Sjachtar Donetsk
Kovalenko is afkomstig uit de jeugdacademie van Sjachtar Donetsk. Hij debuteerde op 28 februari 2015 in de Oekraïense competitie, tegen Vorskla Poltava. Hij viel na vierentachtig minuten in voor Ilsinho. Sjachtar Donetsk won de thuiswedstrijd met 3–0. Op 9 mei 2015 mocht de centrale middenvelder voor de tweede maal mee doen in de uitwedstrijd tegen Hoverla Oezjhorod. Kovalenko viel na tweeënzeventig minuten in voor Marlos bij een 3–4 voorsprong. Hij gaf de assist voor de vijfde en zesde treffer waardoor de score nog verder uitliep tot 3–7.
Op 28 juli 2015 maakte Kovalenko zijn debuut in Europa. Hij kwam na negenzeventig minuten Taison vervangen in een kwalificatiewedstrijd voor de Champions League tegen Fenerbahçe. Sjachtar Donetsk wist zicht uiteindelijk te plaatsen voor de groepsfase en kwam terecht in een groep met Real Madrid, PSG en Malmö FF. Kovalenko mocht in vijf van de zes wedstrijden invallen en Sjachtar kwalificeerde zich via een derde plek voor de tussenronde van de Europa League. Daar schakelde Sjachtar achtereenvolgens Schalke 04, RSC Anderlecht en SC Braga uit om vervolgens in de halve finale te verliezen van Sevilla. Kovalenko stond alle wedstrijden in de basis en maakte op 25 februari 2016 tegen Schalke 04 zijn eerste Europese doelpunt.
In honderdzesenegentig wedstrijden kwam Kovalenko aan tweeëndertig doelpunten en twaalf assists.
Atalanta
Op 1 februari 2021, met nog maar zes maanden contract bij Sjachtar, tekende Kovalenko een contract voor vier en een half jaar bij de Serie A-club Atalanta voor een bedrag van ongeveer € 700.000.
Hij maakte zijn debuut voor de club op 21 maart 2021, toen hij in de zeventachtigste minuut inviel voor zijn landgenoot Ruslan Malinovskyi in een 2-0-overwinning tegen Hellas Verona.
Spezia (leen)
Op 8 augustus 2021 werd Kovalenko voor één seizoen uitgeleend aan Spezia, dat ook uitkomt in de Serie A. Hij debuteerde op 12 september in een met 0-1 verloren wedstrijd tegen Udinese. Op 16 oktober maakte Kovalenko een kwartier voor het einde het beslissende doelpunt in de 2-1 overwinning tegen Salernitana. Eerder had hij al de assist gegeven voor de gelijkmaker van David Strelec.
Op 2 augustus 2022 keerde hij opnieuw op huurbasis terug, waarbij Spezia verplicht is hem definitief over te nemen als de club degradatie weet te voorkomen. Spezia eindigde op een zeventiende plek waardoor het in een rechstreeks duel met nummer achttien, Hellas Verona moest uitmaken wie er zou degraderen. Hellas Verona won de wedstrijd met 1-3 en veroordeelde Spezia tot degradatie waardoor de verplichte aankoopoptie niet gelicht werd.
Kovalenko kwam in twee periodes aan zevenenveertig wedstrijden waarin hij één doelpunt maakte en vijf assists gaf.
Empoli (leen)
Op 25 augustus 2023 werd Kovalenko uitgeleend aan Empoli. Hij maakte zijn debuut op 3 september in een thuiswedstrijd tegen Juventus. Kovalenko maakte op 12 november zijn eerste doelpunt voor de club door in de blessuretijd de 0-1 te scoren tegen Napoli. Op de laatste speeldag van het seizoen zag Kovalenko vanop de bank hoe zijn ploegmaats op het nippertje het behoud konden verzekeren door in de laatste minuut de 2-1 te scoren tegen AS Roma.
Oekraïne
Olympiakos Nicosia
