Teoria miary

Teoria miary, teoria miary i całki^{[potrzebny przypis]} – dział analizy matematycznej zajmujący się własnościami ogólnie rozumianych miar zbiorów. Teoria miary bada σ-algebry, funkcje mierzalne oraz całki.

Za początek tej dziedziny uważa się rok 1902, gdy Henri Lebesgue podał konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary^{[potrzebny przypis]}.

Najczęściej mierzy się podzbiory przestrzeni euklidesowych. Jednak niektórym „nieporządnym” podzbiorom przestrzeni euklidesowych (czy innych) nie można przypisać "miary" (tj. wielkości liczbowych) w spójny sposób. Klasycznym przykładem jest tzw. zbiór Vitalego. Dlatego przyjęto, iż miara musi być ograniczona do podzbiorów „porządnych”, tj. należących do tzw. σ-algebry zbiorów mierzalnych określonej na danej przestrzeni. (Jeśli dana przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, to zwykle wymaga się, by mierzalne były zbiory otwarte; wówczas do zbiorów mierzalnych należą m.in. zbiory borelowskie.)

Rozwój teorii miary pozostaje w ścisłym związku z rozwojem rachunku prawdopodobieństwa: w 1933 r. Kołmogorow sformułował aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, zastępując klasyczną definicję Laplace'a i definicję częstościową Misesa (zob. prawdopodobieństwo). W interpretacji Kołmogorowa zdarzenia losowe są podzbiorami pewnej przestrzeni probabilistycznej, a prawdopodobieństwo jest miarą określoną na tej przestrzeni (miarą prawdopodobieństwa).

Zobacz też

• algebra Boole’a

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Measure Theory, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].
• Geometric measure theory (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-02].
• Józef Burzyk i Jan Pochciał, Rodziny zbiorów, zadania wprowadzające do teorii miary, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, ISSN 2719-3063, 2020 [dostęp 2026-01-17].
• Grant Sanderson, Music And Measure Theory, kanał 3blue1brown na YouTube, 4 października 2015 [dostęp 2021-03-14].