Pole relacji

Pole relacji – suma dziedziny i przeciwdziedziny relacji binarnej.

Definicje

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest relacją dwuczłonową (dwuargumentową), to polem relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle {\Big \{}x:{\Big (}\exists y{\Big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}{\Big )}{\Big \}}\cup {\Big \{}y:{\Big (}\exists x{\Big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}{\Big )}{\Big \}}.}$

Przypomnijmy, że ${\displaystyle {\Big \{}x:{\Big (}\exists y{\Big )}{\Big (}(x,y)\in R{\Big )}{\Big \}}}$ to dziedzina relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}},}$ a ${\displaystyle {\Big \{}y:{\Big (}\exists x{\Big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}{\Big )}{\Big \}}}$ to przeciwdziedzina relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

Pojęcie pola relacji można uogólnić na przypadek relacji wieloczłonowych. Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest relacją k-argumentową, to definiujemy jej rzuty na poszczególne osie oraz jej pole w następujący sposób.

• Dla ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\},}$ rzut relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ na ${\displaystyle i}$-tą oś to zbiór

${\displaystyle D_{i}({\mathcal {R}})={\Big \{}x:{\Big (}\exists x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_{k}{\Big )}{\Big (}(x_{1},\dots ,x_{i-1},x,x_{i+1},\dots ,x_{k})\in {\mathcal {R}}{\Big )}{\Big \}}.}$

• Pole relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ to zbiór

${\displaystyle D_{1}({\mathcal {R}})\cup D_{2}({\mathcal {R}})\cup \ldots \cup D_{k}({\mathcal {R}}).}$

Uwaga terminologiczna

Termin pole relacji jest rzadko używany, bowiem zamiast mówić „zbiór ${\displaystyle X}$ jest polem relacji ${\displaystyle R}$”, zwykle stwierdzamy iż „${\displaystyle R}$ jest relacją na zbiorze ${\displaystyle X}$”. Zwróćmy jednak uwagę, że drugie określenia daje nam mniej informacji niż pierwsze, jako że stwierdza ono jedynie że ${\displaystyle R\subseteq X\times X.}$

Przypisy

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski i Andrzej Mostowski, Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości, „Monografie Matematyczne”, tom 27, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 76.