Booglengte

Booglengte is in de meetkunde de lengte van een kromme of van een deel daarvan.

Formule

Voor een kromme in het platte vlak, gegeven door de parametervergelijkingen voor ${\displaystyle x(t)}$ en ${\displaystyle y(t)}$, wordt de booglengte bepaald door een infinitesimaal klein stukje ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ van de kromme te integreren. Voor een klein stukje ${\displaystyle \Delta s}$ geldt bij goede benadering volgens de stelling van Pythagoras:

${\displaystyle \Delta s^{2}\approx \Delta x^{2}+\Delta y^{2}}$.

De definitie van een boog is, dat het een deel van een kromme is. ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ komt hier dus met een infinitesimaal kleine boog overeen. In de limiet is:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}$,

zodat:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\ }}\mathrm {d} t}$,

mits de afgeleiden bestaan.

In het geval van een expliciete functie ${\displaystyle y(x)}$ wordt dit:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\ }}\mathrm {d} x}$,

en in poolcoördinaten:

${\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\rho ^{2}(\theta )+\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \theta }}\right)^{2}\ }}\mathrm {d} \theta }$,

De booglengte ${\displaystyle s(t_{0})}$ van de kromme tot aan het punt ${\displaystyle t=t_{0}}$ wordt dan:

${\displaystyle s(t_{0})=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\ }}\mathrm {d} t}$

Betreft de kromme de grafiek van een differentieerbare functie ${\displaystyle f}$, dan kan deze formule anders worden geschreven door de variabele ${\displaystyle x}$ als parameter te kiezen. De booglengte ${\displaystyle L}$ van ${\displaystyle x=a}$ tot ${\displaystyle x=b}$ wordt dan:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}\ }}\mathrm {d} x}$

Zelfs in eenvoudige gevallen bestaat er vaak geen gesloten vorm van deze integraal en moet deze numeriek worden berekend.

Algemene vormen

Parametrisering door booglengte

Als een kromme door een differentieerbare functie ${\displaystyle f}$ wordt gedefinieerd van een reële parameter ${\displaystyle t}$, dan noemen we deze parametrisering regulier als de afgeleide van ${\displaystyle f}$ op het beschouwde interval nergens nul wordt.

Bij een reguliere kromme is de functie

${\displaystyle s:[0,t_{0}]\to \mathbb {R} :t\mapsto \int _{0}^{t}\|f'(r)\|\mathrm {d} r}$

differentieerbaar, strikt stijgend en de afgeleide ${\displaystyle s'(r)=\|f'(r)\|}$ is overal strikt positief. De volledige beeldverzameling van ${\displaystyle s}$ is dus het interval ${\displaystyle [0,s(t_{0})].}$ De inverse functie

${\displaystyle s^{-1}:[0,s(t_{0})]\to [0,t_{0}]}$

is eveneens strikt stijgend en differentieerbaar met positieve afgeleide. Dat betekent dat we de oorspronkelijke kromme ${\displaystyle f}$ kunnen herparametriseren in termen van de booglengte ${\displaystyle s}$. De nieuwe kromme

${\displaystyle g:[0,s(t_{0})]\to X:r\mapsto f(s^{-1}(r))}$

heeft dezelfde beeldverzameling in ${\displaystyle X}$ als de oorspronkelijke kromme ${\displaystyle f}$, maar heeft ook de bijkomende eigenschap dat de snelheidsvector ervan overal lengte één heeft:

${\displaystyle \|g'(r)\|=\|f'(s^{-1}(r)).(\mathrm {d} s^{-1}/\mathrm {d} r)\|=\left\|{f'(s^{-1}(r)) \over (\mathrm {d} s/\mathrm {d} t)(s^{-1}(r))}\right\|={\|f'(s^{-1}(r))\| \over \|f'(s^{-1}(r))\|}=1}$