Proces stochastyczny

Proces stochastyczny, proces losowy (gr. στοχαστικός (stochastikós) 'będący wynikiem domysłu') – rodzina zmiennych losowych, określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Najczęściej jest to rodzina zmiennych losowych, która opisuje ewolucję zjawiska losowego w czasie. Rozpatruje się również procesy indeksowane punktami przestrzeni; nazywa się je polami losowymi.

Przykłady procesów stochastycznych

• zapis drgań środka ciężkości samochodu w zależności od czasu,
• rejestracja prądów EKG i EEG pacjenta, zmian jego ciśnienia krwi czy temperatury ciała,
• ruchy Browna cząstki umieszczonej w płynie,
• ruch cząsteczki w gazie lub cieczy,
• rejestracja cząstek wpadających do licznika Geigera w zależności od czasu,
• fluktuacje kursu euro na giełdzie.

Przy powtórzeniu powyższych doświadczeń otrzyma się na ogół inny ich przebieg; są to procesy losowe, niedeterministyczne.

Definicje

Niech ${\displaystyle T}$ będzie niepustym podzbiorem osi rzeczywistej. Dowolny element ${\displaystyle t}$ ze zbioru ${\displaystyle T}$ nazywa się umownie chwilą.

Def. 1 Procesem stochastycznym ${\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}$ nazywa się funkcję, która każdej chwili ${\displaystyle t}$ przyporządkowuje pewną zmienną losową ${\displaystyle X_{t}}$ określoną na ustalonej przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})}$.

Dla procesu ${\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}$ stosuje się również oznaczenie ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}.}$

Def. 2 Wartością procesu w chwili ${\displaystyle t}$ nazywa się zmienną losową ${\displaystyle X_{t}.}$

Def. 3 Realizacją (trajektorią) procesu nazywa się funkcję rzeczywistą ${\displaystyle x(t)=X_{t}(\omega )}$ zmiennej ${\displaystyle t\in T}$, przy ustalonym zdarzeniu elementarnym ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

Każdemu zdarzeniu elementarnemu ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ odpowiada jedna trajektoria.

Def. 4 Przestrzenią stanów procesu ${\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}$ nazywa się zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie mogą przyjmować zmienne ${\displaystyle X_{t}(\omega )}$ dla dowolnych${\displaystyle \omega \in \Omega }$ oraz ${\displaystyle t\in T}$.

Def. 5 Procesem z czasem dyskretnym lub ciągiem czasowym nazywa się procesy o przeliczalnym zbiorze ${\displaystyle T=\{t_{0},t_{1},t_{2},\dots \}}$. W niektórych źródłach takie procesy nazywa się szeregami czasowymi, choć zwykle termin ten odnosi się do realizacji takiego procesu.

Def. 6 Procesem z czasem ciągłym nazywa się proces, w których ${\displaystyle T}$ jest przedziałem zbioru liczb rzeczywistych.

Def. 7 Łańcuchem Markowa nazywa się spełniający własność Markowa („brak pamięci”) proces stochastyczny, w którym zarówno ${\displaystyle X_{t}}$ jak i czas ${\displaystyle t}$ przyjmują wartości dyskretne.

Przykłady

Błądzenie losowe. Cząstka rozpoczyna ruch w punkcie ${\displaystyle 0}$ osi liczbowej i wykonuje skok w prawo o jednostkę z prawdopodobieństwem ${\displaystyle p}$ albo wykonuje skok w lewo z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 1-p}$ w każdej chwili ${\displaystyle t=0,1,2,\dots }$ niezależnie od poprzednich położeń. Proces ${\displaystyle (X_{t})_{t=0}^{\infty }}$, gdzie ${\displaystyle X_{t}}$ oznacza pozycję cząstki w chwili ${\displaystyle t}$, nazywa się błądzeniem losowym.

Dyskretny biały szum. Jeżeli ciąg ${\displaystyle (X_{t})_{t=0}^{\infty }}$ jest złożony z niezależnych zmiennych losowych ${\displaystyle X_{t}}$ o wartości oczekiwanej równej zero i wariancji równej ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, to nazywa się go białym szumem. Proces taki może opisywać np. zakłócenia, nakładające się na sygnał podczas transmisji.

Procesy stacjonarne

 Osobny artykuł: Proces stacjonarny.

