Tensão de cisalhamento

Tensão de cisalhamento na parede

A tensão de cisalhamento na parede é a componente tangencial da tração na interface entre um fluido e uma parede sólida. Para um fluido newtoniano em um escoamento simples junto a uma parede plana, com ${\displaystyle y}$ medido perpendicularmente à superfície, sua magnitude é $${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0},}$$ em que ${\displaystyle \mu }$ é a viscosidade dinâmica e ${\displaystyle u}$ é a velocidade do escoamento paralela à parede. O sinal depende da orientação adotada para os eixos e de qual lado da interface é considerado.

No fluxo sanguíneo arterial, valores baixos ou oscilantes da tensão de cisalhamento na parede estão relacionados ao processo aterogênico da aterosclerose.

Cisalhamento puro

Em um estado de cisalhamento puro, atuam tensões de cisalhamento complementares sem tensões normais no sistema de eixos considerado. A deformação angular correspondente pode ser expressa pela deformação de cisalhamento ${\displaystyle \gamma }$.

Em uma geometria de cisalhamento simples, se duas faces inicialmente separadas por uma distância ${\displaystyle h}$ sofrem um deslocamento tangencial relativo ${\displaystyle \Delta x}$, para pequenas deformações tem-se $${\displaystyle \gamma \simeq {\frac {\Delta x}{h}}.}$$

No regime elástico linear de um material isotrópico, a tensão e a deformação de cisalhamento relacionam-se por $${\displaystyle \tau =G\gamma ,}$$ em que ${\displaystyle G}$ é o módulo de cisalhamento. Para um material elástico linear isotrópico, $${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}},}$$ em que ${\displaystyle E}$ é o módulo de Young e ${\displaystyle \nu }$ é o coeficiente de Poisson.

Tensor de tensões e cisalhamentos complementares

Em um ponto de um meio contínuo, as componentes de tensão podem ser reunidas no tensor de tensões de Cauchy: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}.}$$

As componentes diagonais são tensões normais e as componentes fora da diagonal são tensões de cisalhamento. Em um contínuo de Cauchy clássico, sem tensões de par, o balanço de momento angular torna o tensor simétrico. Desse modo, $${\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yx},\qquad \tau _{xz}=\tau _{zx},\qquad \tau _{yz}=\tau _{zy}.}$$

Esses pares são chamados tensões de cisalhamento complementares.

Nos planos principais, as componentes de cisalhamento são nulas. Se as tensões principais forem ordenadas como ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$, a maior magnitude da tensão de cisalhamento no ponto é $${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}.}$$

Cisalhamento em vigas

O cisalhamento em uma viga é a tensão de cisalhamento interna causada pelo esforço cortante. Nas hipóteses da teoria elementar de vigas prismáticas, sua distribuição é dada por $${\displaystyle \tau ={\frac {VQ}{Ib}},}$$ em que

• ${\displaystyle V}$ é o esforço cortante na seção considerada;
• ${\displaystyle Q}$ é o momento estático da parte da área situada de um lado do ponto em que a tensão é calculada, em relação ao eixo neutro;
• ${\displaystyle b}$ é a largura da seção nesse ponto;
• ${\displaystyle I}$ é o momento de inércia de área de toda a seção transversal em relação ao eixo neutro.

A tensão de cisalhamento não é, em geral, uniforme na seção. Em uma seção retangular de largura ${\displaystyle b}$ e altura ${\displaystyle h}$, a distribuição é parabólica. A tensão é nula nas superfícies superior e inferior e atinge o valor máximo no eixo neutro: $${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {3V}{2bh}}={\frac {3}{2}}{\frac {V}{A}}.}$$

A expressão ${\displaystyle VQ/(Ib)}$ também é chamada fórmula de Jouravski ou de Zhuravskii. Dmitri Jouravski publicou em 1856 um trabalho sobre a resistência de vigas que contém a relação que passou a levar seu nome.

Torção

A torção de um eixo produz tensões de cisalhamento porque seções transversais vizinhas sofrem rotações relativas. Para um eixo circular submetido a torção elástica de Saint-Venant, dentro das hipóteses de pequenas deformações e comportamento elástico linear, a magnitude da tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância ${\displaystyle r}$ ao eixo: $${\displaystyle \tau (r)={\frac {Tr}{J}},}$$ em que ${\displaystyle T}$ é o torque aplicado e ${\displaystyle J}$ é o momento polar de segunda ordem da seção transversal.

A tensão máxima ocorre na superfície externa, de raio ${\displaystyle R}$: $${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {TR}{J}}.}$$

Para uma seção circular maciça, $${\displaystyle J={\frac {\pi R^{4}}{2}}.}$$

Essas expressões são próprias de seções circulares e tubos circulares. Seções não circulares apresentam empenamento e exigem outra formulação para a torção.

