0,(9)

Dowód 1.

Dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej. Wykorzystuje przedstawienie ułamka ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ w postaci liczby dziesiętnej ${\displaystyle 0{,}(1).}$ Z równości ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)}$ natychmiast wynika

${\displaystyle 0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.}$

Dla ułamków postaci ${\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9}$ zachodzi równość

${\displaystyle 10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},}$

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie ${\displaystyle c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\ldots ,}$ tzn.

${\displaystyle {\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).}$

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka ${\displaystyle {\tfrac {9}{9}},}$ stąd nieoczywista równość

${\displaystyle {\frac {9}{9}}=0{,}(9)}$,

którą należy wykazać.

Podobnie ułamek ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}}$ można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej ${\displaystyle 0{,}(3).}$ Stąd

${\displaystyle 0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.}$

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.}$

Podobnie dla poniższych rozkładów

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)}$ itd.

Dowód 2.

Dowód jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem:

${\displaystyle x=0{,}(9)}$

${\displaystyle 10x=9{,}(9)}$

${\displaystyle 10x-x=9{,}(9)-0{,}(9)}$

${\displaystyle 9x=9}$

${\displaystyle x=1}$, q.e.d.

Dowód 3.

Skorzystajmy z własności szeregów zbieżnych:

• jeśli ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}}$ jest zbieżny, to ${\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}}$ też jest zbieżny oraz ${\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},}$
• jeśli ${\displaystyle \sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}}$ są zbieżne, to ${\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})}$ też jest zbieżny oraz ${\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.}$

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}}$

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym ${\displaystyle a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},}$ dostaniemy:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1}$, q.e.d.

Dowód 4.

Dowód polega na założeniu, że istnieje liczba ${\displaystyle y}$, która leży między ${\displaystyle 0{,}(9)}$ a ${\displaystyle 1}$, tj. ${\displaystyle 0{,}(9)<y<1}$.

Załóżmy, że ${\displaystyle 0{,}(9)<y<1}$. Wtedy możemy zapisać:

${\displaystyle y=1-\epsilon ,}$

gdzie ${\displaystyle \epsilon }$ jest bardzo małą liczbą dodatnią (taką, że ${\displaystyle 0<\epsilon <1}$).

Zauważmy teraz, że dla każdej liczby dziesiętnej w postaci ${\displaystyle 1-\epsilon }$, jeśli ${\displaystyle \epsilon }$ jest dowolnie małe, to ta liczba jest niemal równa ${\displaystyle 1}$, ale nie może być różna od ${\displaystyle 1}$. Oznacza to, że nie ma żadnej liczby ${\displaystyle y}$, która mogłaby leżeć między ${\displaystyle 0{,}(9)}$ a ${\displaystyle 1}$, ponieważ liczba ${\displaystyle 0{,}(9)}$ jest już maksymalnie bliska ${\displaystyle 1}$.

Podobnie, rozważając rozwinięcie dziesiętne liczby ${\displaystyle y}$, które miałoby znajdować się pomiędzy ${\displaystyle 0{,}(9)}$ a ${\displaystyle 1}$, zauważamy, że każda próba umieszczenia takiej liczby w tej przestrzeni prowadzi do sytuacji, w której ${\displaystyle y}$ zbliża się do ${\displaystyle 1}$ w sposób nieskończony, a więc nie istnieje przestrzeń między ${\displaystyle 0{,}(9)}$ a ${\displaystyle 1}$.

Wobec tego, żadne ${\displaystyle y}$ nie istnieje między ${\displaystyle 0{,}(9)}$ a ${\displaystyle 1}$, co dowodzi, że:

${\displaystyle 0{,}(9)=1}$, q.e.d.