Def. 8 Proces stochastyczny ${\displaystyle X(t)}$ nazywamy procesem stacjonarnym w węższym sensie, jeżeli dla każdego ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in T}$ łączny rozkład

${\displaystyle \{X(t_{1}+t_{0}),X(t_{2}+t_{0}),\dots ,X(t_{n}+t_{0})\}}$

nie zależy od ${\displaystyle t_{0}.}$ Innymi słowy, właściwości takiego procesu nie zmieniają się przy przesunięciu osi czasu.

Def. 9 Proces stochastyczny ${\displaystyle X(t)}$ nazywamy procesem stacjonarnym w szerszym sensie, jeżeli:

1. wartość oczekiwana jest stała, tj. nie zależy od ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E{X(t)}=\mu }$,

2. dla każdego ${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle E{X^{2}(t)}<\infty ,}$

co oznacza, że wariancja ma skończoną wartość,

3. funkcja kowariancji zmiennych losowych ${\displaystyle X(t)}$ oraz ${\displaystyle X(s)}$ dla dowolnych chwil ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle Cov(X(t),X(s))=E[(X(t)-\mu )(X(s)-\mu )]}$

zależy wyłącznie od różnicy ${\displaystyle t\!-\!s}$, tzn. istnieje funkcja ${\displaystyle R}$ taka że

${\displaystyle {\text{Cov}}(X(t),X(s))=R(t-s)}$

Funkcję ${\displaystyle R}$ nazywa się funkcją korelacyjną.

Tw. 1 Każdy proces stacjonarny w węższym sensie i posiadający funkcję korelacji jest stacjonarny w szerszym sensie, ale nie odwrotnie. Jednak w klasie procesów gaussowskich oba pojęcia są równoważne.

Modyfikacje procesów stochastycznych

Def. 10 Procesy stochastyczne ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ oraz ${\displaystyle Y=(Y_{t})_{t\in T}}$ nazywamy wzajemnymi modyfikacjami, gdy dla każdego ${\displaystyle t\in T{:}}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{\omega \in \Omega \colon X_{t}(\omega )\neq Y_{t}(\omega )\})=0.}$

Def. 11 Modyfikację ${\displaystyle Y}$ procesu ${\displaystyle X}$ nazywamy ciągłą, gdy dla każdego ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ trajektoria

${\displaystyle T\ni t\mapsto Y_{t}(\omega )}$

jest ciągła.

Konstruowanie procesów stochastycznych

W aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa środkami teorii miary, podstawowym zadaniem jest konstrukcja sigma-algebry zbiorów mierzalnych w przestrzeni wszystkich funkcji i zbudowanie na niej skończonej miary. W tym celu tradycyjnie używa się metody zwanej rozszerzeniem Kołmogorowa.

Najważniejsze typy procesów stochastycznych

• procesy Bernoulliego
• procesy Wienera
• procesy Markowa, gdzie stany w bezpośredniej przyszłości zależą tylko od stanu aktualnego
• procesy Poissona
• procesy stacjonarne
• procesy homogeniczne: procesy, gdzie dziedzina posiada pewną symetrię oraz skończenie-wymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa także mają tę symetrię; specjalny przypadek obejmuje proces stacjonarny
• procesy o przyrostach niezależnych: procesy, gdzie dziedzina jest przynajmniej częściowo uporządkowana i jeśli ${\displaystyle x_{1}<\dots <x_{n},}$ to wszystkie zmienne ${\displaystyle f(x_{k+1})-f(x_{k})}$ są niezależne
• procesy punktowe: losowe ustawienia punktów w przestrzeni ${\displaystyle S}$
• procesy gaussowskie: procesy utworzone za pomocą kombinacji liniowych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład normalny
• martyngały
• procesy Galtona-Watsona
• procesy gałązkowe
• ruchy Browna

• błądzenie losowe

Zobacz też

• rozkład prawdopodobieństwa
• funkcja gęstości prawdopodobieństwa
• ciągły rozkład prawdopodobieństwa
• dyskretny rozkład prawdopodobieństwa
• papuga stochastyczna

Przypisy

Bibliografia

• Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, str. 116-141 (Rozdział 6 Procesy stochastyczne), str. 142-160 (Rozdział 7 Zadanie estymacji procesów stochastycznych).
• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 403-454.
• Donald A. McQuarrie, Matematyka dla przyrodników i inżynierów, tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, str. 191-211.

Linki zewnętrzne

• Informacje o procesach stochastycznych podane w przystępny sposób