Ideal maximal

Em matemática, mais especificamente na teoria de anéis, um ideal maximal é um ideal que é maximal (com relação à inclusão de conjuntos) dentre todos os ideais próprios. Em outras palavras, I é um ideal maximal de um anel R se não existirem outros ideais contidos entre I e R.

Os ideais maximais são importantes porque os quocientes de anéis por ideais maximais são anéis simples, e no caso especial de anéis comutativos com unidade, eles também são corpos. O conjunto de ideais maximais de um anel comutativo com unidade R é conhecido como o espectro maximal de R e é denotado de várias formas como m-Spec R, Specm R, MaxSpec R ou Spm R; quando equipado com a topologia de Zariski, é o subespaço do espectro primo Spec R de ideais primos que consiste apenas em seus pontos fechados.

Na teoria dos anéis não comutativos, um ideal maximal à direita é definido de forma análoga como sendo um elemento maximal no conjunto parcialmente ordenado (poset) dos ideais próprios à direita, e similarmente, um ideal maximal à esquerda é definido como um elemento maximal do conjunto parcialmente ordenado dos ideais próprios à esquerda. Como um ideal maximal unilateral A não é necessariamente bilateral, o quociente R/A não é necessariamente um anel, mas é um módulo simples sobre R. Se R possui um único ideal maximal à direita, então R é conhecido como um anel local, e o ideal maximal à direita é também o único ideal maximal à esquerda e o único ideal maximal bilateral do anel, sendo de fato o radical de Jacobson J(R).

É possível que um anel tenha um único ideal maximal bilateral e ainda assim não possua ideais maximais unilaterais únicos: por exemplo, no anel de matrizes quadradas 2 por 2 sobre um corpo, o ideal nulo é um ideal maximal bilateral, mas existem muitos ideais maximais à direita.

Definição

Existem outras formas equivalentes de expressar a definição de ideais maximais unilaterais e bilaterais. Dado um anel R e um ideal próprio I de R (isto é, I ≠ R), I é um ideal maximal de R se qualquer uma das seguintes condições equivalentes for satisfeita:

• Não existe nenhum outro ideal próprio J de R tal que I ⊊ J.
• Para qualquer ideal J com I ⊆ J, ou J = I ou J = R.
• O anel quociente R/I é um anel simples.

Existe uma lista análoga para ideais unilaterais, para a qual apenas as versões à direita serão dadas. Para um ideal à direita A de um anel R, as seguintes condições são equivalentes a A ser um ideal maximal à direita de R:

• Não existe nenhum outro ideal próprio à direita B de R tal que A ⊊ B.
• Para qualquer ideal à direita B com A ⊆ B, ou B = A ou B = R.
• O módulo quociente R/A é um R-módulo à direita simples.

Ideais maximais à direita/à esquerda/bilaterais são a noção dual à de ideais minimais.

Exemplos

• Se F é um corpo, então o único ideal maximal é {0}.
• No anel Z dos números inteiros, os ideais maximais são os ideais principais gerados por um número primo.
• Mais geralmente, todos os ideais primos não nulos são maximais em um domínio de ideais principais.
• O ideal ${\displaystyle (2,x)}$ é um ideal maximal no anel ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Geralmente, os ideais maximais de ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ são da forma ${\displaystyle (p,f(x))}$ onde ${\displaystyle p}$ é um número primo e ${\displaystyle f(x)}$ é um polinômio em ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ que é irredutível módulo ${\displaystyle p}$.
• Todo ideal primo é um ideal maximal em um anel booleano, ou seja, um anel consistindo apenas de elementos idempotentes. De fato, todo ideal primo é maximal em um anel comutativo ${\displaystyle R}$ sempre que existir um inteiro ${\displaystyle n>1}$ tal que ${\displaystyle x^{n}=x}$ para qualquer ${\displaystyle x\in R}$.
• Os ideais maximais do anel de polinômios ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$ são ideais principais gerados por ${\displaystyle x-c}$ para algum ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$.
• Mais geralmente, os ideais maximais do anel de polinômios ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ sobre um corpo algebricamente fechado K são os ideais da forma ${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$. Este resultado é conhecido como a forma fraca do Nullstellensatz (Teorema dos Zeros de Hilbert).
• Ainda mais geralmente, seja K um corpo algebricamente fechado, ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$ um conjunto algébrico afim, e ${\displaystyle \mathrm {I} (V)}$ o ideal de polinômios em ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ que se anulam em V. Então os ideais maximais do anel de coordenadas ${\displaystyle K[V]=K[x_{1},\dots ,x_{n}]/\mathrm {I} (V)}$ são da forma ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=({\overline {x_{1}}}-a_{1},\dots ,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$, onde ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}$, e ${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$ são as imagens de ${\displaystyle x_{i}}$ sob o mapa de projeção natural ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]\to K[V]}$. Portanto, há uma correspondência biunívoca ${\displaystyle a\leftrightarrow {\mathfrak {m}}_{a}}$ entre pontos ${\displaystyle a\in V}$ e ideais maximais ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}\in \mathrm {Spm} (K[V])}$.

