Algebra wolna

Algebra wolna – uogólnienie pojęcia pierścienia wielomianów na nieprzemienne struktury algebraiczne.

Definicja

Niech $K$ będzie klasą algebr ogólnych tego samego typu oraz niech $A \in K .$ Podzbiór $S \subseteq A$ nazywamy zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przekształcenia $f : S \to B \in K$ istnieje dokładnie jeden taki homomorfizm $h : A \to B,$ że

h |_{S} = f .

Jeśli dla danej algebry $A$ istnieje jej zbiór wolnych generatorów w klasie $K,$ to nazywamy ją algebrą wolną w klasie $K .$

Innymi słowy, zbiór wolnych generatorów algebry, to taki jej podzbiór, że każde jego przekształcenie w inną algebrę tego samego typu da się jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu na całą algebrę.

Własności

Jeśli $K$ jest klasą algebr, a $S$ jest zbiorem wolnych generatorów algebry $A$ w klasie $K,$ to $S$ generuje algebrę $A,$ tzn. $A$ jest najmniejszą w sensie inkluzji algebrą zawierającą zbiór $S .$
Jeśli $K$ jest klasą algebr, $S_{1}, S_{2}$ zbiorami wolnych generatorów algebr $A_{1}, A_{2}$ w klasie $K,$ to każde przekształcenie $f : S_{1} \to S_{2}$ można jednoznacznie przedłużyć do homomorfizmu $h : A_{1} \to A_{2} .$ Homomorfizm $h$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.
Jeśli $A_{1}, A_{2}$ są algebrami wolnymi w $K$ oraz ich zbiory wolnych generatorów są równoliczne, to algebry te są izomorficzne.

Przykłady

Przykładem algebry wolnej jest grupa wolna. Każda podgrupa grupy wolnej jest grupą wolną.
Baza przestrzeni liniowej jest zbiorem wolnych generatorów (twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie) – innymi słowy, przestrzenie liniowe są modułami wolnymi nad ciałami.

Bibliografia

Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.

Linki zewnętrzne

Free algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

liczby hiperzespolone	kwaterniony (ℍ) oktoniony (𝕆) sedeniony (𝕊) kokwaterniony bikwaterniony tessariny
inne konkretne zbiory	liczby zespolone (ℂ) liczby dualne liczby podwójne liczby grassmanowskie wielomiany funkcje wymierne ℝ³ z iloczynem wektorowym endomorfizmy liniowe macierze kwadratowe tensory
algebry Banacha	C*-algebra algebra von Neumanna algebra dyskowa algebra funkcyjna algebra Wienera
inne klasy algebr	algebra Clifforda algebra Liego algebra wolna
twierdzenia	Frobeniusa o algebrach z dzieleniem