Radical de Jacobson

Caso comutativo

No caso comutativo, o radical de Jacobson de um anel comutativo R é definido como a interseção de todos os ideais maximais . Se denotarmos por o conjunto de todos os ideais maximais em R, então

Esta definição pode ser usada para cálculos explícitos em uma série de casos simples, como em anéis locais (R, ), que possuem um único ideal maximal, anéis artinianos e produtos destes. Veja a seção de exemplos para cálculos explícitos.

Caso não comutativo/geral

Para um anel geral com unidade , o radical de Jacobson é definido como o ideal de todos os elementos tais que sempre que é um -módulo simples. Isto é, Isso é equivalente à definição no caso comutativo para um anel comutativo , porque os módulos simples sobre um anel comutativo são da forma para algum ideal maximal de , e os anuladores de em são precisamente os elementos de , ou seja, .

Aplicações geométricas

Embora Jacobson tenha introduzido originalmente seu radical como uma técnica para construir uma teoria de radicais para anéis arbitrários, uma das razões motivadoras pelas quais o radical de Jacobson é considerado no caso comutativo é o seu aparecimento no Lema de Nakayama. Este lema é uma ferramenta técnica para estudar módulos finitamente gerados sobre anéis comutativos que possui uma interpretação geométrica fácil: Se tivermos um fibrado vetorial E → X sobre um espaço topológico X, e escolhermos um ponto p ∈ X, então qualquer base de E|_p pode ser estendida para uma base de seções de E|_U → U para alguma vizinhança p ∈ U ⊆ X.

Outra aplicação ocorre no caso de anéis comutativos finitamente gerados da forma para algum anel base k (como um corpo, ou o anel dos inteiros). Neste caso, o nilradical e o radical de Jacobson coincidem. Isso significa que poderíamos interpretar o radical de Jacobson como uma medida de quão distante o ideal I que define o anel R está de definir o anel de funções sobre uma variedade algébrica devido ao teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz). Isso ocorre porque as variedades algébricas não podem ter um anel de funções com infinitesimais: essa é uma estrutura que só é considerada na teoria de esquemas.

Caracterizações equivalentes

O radical de Jacobson de um anel possui várias caracterizações internas e externas. As seguintes equivalências aparecem em muitos textos de álgebra não comutativa, como Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B e Lam 2001, Ch 2.

As seguintes são caracterizações equivalentes do radical de Jacobson em anéis com unidade (caracterizações para anéis sem unidade são dadas logo a seguir):

• J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à direita do anel. A equivalência vem do fato de que para todos os ideais maximais à direita M, R / M é um R-módulo à direita simples, e que de fato todos os R-módulos à direita simples são isomorfos a um deste tipo através do mapa de R para S dado por r ↦ xr para qualquer gerador x de S. Também é verdade que J(R) é igual à interseção de todos os ideais maximais à esquerda dentro do anel. Estas caracterizações são internas ao anel, pois só é necessário encontrar os ideais maximais à direita do anel. Por exemplo, se um anel for local e possuir um único ideal maximal à direita, então este único ideal maximal à direita é exatamente J(R). Ideais maximais são, em certo sentido, mais fáceis de procurar do que anuladores de módulos. Esta caracterização é deficiente, no entanto, porque não se mostra útil ao trabalhar computacionalmente com J(R). A simetria esquerda-direita dessas duas definições é notável e tem várias consequências interessantes. Essa simetria contrasta com a falta de simetria nos soclos de R, pois pode acontecer que soc(R_R) não seja igual a soc(_RR). Se R for um anel não comutativo, J(R) não é necessariamente igual à interseção de todos os ideais maximais bilaterais de R. Por exemplo, se V for uma soma direta enumerável de cópias de um corpo k e R = End(V) (o anel de endomorfismos de V como um k-módulo), então J(R) = 0 porque sabe-se que R é regular de von Neumann, mas existe exatamente um ideal maximal bilateral em R que consiste em endomorfismos com imagem de dimensão finita.
• J(R) é igual à soma de todos os ideais à direita supérfluos (ou simetricamente, a soma de todos os ideais à esquerda supérfluos) de R. Comparando isso com a definição anterior, a soma de ideais à direita supérfluos é igual à interseção de ideais maximais à direita. Esse fenômeno reflete-se dualmente para o soclo à direita de R; soc(R_R) é simultaneamente a soma dos ideais minimais à direita e a interseção dos ideais à direita essenciais. Na verdade, essas duas relações valem para radicais e soclos de módulos em geral.
• Como definido na introdução, J(R) é igual à interseção de todos os anuladores de R-módulos à direita simples, no entanto, também é verdade que é a interseção de anuladores de módulos à esquerda simples. Um ideal que é o anulador de um módulo simples é conhecido como um ideal primitivo, e portanto, uma reformulação disto afirma que o radical de Jacobson é a interseção de todos os ideais primitivos. Esta caracterização é útil no estudo de módulos sobre anéis. Por exemplo, se U é um R-módulo à direita, e V é um submódulo maximal de U, U · J(R) está contido em V, onde U · J(R) denota todos os produtos de elementos de J(R) (os "escalares") com elementos em U, à direita. Isso decorre do fato de que o módulo quociente U / V é simples e, portanto, anulado por J(R).
• J(R) é o único ideal à direita de R maximal com a propriedade de que todo elemento é quasirregular à direita (ou equivalentemente quasirregular à esquerda). Esta caracterização do radical de Jacobson é útil tanto computacionalmente quanto para auxiliar a intuição. Além disso, essa caracterização é útil no estudo de módulos sobre um anel. O Lema de Nakayama é talvez a instância mais conhecida disto. Embora todo elemento de J(R) seja necessariamente quasirregular, nem todo elemento quasirregular é necessariamente um membro de J(R).
• Embora nem todo elemento quasirregular esteja em J(R), pode-se mostrar que y está em J(R) se e somente se xy for quasirregular à esquerda para todo x em R.
• J(R) é o conjunto de elementos x em R tais que todo elemento de 1 + RxR é uma unidade: J(R) = {x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R^×}. De fato, y ∈ R está no radical de Jacobson se e somente se 1 + xy for invertível para qualquer x ∈ R, se e somente se 1 + yx for invertível para qualquer x ∈ R. Isso significa que xy e yx se comportam de forma semelhante a um elemento nilpotente z com zⁿ⁺¹ = 0 e (1 + z)⁻¹ = 1 − z + z² − ... ± zⁿ.

