Em teoria de anéis, um anel primitivo é um anel que admite um módulo simples e fiel. Mais precisamente, um anel é primitivo à esquerda quando possui um módulo à esquerda simples e fiel; de modo análogo, é primitivo à direita quando possui um módulo à direita simples e fiel.
A noção é importante sobretudo no estudo de anéis não comutativos, pois generaliza aspectos da teoria dos anéis simples e está ligada ao radical de Jacobson, aos anéis primos e ao teorema da densidade de Jacobson. Exemplos clássicos incluem anéis de matrizes sobre anéis de divisão, anéis de endomorfismos de espaços vetoriais sobre anéis de divisão e, em característica zero, certas álgebras de Weyl.
Seja R um anel associativo. Diz-se que R é primitivo à esquerda se existe um R-módulo à esquerda M que é simultaneamente simples e fiel. A simplicidade significa que M não possui submódulos próprios não triviais; a fidelidade significa que o anulador de M em R é o ideal nulo.
A definição à direita é obtida substituindo módulos à esquerda por módulos à direita. As duas propriedades não são equivalentes em geral: há anéis primitivos de um lado que não são primitivos do outro. O primeiro exemplo de um anel primitivo à direita, mas não à esquerda, foi construído por George M. Bergman em 1964. Outro exemplo, devido a Jategaonkar, é citado na literatura especializada sobre teoria de anéis.
Uma caracterização interna afirma que R é primitivo à esquerda se, e somente se, possui um ideal à esquerda maximal que não contém nenhum ideal bilateral não nulo. De fato, se I é um ideal à esquerda maximal, então R/I é um módulo simples à esquerda; ele será fiel exatamente quando o maior ideal bilateral contido em I for o ideal nulo.
O teorema da densidade de Jacobson fornece uma caracterização estrutural: um anel primitivo à esquerda pode ser representado como um subanel denso de um anel de endomorfismos de um espaço vetorial sobre um anel de divisão, no sentido técnico empregado na teoria de módulos.
Todo anel primitivo à esquerda é um anel primo e semiprimitivo, isto é, seu radical de Jacobson é nulo. Em particular, a primitividade é uma condição mais forte que a semiprimitividade, mas mais fraca que a simplicidade em muitos contextos não comutativos.
Todo anel simples com unidade é primitivo à esquerda e à direita. No caso dos anéis artinianos, as noções de anel simples, anel primo e anel primitivo coincidem sob as hipóteses usuais da teoria de anéis semissimples.
Quando o anel é comutativo e possui unidade, ser primitivo é equivalente a ser um corpo. Nesse caso, um módulo simples fiel corresponde a um quociente por ideal maximal cujo anulador é nulo, o que força o ideal maximal a ser o ideal nulo.
Os anéis de matrizes Mn(D) sobre um anel de divisão D são exemplos de anéis primitivos, pois são anéis simples artinianos.
Se V é um espaço vetorial sobre um anel de divisão D, o anel de endomorfismos EndD(V) fornece uma classe central de exemplos. Quando V tem dimensão finita, esse anel é isomorfo a um anel de matrizes sobre D. Em dimensão infinita, ele continua sendo um exemplo relevante na teoria dos anéis primitivos, embora sua estrutura de ideais seja diferente da dos anéis de matrizes finitos.
As álgebras de Weyl sobre corpos de característica zero também aparecem como exemplos importantes de anéis primitivos na teoria de anéis não comutativos.