Buday urodził się 11 listopada 1991 roku w Nitrze. Zaczął trenować sztuki walki w wieku osiemnastu lat, początkowo żeby schudnąć. Najpierw poświęcił się brazylijskiemu jiu-jitsu, które trenował w klubie Gracie Barra Pitbull w Nitrze. Odnosił sukcesy w tym sporcie i zajmował miejsca w różnych turniejach europejskich, a jego największym osiągnięciem były dwa złote medale Mistrzostw Europy IBJJF na poziomie niebieskiego i fioletowego pasa. Później przeszedł do MMA, które zaczął trenować pod okiem Attili Végha w klubie Spartakus Fight Gym w Trnawie.
Kariera MMA
Wczesna kariera
Buday rozpoczął karierę zawodową w 2015 roku, walcząc wyłącznie w regionalnych organizacjach na Słowacji oraz w Oktagon MMA, gdzie osiągnął rekord 8–1 i zdobył mistrzowski pas Oktagon MMA w wadze ciężkiej.
Dana White's Contender Series
W czerwcu 2021 roku poinformowano, że Buday otrzymał zaproszenie do udziału w Dana White’s Contender Series(inne języki), w którym zawodnicy rywalizują o szansę podpisania kontraktu z UFC. Jego walka odbyła się 12 października 2021 roku; początkowo miał zmierzyć się z Hugo Cunhą, jednak rywal wycofał się i zastąpił go Lorenzo Hood. Buday wygrał walkę przez techniczny nokaut w pierwszej rundzie, a następnie otrzymał kontrakt z Ultimate Fighting Championship.
UFC
Buday zadebiutował w amerykańskim gigancie przeciwko bardziej doświadczonemu Chrisowi Barnettowi(inne języki) 16 kwietnia 2022 roku na gali UFC Fight Night: Luque vs. Muhammad 2. Po zdominowaniu większości walki, Buday uderzył Amerykanina nielegalnym łokciem w głowę na początku trzeciej rundy, uniemożliwiając mu kontynuowanie walki. Sędzia ocenił to jako niezamierzony faul i dlatego starcie zakończyło się zwycięstwem Słowaka decyzją techniczną.
W drugiej walce dla UFC zmierzył się z Łukaszem Brzeskim na gali UFC Fight Night: Vera vs. Cruz w dniu 13 sierpnia 2022 roku. Zwyciężył kontrowersyjną, niejednogłośną decyzją sędziowską.
29 kwietnia 2023 na gali UFC Fight Night: Song vs. Simón zawalczył z Jake'm Collierem(inne języki). Ponownie zwyciężył przez decyzję, tym razem jednogłośną.
12 sierpnia 2023 roku na wydarzeniu UFC Fight Night: Luque vs. Dos Anjos, zmierzył się z Joshem Parisianem(inne języki), zastępując w ostatniej chwili Walta Harrisa. W pierwszej rundzie poddał rywala kimurą. Po tym zwycięstwie został pierwszym Słowakiem w historii, który znalazł się w pierwszej piętnastce zawodników UFC, zajmując piętnaste miejsce w oficjalnym rankingu wagi ciężkiej.
W swojej następnej walce skrzyżował rękawice z debiutującym w UFC Szamilem Gazijewem(inne języki) na gali UFC 296, 6 grudnia 2023. Przegrał przez techniczny nokaut w drugiej rundzie.
Ponad pół roku później na gali UFC 303 pokonał przez niejednogłośną decyzję (29-28, 28-29, 30-27) byłego mistrza wagi ciężkiej UFC, Andreja Arłouskiego.
5 kwietnia 2025 na gali UFC Fight Night: Emmett vs. Murphy miał zmierzyć się z Kennedym Nzechukwu. W późniejszym czasie ogłoszono, że Nigeryjczyk wypadł z walki, a na jego miejsce wszedł debiutujący w organizacji Uran Satybaldiev. Buday zwyciężył jednogłośną decyzja sędziów, którzy punktowali 3 x 29-28 na jego korzyść.
Na początku sierpnia 2025 roku ogłoszono powrót Budaya do Oktagon MMA. W pierwszej walce po powrocie do czesko-słowackiej organizacji zmierzył się z Willem Fleurym w pojedynku o mistrzowski pas Oktagon MMA w wadze ciężkiej. 28 grudnia 2025 podczas gali Oktagon 81: Fleury vs. Buday w Pradze przegrał z Irlandczykiem przez techniczny nokaut w pierwszej rundzie.
W kolejnej walce zmierzył się z Lazarem Todevem, byłym pretendentem do pasa Oktagon MMA w wadze ciężkiej. Po trzech rundach walki przegrał jednogłośną decyzją sędziów, ponosząc drugą porażkę z rzędu. Słowacko-bułgarskie starcie odbyło się 6 czerwca 2026 na gali Oktagon 89: Severino vs. Zhumagulov w Bratysławie.
