Priemring

In de abstracte algebra, meer specifiek de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, heet een niet-triviale ring ${\displaystyle R}$ een priemring, als voor elke twee elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ van ${\displaystyle R}$ geldt dat als ${\displaystyle a\,r\,b=0}$ voor alle ${\displaystyle r}$ in ${\displaystyle R}$, dan is of ${\displaystyle a=0}$ of ${\displaystyle b=0}$. Priemringen kunnen ook verwijzen naar de delingsringen van een lichaam (Ned) / veld (Be) bepaald door haar karakteristiek. Voor een lichaam/veld met karakteristiek 0, is de priemring de verzameling gehele getallen; voor een lichaam/veld met karakteristiek een priemgetal is de priemring het eindige lichaam/veld van orde ${\displaystyle p}$.

Onder de eerste definitie kan men priemringen beschouwen als een gelijktijdige generalisatie van zowel integriteitsdomeinen als matrixringen over een lichaam/veld.

Voorbeelden

• Elke niet-triviale ring zonder nuldelers (domein) is een priemring.
• Elke enkelvoudige ring is een priemring, en meer in het algemeen is elke linker- of rechter primitieve ring is een priemring.
• Elke matrixring over een integriteitsdomein is een priemring. Met name is de ring van geheeltallige ${\displaystyle 2\times 2}$-matrices een priemring.

Eigenschappen

• Een commutatieve ring is een priemring dan en slechts dan als deze commutatieve ring ook een Integriteitsdomein is.
• Een ring is dan en slechts dan priem als haar nulideaal ${\displaystyle \{0\}}$ een priemideaal is.
• Een niet-triviale ring is dan en slechts dan priem als de monoïde van zijn idealen geen nuldelers heeft.
• De ring van matrices over een priemring is opnieuw een priemring.

Voetnoten

Referenties

• (en) Lam, Tsit-Yuen, A First Course in Noncommutative Rings (Een eerste cursus in niet-commutatieve ringen), Springer-Verlag, Berlin, New York, 2nd, 978-0-387-95325-0, 2001