Evil getal

Een evil getal is een niet-negatief geheel getal waarvan de binaire schrijfwijze (representatie) een even aantal enen heeft.

Voorbeelden

De machten van $2$ plus $1$ :

{{(3)}_{10}}={{(11)}_{2}},\ {{(5)}_{10}}={{(101)}_{2}},\ {{(9)}_{10}}={{(1001)}_{2}},\ {{(17)}_{10}}={{(10001)}_{2}},\ ...

En ook:

{{(0)}_{10}}={{(0)}_{2}},\ {{(3)}_{10}}={{(11)}_{2}},\ {{(5)}_{10}}={{(101)}_{2}},\ {{(9)}_{10}}={{(1001)}_{2}},\ {{(17)}_{10}}={{(10001)}_{2}},\ {{(18)}_{10}}={{(10010)}_{2}}

De eerste twintig evil getallen zijn:

0,3,5,6,9,10,12,15,17,18,20,23,24,27,29,30,33,34,36,39

De natuurlijke getallen die geen evil getal zijn, heten odious getallen. Van die getallen heeft de binaire schrijfwijze een oneven aantal enen.

Eigenschappen

De evil getallen geven, met index $\geq 0$ , de positie van de nullen aan in de rij van Thue-Morse, die bestaat uit nullen en enen.

Deze rij begint, met de index

t_{0}=0

en

t_{1}=1

, als volgt:

0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,...

De indexen van de nullen in deze rij zijn inderdaad:

0,3,5,6,9,...

De evil en odious getallen gedragen zich onder de ‘nim-optelling’, ⨁, zoals de even en oneven getallen onder de ‘gewone’ optelling. Dus:

• evil ⨁ evil = evil

• odious ⨁ oddious = evil

• evil ⨁ odious = odious ⨁ evil = odious

Etymologie

John Conway gebruikt in Winning Ways de woorden ‘evil numbers’ en ‘odious numbers’ voor getallen met een even c.q. oneven aantal enen in de binaire representatie.
De begrippen ‘evil’ en ‘odious’ zijn, in dit verband, afgeleid van het Engelse ‘even’ (= Ned. even) en ‘odd’ (= Ned. oneven). Net als in het Engels zijn de bijvoeglijke naamwoorden bij gebruik in het Nederlands onveranderlijk.

Zie ook

Bronnen

E.R. Berlekamp, J.H. Conway, R.K. Guy (1982): Winning Ways for Your Mathematical Plays. Wellesley (MA, USA): A.K. Peters Ltd., 2e editie (2006).
M. Looijen (2015): Over getallen gesproken. Zaltbommel: Van Haren Productions (VHP); 2e herziene druk.

Noten

↑ (en) Rij: A001969 – Evil numbers. In: On-line Encyclopedia of Integer Sequences. Gearchiveerd op 27 maart 2023.
1 2 Zie Bronnen – Berlekamp e.a.: pp. 109-110, pp. 463-464.
Op pag. 464 staat: “Every number is odious or evil according to the number of 1’s in its binary expansion (odious for odd, evil for even).”
↑ (en) Rij: A000069 – Odious numbers. In: On-line Encyclopedia of Integer Sequences
↑ Definitie nim-optelling – Voor ieder tweetal gehele, niet-negatieve getallen $a,b$ is: ${{(a)}_{10}}\oplus {{(b)}_{10}}={{(a)}_{2}}+{{(b)}_{2}}$ , met 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, dus zonder overdracht (carry).

[1] (en) Rij: A001969 – Evil numbers. In: On-line Encyclopedia of Integer Sequences. Gearchiveerd op 27 maart 2023.

[con-2] 1 2 Zie Bronnen – Berlekamp e.a.: pp. 109-110, pp. 463-464.
Op pag. 464 staat: “Every number is odious or evil according to the number of 1’s in its binary expansion (odious for odd, evil for even).”

[3] (en) Rij: A000069 – Odious numbers. In: On-line Encyclopedia of Integer Sequences

[4] Definitie nim-optelling – Voor ieder tweetal gehele, niet-negatieve getallen $a,b$ is: ${{(a)}_{10}}\oplus {{(b)}_{10}}={{(a)}_{2}}+{{(b)}_{2}}$ , met 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0, dus zonder overdracht (carry).