Para anéis sem unidade é possível ter R = J(R); no entanto, a equação J(R / J(R)) = {0} ainda é válida. As seguintes são caracterizações equivalentes de J(R) para anéis sem unidade:

• A noção de quasirregularidade à esquerda pode ser generalizada da seguinte forma. Chame um elemento a em R de quasirregular generalizado à esquerda se existir c em R tal que c + a − ca = 0. Então J(R) consiste em cada elemento a para o qual ra é quasirregular generalizado à esquerda para todo r em R. Pode ser verificado que esta definição coincide com a definição quasirregular anterior para anéis com unidade.
• Para um anel sem unidade, a definição de um módulo à esquerda simples M é alterada adicionando a condição de que R ⋅ M ≠ 0. Com esse entendimento, J(R) pode ser definido como a interseção de todos os anuladores de R-módulos à esquerda simples, ou apenas R se não existirem R-módulos à esquerda simples. Anéis sem unidade sem módulos simples de fato existem, caso em que R = J(R), e o anel é chamado de anel radical. Ao usar a caracterização quasirregular generalizada do radical, fica claro que se encontrarmos um anel com J(R) diferente de zero, então J(R) é um anel radical quando considerado como um anel sem unidade.

Exemplos comutativos

• Para o anel dos inteiros Z, seu radical de Jacobson é o ideal nulo, de modo que J(Z) = (0), porque é dado pela interseção de todo ideal gerado por um número primo (p). Uma vez que (p₁) ∩ (p₂) = (p₁ ⋅ p₂), e estamos tomando uma interseção infinita sem elementos comuns além de 0 entre todos os ideais maximais, temos esse resultado.
• Para um anel local (R, ) o radical de Jacobson é simplesmente J(R) = . Este é um caso importante devido ao seu uso na aplicação do Lema de Nakayama. Em particular, isso implica que se tivermos um fibrado vetorial algébrico E → X sobre um esquema ou variedade algébrica X, e fixarmos uma base de E|_p para algum ponto p ∈ X, então essa base se eleva a um conjunto de geradores para todas as seções <span style="white-space:nowrap;_U → U">E para alguma vizinhança U de p.
• Se k é um corpo e R = k[[X₁, ..., X_n]] é um anel de séries de potências formais, então J(R) consiste naquelas séries de potências cujo termo constante é zero, isto é, as séries de potências no ideal (X₁, ..., X_n).
• No caso de anéis artinianos, como C[t₁, t₂]/(t₁⁴, t₁²t₂², t₂⁹), o radical de Jacobson é (t₁, t₂).
• O exemplo anterior pode ser estendido para o anel R = C[t₂, t₃, ...]/(t₂², t₃³, ...), dando J(R) = (t₂, t₃, ...).
• O radical de Jacobson do anel Z/12Z é 6Z/12Z, que é a interseção dos ideais maximais 2Z/12Z e 3Z/12Z.
• Considere o anel C[t] ⊗_C C[x₁, x₂]_{x1²+x2²−1}, onde a segunda parte é a localização de C[x₁, x₂] pelo ideal primo = (x₁² + x₂² − 1). Então, o radical de Jacobson é trivial porque os ideais maximais são gerados por um elemento da forma (t − z) ⊗ (x₁² + x₂² − 1) para z ∈ C.

Exemplos não comutativos

• Anéis para os quais J(R) é {0} são chamados de anéis semiprimitivos, ou às vezes "anéis semissimples de Jacobson". O radical de Jacobson de qualquer corpo, de qualquer anel regular de von Neumann e de qualquer anel primitivo à esquerda ou à direita é {0}.
• Se K é um corpo e R é o anel de todas as matrizes triangulares superiores n-por-n com entradas em K, então J(R) consiste em todas as matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal principal.
• Comece com uma aljava (quiver) finita e acíclica Γ e um corpo K e considere a álgebra de aljava K Γ. O radical de Jacobson deste anel é gerado por todos os caminhos em Γ de comprimento ≥ 1.
• O radical de Jacobson de uma C*-álgebra é {0}. Isto decorre do Teorema de Gelfand-Naimark e do fato de que, para uma C*-álgebra, uma *-representação topologicamente irredutível sobre um espaço de Hilbert é algebricamente irredutível, de modo que seu núcleo seja um ideal primitivo no sentido puramente algébrico (veja Espectro de uma C*-álgebra).