Relacja pusta

Relacja pusta – relacja, która nie zachodzi dla żadnego elementu zbioru, na którym jest rozpatrywana.

Definicja

Niech ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ będą dowolnymi zbiorami oraz ${\displaystyle A=A_{1}\times \ldots \times A_{n}.}$ Relację ${\displaystyle n}$-argumentową ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq A}$ nazywa się pustą, jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\varnothing .}$

Oznacza to, że nie istnieje taki element ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A,}$ że zachodzi ${\displaystyle {\mathcal {R}}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}$ czyli żadna uporządkowana krotka ${\displaystyle n}$-elementowa nie należy do relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Własności

• Relacja pusta jest podzbiorem każdego zbioru (czyli na każdym zbiorze można określić relację pustą).
• Relacja pusta jest: symetryczna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna, przeciwzwrotna, przechodnia.
• Relacja pusta nie jest spójna i nie jest zwrotna, chyba że rozpatrujemy ją jako podzbiór zbioru pustego.
• Relacja pusta jest prawostronnie i lewostronnie jednoznaczna, a zatem jest funkcją (dokładniej – funkcją pustą).

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 153. ISBN 83-01-14415-7.