数で定義されたグラフの場合は

plots[implicitplot3d](陰関数による曲面の定義式, x=a..b, y=c..d,z=e..f, options) 

である。その他に媒介変数表示等も可能だが、それは下の表に纏めます。

　ただし、曲面を描画する場合には、

with(plots): 

を予め読み込んでおかねばならない。具体的には、

with(plots):
implicitplot3d(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1) 

のようにすればよい。ただし、この場合はzの定義域や、曲面の色やグリッドを指定するためのoptionは省略した（省略しても問題ない）。

また、with(plots):は同じシェルの上で作業する限り一度読み込めば、あとはそのシェルを終了するまで有効なので、 　

plot3d(x+y, x=1..2, y=1..2); 


別の作業
with(plots):


implicitplot3d(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1);

のように、一度だけ読み込んでその後は読み込む必要がないが、

plot3d(x+y, x=1..2, y=1..2); 


別の作業


with(plots):

implicitplot3d(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1);

のように、曲面を描くたびに読み込んでも別段問題がない。

一般性を持った曲面描画のプログラム

基本はこれでよいのだが、現実には『複数の曲面や曲線を同じエリアに描く』あるいは 『予め定義しておいた関数に関するグラフを書く』あるいはその両方を行うことが 単独のグラフを書くことに比べ多いだろう。 そのため、比較的応用範囲が広いプログラムを一つ挙げておこう。以下のプログラムは、 『ｇ（x,y）の定義を行ったうえでそれのグラフとg(x,y)=1についての陰関数を、表示色を変えて同時に表示させる』ものである。

with(plots): 

g:=(x,y)->y*exp(-x^2); 

p1:=plot3d(g(x,y),x=-3..4,y=-2..4,axes=boxed):

p2:=implicitplot3d(g(x,y)=1,x=-3..4,y=-2..4,z=-2..4,axes=boxed,grid= [15,15,15],style=patchnogrid):

display(p1,p2);

表示するグラフを3つ以上に増やすこともできる

with(plots):

g:=(x,y)->y*exp(-x^2);

p1:=plot3d(g(x,y),x=-3..4,y=-2..4,axes=boxed):

p2:=implicitplot3d(g(x,y)=1,x=-3..4,y=-2..4,z=-2..4,axes=boxed,grid=[15,15,15],style=patchnogrid):

p3:=plot3d(x*y ,x=-3..4,y=-2..4,axes=boxed):

display(p1,p2,p3);　

もちろん、1種類の曲面のみを表すことも、可能である。

with(plots):　

g:=(x,y)->y*exp(-x^2);
p1:=plot3d(g(x,y),x=-3..4,y=-2..4,axes=boxed):
display(p1);

尚、g,p1,p2　等の変数名は好きなように変えてよい。（変更で影響を受ける部分、例えば『display(p1,p2);』等も同時に正しく変更すれば）問題ない。例えば

with(plots): 

f:=(x,y)->y*exp(-x^2); 

p:=plot3d(g(x,y),x=-3..4,y=-2..4,axes=boxed):

q:=implicitplot3d(f(x,y)=1,x=-3..4,y=-2..4,z=-2..4,axes=boxed,grid= [15,15,15],style=patchnogrid):

display(p,q);

