Clubcarrière
Tangvik begon met voetballen bij Byåsen Toppfotball. In 2017, op veertienjarige leeftijd, stapte hij over naar de jeugdopleiding van Rosenborg BK. Hij startte bij de onder-16, waarmee hij in 2018 de finale van het Noorse bekertoernooi voor spelers onder 16 jaar bereikte, die werd verloren van Stabæk Fotball. Een jaar later won hij met de onder-19 het bekertoernooi voor spelers onder 19 jaar door in de finale Odds BK met 3–0 te verslaan. In juni 2019 tekende hij zijn eerste profcontract. Kort daarop maakte hij als jeugdspeler zijn debuut in het tweede elftal. In het seizoen 2020 maakte hij de overstap naar de senioren, waarna hij vanwege zijn leeftijd in 2021 nog twee wedstrijden met de onder-19 in de UEFA Youth League speelde.
Rosenborg BK
Op 10 juni 2019 maakte Tangvik op zeventienjarige leeftijd zijn eerste minuten in het eerste elftal van Rosenborg. In een oefenwedstrijd tegen Kolstad IL verdedigde hij het doel omdat eerste doelman André Hansen ontbrak en tweede doelman Rasmus Sandberg met een jeugdselectie van Noorwegen op pad was. Rosenborg won de wedstrijd met 3–0. Na een aantal wedstrijden als reservedoelman op de bank bij het tweede elftal te hebben gezeten, maakte Tangvik op 26 augustus 2019 zijn debuut als jeugdspeler bij de senioren. Trainer Gert Heerkes bracht hem tijdens de rust van de met 9–0 gewonnen thuiswedstrijd tegen het tweede elftal van Raufoss IL in de 3. divisjon in het veld als vervanger van Rasmus Sandberg. Hij kwam dat seizoen nog eenmaal in actie. Het tweede elftal van Rosenborg werd dat seizoen kampioen.
Door de promotie van het tweede elftal maakte Tangvik op 20 juli 2020 zijn debuut in het betaalde voetbal tijdens de thuiswedstrijd tegen SK Vard Haugesund in de 2. divisjon. Vanwege een blessure moest hij zich in de achtste minuut laten vervangen door Ståle Arntsberg. Een week later stond hij opnieuw onder de lat en bleef dat doen tot de competitie in oktober werd stilgelegd vanwege de coronapandemie. Vanwege blessures van André Hansen en Rasmus Sandberg fungeerde Tangvik vanaf mei 2020 als derde doelman van het eerste elftal. Hij was in een reeks wedstrijden reservedoelman, maar kwam daarbij niet in actie.
Voor aanvang van het seizoen 2021 tekende Tangvik in maart een nieuw driejarig contract en werd hij onderdeel van het eerste elftal. Op 1 augustus maakte hij zijn officiële debuut in het eerste elftal tijdens de tweede ronde van de Noorse voetbalbeker in een uitwedstrijd tegen Orkla FK. In het met 1–11 gewonnen duel kwam hij in de rust in het veld voor André Hansen. Naast een groot aantal reservebeurten bleef het bij deze ene wedstrijd in het eerste elftal. Bij het tweede elftal was hij inmiddels vaste doelman en aanvoerder geworden. Het tweede elftal degradeerde dat seizoen. In het seizoen 2022 werd hij vaste tweede doelman achter André Hansen en maakte hij op 6 november zijn competitiedebuut in de Eliteserien tegen FK Jerv. Trainer Kjetil Rekdal bracht hem vlak voor tijd in het veld. Het bleef dat seizoen bij deze ene invalbeurt.
Op 12 maart 2023 stond hij tijdens de achtste finale van de Noorse voetbalbeker tegen Viking FK voor het eerst in de basis van het eerste elftal. Vanaf augustus kreeg Tangvik steeds vaker een basisplaats en tegen het einde van het seizoen was hij de eerste doelman. In de laatste wedstrijd van het seizoen 2023 tegen Viking FK kreeg hij twee keer geel en werd hij voor het eerst in zijn carrière van het veld gestuurd. Na het vertrek van André Hansen naar Odds BK werd Tangvik voorafgaand aan het seizoen 2024 de vaste eerste doelman van Rosenborg. Hij ontbrak alleen in de eerste competitiewedstrijd vanwege zijn schorsing uit het voorgaande seizoen en stond daarna in de rest van de competitie en de bekerwedstrijden in het doel.. In het seizoen 2025 maakte Tangvik op 24 juli zijn Europese debuut tijdens een kwalificatiewedstrijd voor de UEFA Champions League tegen FK Banga uit Litouwen. Hij kwam dat seizoen in zes Europese kwalificatiewedstrijden in actie. In januari 2026 maakte hij de overstap naar Hamburger SV.
Hamburger SV
Op 22 januari 2026 tekende Tangvik een contract tot 2030 bij Hamburger SV. Hij werd gehaald als vervanger van de vertrokken tweede doelman Daniel Peretz, terwijl Daniel Heuer Fernandes de eerste doelman bleef. De Duitse club betaalde € 2,5 miljoen voor Tangvik. Op 16 mei maakte hij op de laatste speeldag van het seizoen zijn debuut voor HSV in de uitwedstrijd tegen Bayer 04 Leverkusen. In de met 1–1 gelijkgespeelde wedstrijd stopte hij een strafschop van Patrik Schick. In het seizoen 2026/27 bleef hij tweede doelman, maar wees hoofdcoach Merlin Polzin hem aan als doelman voor de bekerwedstrijden.
Noorwegen
Hamburger SV
.svg){kind=small}
