Matrixring

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de matrixring ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ de verzameling van alle ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een willekeurige ring ${\displaystyle R}$. Deze verzameling is zelf een ring onder de operaties matrixoptelling en matrixvermenigvuldiging.

Eigenschappen

• De matrixring ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ is alleen dan commutatief als ${\displaystyle n=1}$ en de ring ${\displaystyle R}$ commutatief is en in de triviale gevallen dat ${\displaystyle n=0}$ of dat ${\displaystyle R}$ de triviale ring is.
• Als ${\displaystyle R}$ commutatief is, is ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ een *-algebra over ${\displaystyle R}$ met ${\displaystyle *}$ het transponeren van een matrix. De afbeelding ${\displaystyle *\colon \mathrm {M} (n,R)\to \mathrm {M} (n,R)}$ met ${\displaystyle A^{*}=A^{\top }}$ is immers een involutie en voldoet aan:

${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$

${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

${\displaystyle I^{*}=I}$

${\displaystyle (A^{*})^{*}=A}$

• Het centrum van een matrixring over ${\displaystyle R}$ bestaat uit matrices die van de vorm ${\displaystyle b}$ maal de identiteitsmatrix zijn, waar ${\displaystyle b}$ tot het centrum van de ring ${\displaystyle R}$ behoort.
• Een matrixring over een delingsring is een artiniaanse enkelvoudige ring. Het omgekeerde is ook waar en wordt de stelling van Artin-Wedderburn genoemd.
• Een matrixring over een priemring is een priemring.