Teorema de Krull

Na matemática, e mais especificamente na teoria de anéis, o teorema de Krull, nomeado em homenagem a Wolfgang Krull, afirma que um anel não nulo possui pelo menos um ideal maximal. O teorema foi provado em 1929 por Krull, que utilizou a indução transfinita. O teorema admite uma prova simples usando o lema de Zorn, e de fato é equivalente ao lema de Zorn, que por sua vez é equivalente ao axioma da escolha.

Variantes

• Para anéis não comutativos, os análogos para ideais maximais à esquerda e ideais maximais à direita também são válidos.
• Para pseudoanéis, o teorema é válido para ideais regulares.
• Um resultado aparentemente um pouco mais forte (porém equivalente), que pode ser provado de maneira semelhante, é o seguinte:

Seja R um anel, e seja I um ideal próprio de R. Então, existe um ideal maximal de R que contém I.

O enunciado do teorema original pode ser obtido tomando-se I como o ideal nulo (0). Reciprocamente, aplicar o teorema original a R/I leva a este resultado.

Para provar o resultado "mais forte" diretamente, considere o conjunto S de todos os ideais próprios de R contendo I. O conjunto S é não vazio, uma vez que I ∈ S. Além disso, para qualquer cadeia T de S, a união dos ideais em T é um ideal J, e uma união de ideais que não contêm 1 também não contém 1, logo J ∈ S. Pelo lema de Zorn, S possui um elemento maximal M. Este M é um ideal maximal contendo I.

Referências

Bibliografia

• Krull, W. (1929). «Idealtheorie in Ringen ohne Endlichkeitsbedingungen». Mathematische Annalen. 101 (1): 729–744. doi:10.1007/BF01454872 
• Hodges, W. (1979). «Krull implies Zorn». Journal of the London Mathematical Society. s2-19 (2): 285–287. doi:10.1112/jlms/s2-19.2.285