Iteracja funkcji

Iteracja funkcji – wielokrotne wykonanie tego samego przekształcenia (operacji).

Innymi słowy jest to złożenie funkcji z nią samą dowolną liczbę razy. Niech ${\displaystyle f:X\to X,\ n\in \mathbb {N_{+}} ,}$ czyli niech funkcja ${\displaystyle f}$ będzie działaniem jednoargumentowym, a ${\displaystyle n}$ – dodatnią liczbą naturalną. Wtedy ${\displaystyle n}$-tą iteracją funkcji ${\displaystyle f}$ nazywa się każdą funkcję postaci:

${\displaystyle f^{n}:=\underbrace {f\circ \ldots \circ f} _{n}.}$

Powyższy wzór nie wymaga nawiasów, ponieważ składanie funkcji jest działaniem łącznym.

Rola w matematyce

Za pomocą iteracji można definiować różne pojęcia matematyczne jak:

• inwolucja,
• idempotent,
• punkt okresowy,
• orbita.

W analizie matematycznej, konkretniej rachunku różniczkowym, używa się iteracji różniczkowania, zwanych pochodnymi wyższych rzędów. Na iteracjach opierają się niektóre metody numeryczne, np. rozwiązywania nieliniowych równań liczbowych jak metoda Newtona czy procedury oparte na twierdzeniu Banacha. Przez własności iteracji definiuje się też niektóre fraktale jak zbiory Julii czy Mandelbrota. Problem Collatza w teorii liczb dotyczy własności iteracji pewnej funkcji na zbiorze liczb naturalnych.

Zobacz też

• grupa cykliczna
• monoid

Przypisy

Bibliografia

• Jarosław Górnicki: Okruchy matematyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009. ISBN 978-83-01-16002-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nested Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-26].
• Iterate (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].