Propriedades

• Um ideal importante do anel chamado radical de Jacobson pode ser definido usando ideais maximais à direita (ou maximais à esquerda).
• Se R é um anel comutativo com unidade com um ideal m, então k = R/m é um corpo se e somente se m é um ideal maximal. Nesse caso, R/m é conhecido como o corpo residual. Este fato pode falhar em anéis sem unidade. Por exemplo, ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ é um ideal maximal em ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$, mas ${\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ não é um corpo.
• Se L é um ideal maximal à esquerda, então R/L é um R-módulo à esquerda simples. Reciprocamente, em anéis com unidade, qualquer R-módulo à esquerda simples surge desta forma. A propósito, isto mostra que uma coleção de representantes de R-módulos à esquerda simples é de fato um conjunto, pois pode ser colocada em correspondência com parte do conjunto de ideais maximais à esquerda de R.
• Teorema de Krull (1929): Todo anel não nulo com unidade possui um ideal maximal. O resultado também é verdadeiro se "ideal" for substituído por "ideal à direita" ou "ideal à esquerda". Mais geralmente, é verdade que todo módulo finitamente gerado não nulo possui um submódulo maximal. Suponha que I seja um ideal que não é R (respectivamente, A é um ideal à direita que não é R). Então R/I é um anel com unidade (respectivamente, R/A é um módulo finitamente gerado), e assim os teoremas acima podem ser aplicados ao quociente para concluir que existe um ideal maximal (respectivamente, ideal maximal à direita) de R contendo I (respectivamente, A).
• O teorema de Krull pode falhar para anéis sem unidade. Um anel radical, ou seja, um anel no qual o radical de Jacobson é o anel inteiro, não possui módulos simples e, portanto, não possui ideais maximais à direita ou à esquerda. Veja ideais regulares para possíveis formas de contornar este problema.
• Em um anel comutativo com unidade, todo ideal maximal é um ideal primo. A recíproca nem sempre é verdadeira: por exemplo, em qualquer domínio de integridade que não seja um corpo, o ideal nulo é um ideal primo que não é maximal. Anéis comutativos nos quais os ideais primos são maximais são conhecidos como anéis de dimensão zero, onde a dimensão usada é a dimensão de Krull.
• Se k é um corpo, a pré-imagem de um ideal maximal de uma k-álgebra finitamente gerada sob um homomorfismo de k-álgebra é um ideal maximal. No entanto, a pré-imagem de um ideal maximal de um anel comutativo com unidade sob um homomorfismo de anéis não é necessariamente maximal. Por exemplo, seja ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ o mapa de inclusão e ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=(0)}$ em ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Então ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ é maximal em ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, mas ${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {n}})=(0)}$ não é maximal em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• Um ideal maximal de um anel não comutativo pode não ser primo no sentido comutativo. Por exemplo, seja ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ o anel de todas as matrizes ${\displaystyle n\times n}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Este anel tem um ideal maximal ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ para qualquer primo ${\displaystyle p}$, mas este não é um ideal primo uma vez que (no caso ${\displaystyle n=2}$) ${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ e ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ não estão em ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$, mas ${\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$. Contudo, os ideais maximais de anéis não comutativos são primos no sentido generalizado abaixo.

Generalização

Para um R-módulo A, um submódulo maximal M de A é um submódulo M ≠ A que satisfaz a propriedade de que, para qualquer outro submódulo N, M ⊆ N ⊆ A implica N = M ou N = A. Equivalentemente, M é um submódulo maximal se e somente se o módulo quociente A/M é um módulo simples. Os ideais maximais à direita de um anel R são exatamente os submódulos maximais do módulo R_R.

Diferentemente dos anéis com unidade, um módulo não nulo não possui necessariamente submódulos maximais. No entanto, como notado acima, módulos não nulos finitamente gerados possuem submódulos maximais, e os módulos projetivos também possuem submódulos maximais.

Assim como com anéis, pode-se definir o radical de um módulo usando submódulos maximais. Além disso, os ideais maximais podem ser generalizados definindo um sub-bimódulo maximal M de um bimódulo B como sendo um sub-bimódulo próprio de M que não está contido em nenhum outro sub-bimódulo próprio de M. Os ideais maximais de R são então exatamente os sub-bimódulos maximais do bimódulo _RR_R.

Referências

Bibliografia

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and categories of modules. Col: Graduate Texts in Mathematics. 13 2ª ed. Nova Iorque: Springer-Verlag. pp. x+376. ISBN 0-387-97845-3. MR 1245487. doi:10.1007/978-1-4612-4418-9 
• Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Col: Graduate Texts in Mathematics. 131 2ª ed. Nova Iorque: Springer-Verlag. pp. xx+385. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0