Przeciwobraz

Definicje i zapis

Niech ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oznacza dowolną funkcję ze zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y}$. Przeciwobrazem zbioru ${\displaystyle B\subseteq Y}$ względem ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór zbioru ${\displaystyle X}$ określony wzorem

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,\,\,\colon \,f(x)\in B\}}$

Inne oznaczenia:

• ${\displaystyle f^{-1}(B)}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}^{-1}(B)}$

Przeciwobraz względem ustalonej funkcji ${\displaystyle f}$, oznaczany ${\displaystyle {\vec {f}}^{-1}}$, to funkcja ze zbioru potęgowego zbioru ${\displaystyle Y}$ w zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle X}$, czyli ${\displaystyle {\vec {f}}^{-1}:2^{Y}\rightarrow 2^{X}}$.

Symbol ${\displaystyle f^{-1}}$ stosuje się do funkcji odwrotnych, które są odrębnym pojęciem. Ono pokrywa się z przeciwobrazem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle f}$ jest bijekcją^{[potrzebny przypis]}.

Przykłady

Niech funkcja rzeczywista ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ będzie dana wzorem ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$ Przeciwobraz liczby rzeczywistej ${\displaystyle a}$ przy tej funkcji – oznaczany ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ – zależy od jej wartości:

• dla ${\displaystyle a>0}$ przeciwobrazami są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych;
• dla ${\displaystyle a=0}$ przeciwobrazem jest sam początek układu;
• dla ${\displaystyle a<0}$ przeciwobrazem jest zbiór pusty.

Własności

Istnieją ogólne związki przeciwobrazu z działaniami na zbiorach takimi jak suma ${\displaystyle (\cup ),}$ przekrój ${\displaystyle (\cap )}$ i różnica ${\displaystyle (\backslash ).}$ Jeśli ${\displaystyle B,B_{1},B_{2}\subseteq Y,}$ to:

• ${\displaystyle f^{-1}[B_{1}\cup B_{2}]=f^{-1}[B_{1}]\cup f^{-1}[B_{2}];}$
• ${\displaystyle f^{-1}[B_{1}\cap B_{2}]=f^{-1}[B_{1}]\cap f^{-1}[B_{2}];}$
• ${\displaystyle f^{-1}[Y\backslash B]=f^{-1}[Y]\backslash f^{-1}[B].}$

Istnieją też ogólne związki z pojęciem obrazu zbioru:

• obraz przeciwobrazu to podzbiór wyjściowego zbioru: ${\displaystyle f[f^{-1}[B]]\subseteq B.}$ Równość zachodzi dla funkcji „na” (suriekcji);
• przeciwobraz obrazu to nadzbiór wyjściowego zbioru: ${\displaystyle f^{-1}[f[A]]\supseteq A.}$ Równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych (iniekcji).

Włókna

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego oznacza się ${\displaystyle \textstyle f^{-1}[\scriptstyle \{y\}\textstyle ]}$ lub krócej ${\displaystyle f^{-1}[y].}$ Nazywa się go włóknem nad ${\displaystyle y}$, poziomicą lub warstwicą ${\displaystyle y}$^{[potrzebny przypis]}.

Zbiór wszystkich włókien nad elementami ${\displaystyle Y}$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez ${\displaystyle Y.}$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień^{[potrzebny przypis]}.