Rugownik

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych ${\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0;}$ ${\displaystyle f,g}$ – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg ${\displaystyle y}$ uzyskujemy:

${\displaystyle f_{0}(x)y^{s}+f_{1}(x)y^{s-1}+f_{2}(x)y^{s-2}+\ldots +f_{s}(x),}$

${\displaystyle g_{0}(x)y^{t}+g_{1}(x)y^{t-1}+g_{2}(x)y^{t-2}+\ldots +g_{t}(x),}$

gdzie ${\displaystyle f_{0},g_{0}}$ są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

${\displaystyle \mathrm {R} (x)={\begin{vmatrix}f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)&0&0&\dots &0\\0&f_{0}(x)&f_{1}(x)&\dots &f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&0&\dots &0\\0&0&f_{0}(x)&\dots &f_{s-2}(x)&f_{s-1}(x)&f_{s}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &f_{0}(x)&f_{1}(x)&f_{2}(x)&\dots &f_{s}(x)\\g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)&0&0&\dots &0\\0&g_{0}(x)&g_{1}(x)&\dots &g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&0&\dots &0\\0&0&g_{0}(x)&\dots &g_{t-2}(x)&g_{t-1}(x)&g_{t}(x)&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &g_{0}(x)&g_{1}(x)&g_{2}(x)&\dots &g_{t}(x)\end{vmatrix}}.}$

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg ${\displaystyle x,}$ tworzy się rugownik ${\displaystyle \mathrm {S} (y).}$ Można udowdnić, że gdy para ${\displaystyle (a,b)}$ jest rozwiązaniem układu równań ${\displaystyle f(x,y)=0,g(x,y)=0,}$ zachodzi ${\displaystyle \mathrm {R} (a)=0}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {S} (b)=0.}$

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli ${\displaystyle R,S}$ są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ odciętej i ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{l}}$ rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par ${\displaystyle (a_{i},b_{j})}$ są rozwiązaniami układu równań.