Funkcja Thomae

Nie mylić z: funkcja dzeta Riemanna (ζ).

Funkcja Thomae, funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:

${\displaystyle f(x):={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\ \iff &x={\frac {m}{n}},\ m\perp n,\\&n\in \mathbb {N} _{+};\\0\ \iff &x\notin \mathbb {Q} .\end{cases}}}$

Symbole:

${\displaystyle \perp }$ – względna pierwszość; odpowiedni ułamek jest nieskracalny;

${\displaystyle \mathbb {N} _{+}}$ – liczby naturalne dodatnie;

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ – liczby wymierne.

Funkcję tę po raz pierwszy opisał Carl Johannes Thomae w roku 1875.

Własności

Funkcja ta:

• przyjmuje wartość jeden (1) dla wszystkich argumentów całkowitych:

${\displaystyle x\in \mathbb {Z} \implies f(x)=1.}$

Powód: każda liczba całkowita ${\displaystyle x}$ jest równa ułamkowi nieskracalnemu ${\displaystyle {\tfrac {x}{1}};}$

• jest nieciągła we wszystkich wymiernych punktach swojej dziedziny;

${\displaystyle q\in \mathbb {Q} \implies \lim _{x\to q}f(x)\neq f(q);}$

• jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym:

${\displaystyle r\notin \mathbb {Q} \implies \lim _{x\to r}f(x)=f(r);}$

• jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym ${\displaystyle [a;b],}$ ponieważ zbiór punktów nieciągłości ma miarę równą zeru (0).

Ponadto odpowiednie całki wynoszą zero^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=0.}$

Zobacz też

• funkcja Dirichleta
• twierdzenie Blumberga

Przypisy

Bibliografia

• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2025-10-08] .

Linki zewnętrzne

• George Beck, The Modified Dirichlet Function (ang.), Wolfram Demonstrations Project – Wolfram Research, demonstrations.wolfram.com, 2007 [dostęp 2025-10-08].