Relacja symetryczna

Ten artykuł od 2021-02 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Google Books • Google Scholar • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Relacja symetryczna – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), która jest równa relacji do siebie odwrotnej.

Formalnie relację dwuczłonową ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq X\times X}$ nazywa się symetryczną, gdy:

${\displaystyle {\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\Big )}}$ .

Uwaga. W powyższej definicji można też zamienić implikację ${\displaystyle \implies }$ na równoważność ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$. Istotnie, jest to poprawne przejście, ponieważ powyższy napis jest w odpowiedni sposób symetryczny, względem oznaczeń rozważanych obiektów.

Relacja przeciwsymetryczna

 Główny artykuł: Relacja przeciwsymetryczna.

Relację dwuczłonową ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq X\times X}$ nazywa się przeciwsymetryczną lub asymetryczną, gdy warunki ${\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {R}}}$ oraz ${\displaystyle (y,x)\in {\mathcal {R}}}$ wykluczają się nawzajem, dla każdych dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in X}$. Zapisując to do postaci formuły logicznej, jest to taka relacja, że:

${\displaystyle {\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\Rightarrow \,(y,x)\notin {\mathcal {R}}{\Big )}}$ .

Relacja antysymetryczna

 Główny artykuł: Relacja antysymetryczna.

Relację dwuczłonową ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq X\times X}$ nazywa się antysymetryczną (lub nawpółprzeciw) symetryczną, gdy dla każdych dwóch elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ z koniunkcji warunków ${\displaystyle (x,y)\in {\mathcal {R}}}$ i ${\displaystyle (y,x)\in {\mathcal {R}}}$ wynika równość ${\displaystyle x=y}$. Zapisując inaczej, jest to taka relacja, że:

${\displaystyle {\big (}\forall x,y\in X{\big )}{\Big (}{\big [}(x,y)\in {\mathcal {R}}\,\land \,(y,x)\in {\mathcal {R}}{\big ]}\,\Rightarrow \,x=y{\Big )}}$ .

Przykłady

Relacje symetryczne w matematyce:

• każda relacja równoważności, np. równość elementów zbioru,
• relacje między prostymi, półprostymi i odcinkami: równoległość, przecinanie się, prostopadłość,
• relacje między kątami: kąty przyległe, kąty dopełniające się, kąty wierzchołkowe, kąty naprzemianległe,
• relacje między okręgami: rozłączność (w szczególności współśrodkowość, in. koncentryczność), styczność (dwóch rodzajów) albo przecinanie (także dwóch rodzajów),
• relacje między figurami: przystawanie, podobieństwo,
• relacje między zbiorami: rozłączność, przecinanie się i równoliczność;
• relacja między grupami i innymi strukturami algebraicznymi: izomorfizm,
• relacja między przestrzeniami topologicznymi: homeomorfizm,
• relacja między krzywymi: homotopia,
• relacja między liczbami całkowitymi: przystawanie (kongruencja), względna pierwszość,
• relacja między funkcjami w danym zbiorze (działaniami jednoargumentowymi): przemienność (komutacja). Macierze kwadratowe są reprezentacjami endomorfizmów, więc też mogą komutować lub nie,
• relacje między ciągami i funkcjami o wartościach rzeczywistych: bycie dokładnie tego samego rzędu, asymptotyczna równość (posiadanie tej samej granicy w nieskończoności).

Przykłady spoza matematyki:

• relacje w zbiorze nuklidów: izotopy, izobary, izotony, bycie jądrami lustrzanymi,
• izomeria molekuł,
• komplementarność nici kwasów nukleinowych (DNA i RNA),
• bycie rodzeństwem lub szerzej: krewnymi,
• bycie małżeństwem lub szerzej: spowinowaczonymi,
• konkurencja ekologiczna i ekonomiczna,
• symbioza,
• bycie miastami partnerskimi,
• stosunki dyplomatyczne.

Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne:

• bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Zobacz też

• relacja zwrotna
• relacja przechodnia
• relacja równoważności

Przypisy

Bibliografia

• HelenaH. Rasiowa HelenaH., Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, ISBN 978-83-01-01373-8  (pol.).