のようにしても何も問題ない。

曲面描画の主なオプション

曲面の形式としては、グラフ（plot3d）、陰関数のグラフ（implicitplot3d）等がある。 その他のものは以下の表に纏める。

和書

出版順に並べる。年、月、日が不明なものはそれぞれ明らかなものよりも前側に置くことにする。

• B.W. チャー、G.H. ゴネット、M.B. モナガン、K.O. ゲディス：「よくわかるMaple 5」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431706526（1993年8月）。
• B.W. チャー、G.H. ゴネット、M.B. モナガン、K.O. ゲディス：「はじめてのMaple5」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431706519（1993年8月）。
• 守谷 両時:「Mapleで数学を 入門編」、海文堂出版、ISBN 978-4303732608（1996年3月）。
• 守谷両時：「Mapleで数学を―線形代数編」、海文堂出版、ISBN 978-4303732707 (1996年4月）。
• K.M. ヒール、K.M. リカード、M.L. ハンセン：「はじめてのMaple V〈リリース4〉」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431707288（1997年4月）。
• 小国力：「Maple Vと利用の実際 -数式処理とCG-」、サイエンス社、ISBN 4-7819-0829-2（1997年5月25日）。
• ユージン・W. ジョンソン；「MAPLE V 線形代数」 (実践数式処理シリーズ)、ISBN 978-4900718395（1997年7月）。
• アルバート ボッジス, ディビット バロー:「MAPLE V 微積分」 (実践数式処理シリーズ)、オーム社、ISBN 978-4900718418（1997年8月）。
• ナンシー・R. ブラックマン, マイケル・J. モッシンホフ:「Maple V リファレンスブック」 (実践数式処理シリーズ)、オーム社、4-900718-42-4（1997年9月12日）。
• Eade Ellis, Jr.+Eugene Johnson+Ed Lodi + Daniel Schwalbe:「Maple V Release 4 - 数式処理入門」、オーム社、4-900718-49-1(1997年9月22日)。
• 守谷両時：「Mapleで数学を―微積分編Ｉ」、海文堂出版、ISBN 978-4303732806(1997年10月)。
• 守谷両時：「Mapleで数学を―微積分編 II」、海文堂出版、ISBN 978-4303732905（1997年10月）。
• ウィリアム・C. ボウドリー , ジョセフ・R. フィドラー ：「MAPLE 5 応用数学」 (実践数式処理シリーズ) 、オーム社、ISBN 978-4900718487(1997年10月）。
• ウエイド エリス ジュニア、エド ロディ、ユージン ジョンソン：「MAPLE V数式処理入門〈Release4〉」(実践数式処理シリーズ) 、オーム社、ISBN 978-4900718494（1997年10月）。
• C.T.J. ドッドソン (著), E.A. ゴンザレス：「Maple Vで学ぶ実験数学」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431707387（1997年10月）。
• ジョン・S. デビット:「MAPLE V 数学解法事典」 (実践数式処理シリーズ) 、オーム社、ISBN 978-4900718548（1997年12月）。
• 阿部寛：「Maple Vによる数式処理入門ー物理・工学への応用」、講談社サイエンティフィック、ISBN 4-06-153230-8（1998年3月10日）。
• A.I. ベルツァー：「シミュレーション工学入門―Maple/Mathematicaによる導入」、培風館、ISBN 978-4563035280 (1998年9月)。
• K.M.ヒール、M.L.ハンセン、K.M.リカード：「Maple V リリース5、ラーニングガイド」、シュプリンガーフェアラーク東京、ISBN 4-431-70776-X (1998年9月25日)。
• 示野信一： 「Maple Vで見る数学ワールド」、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431708001（1999年5月）。
• 「MAPLE V 微積分」 (実践数式処理シリーズ)、オーム社、ISBN 978-4274024245（2000年4月）。
• 赤間世紀:「はやわかりMaple」、共立出版、ISBN 978-4320029866 (2000年8月10日)。
• 井上毅 :「Mapleによる確率・統計」、森北出版、ISBN 978-4627094710（2001年4月）。
• クリストファー・S. トッチィ, スティーブン アダムス:「技術者と科学者のためのMaple活用技法」、 秀和システム、ISBN 978-4798001067（2001年4月16日）。
• Waterloo Maple Inc(編)：「maple 7ラーニングガイド」、シュプリンガーフェアラーク東京、ISBN 4-431-70960-6 (2002年3月3日)。
• Waterloo Maple Inc. (編)：「Maple 7 プログラミングガイド」、 シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 978-4431709619（2002年6月）。
• 石渡昭一:「Maple Vによる強力超音波システムの理論と応用」、PS研究所、ISBN 978-4901951210（2006年8月）。
• 遠山聡一、佐藤晶信：「速習Maple- STEMコンピューティングを活用する機械系の工業数学 -」、 コロナ社、ISBN 978-4339028645（2016年10月13日）。

洋書

• Bruce W. Char, K.O. Geddes, Gaston H. Gonnet, B. Leong：Maple V Reference Manual, Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K, ISBN 978-3-54097622-6 (1991/11).
• André Heck: Introduction to Maple, 3rd Ed., Springer, ISBN 978-1-4613-0023-6 (2003).