Cisalhamento em estruturas semimonocoque

As tensões de cisalhamento em uma estrutura semimonocoque podem ser calculadas por modelos que idealizam a seção transversal como reforçadores longitudinais, responsáveis principalmente por cargas axiais, e paredes ou almas finas que transportam fluxo de cisalhamento.

Em uma parede fina na qual a tensão de cisalhamento pode ser tomada como aproximadamente uniforme ao longo da espessura ${\displaystyle t}$, o fluxo de cisalhamento ${\displaystyle q}$ satisfaz $${\displaystyle q=\tau t,}$$ e, portanto, $${\displaystyle \tau ={\frac {q}{t}}.}$$

A maior tensão de cisalhamento ocorre onde a razão ${\displaystyle q/t}$ é maior. Um ponto de fluxo elevado não precisa coincidir com a maior tensão se a espessura também variar ao longo da estrutura.

Cisalhamento em solos

Estruturas de solo, como barragens de terra e diques, podem romper por cisalhamento. Sua estabilidade depende da resistência ao cisalhamento do aterro e da fundação. Quando a resistência da fundação é insuficiente, podem ser necessárias mudanças na geometria dos taludes, na sequência de construção ou na drenagem para controlar a consolidação e manter a estabilidade.

Cisalhamento por impacto

Para o caso particular de impacto torsional de uma barra circular maciça que responde elasticamente, um balanço de energia fornece a tensão de cisalhamento máxima na forma $${\displaystyle \tau _{\max }=2{\sqrt {\frac {UG}{V}}},}$$ em que

• ${\displaystyle U}$ é a energia de deformação elástica armazenada na barra no instante de resposta máxima;
• ${\displaystyle G}$ é o módulo de cisalhamento;
• ${\displaystyle V}$ é o volume da barra.

Em um modelo sem dissipação, a energia mecânica fornecida ao eixo é convertida em energia de deformação no instante de máxima resposta. Se a energia inicial provém de um sistema em rotação, $${\displaystyle U_{\text{rotação}}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2},}$$ em que ${\displaystyle I}$ é o momento de inércia de massa e ${\displaystyle \omega }$ é a velocidade angular.

Se um torque constante ${\displaystyle T}$ também realiza trabalho ao longo de um deslocamento angular ${\displaystyle \theta }$, $${\displaystyle U_{\mathrm {aplicada} }=T\theta .}$$

No modelo idealizado, $${\displaystyle U=U_{\text{rotação}}+U_{\text{aplicada}}.}$$

Perdas por amortecimento, deformação plástica ou outros mecanismos dissipativos exigem um balanço de energia diferente.

Tensão de cisalhamento em fluidos

Ver também: Viscosidade, Escoamento de Couette, Lei de Poiseuille, Produto profundidade-declividade, Cisalhamento simples e Tensão do vento.

Qualquer fluido real, inclusive líquidos e gáses, pode exercer uma tensão de cisalhamento tangencial sobre uma fronteira sólida. Nos casos em que se aplica, a condição de não deslizamento estabelece que a velocidade do fluido em contato com uma superfície sólida é igual à velocidade da própria superfície. Para uma parede estacionária, a velocidade relativa do fluido na parede é zero.

Em escoamentos externos, a velocidade varia da velocidade da parede até a do escoamento externo através da camada limite. Em escoamentos internos, as camadas associadas às paredes podem ocupar toda a seção do conduto, de modo que a descrição por uma velocidade externa uniforme não se aplica da mesma forma.

Nos fluidos newtonianos, a tensão viscosa é linearmente proporcional à taxa de deformação. A viscosidade dinâmica é o coeficiente dessa relação para condições termodinâmicas especificadas. Em um escoamento de cisalhamento simples, a relação reduz-se à proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento. Essa relação é conhecida como Lei de Newton da viscosidade. Em fluidos não newtonianos, a relação entre tensão e taxa de deformação não precisa ser linear.

Para um escoamento newtoniano unidirecional paralelo a uma placa plana, no qual ${\displaystyle u=u(y)}$, $${\displaystyle \tau (y)=\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

Na parede, $${\displaystyle \tau _{\mathrm {w} }=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}.}$$

Para um fluido newtoniano, isotrópico e incompressível, a parte viscosa do tensor de tensões é $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right]=2\mu \mathbf {D} ,}$$ em que $${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right]}$$ é o tensor da taxa de deformação.

O tensor total de tensões é $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }},}$$ em que ${\displaystyle p}$ é a pressão e ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o tensor identidade. Em um fluido newtoniano isotrópico compressível, a parte viscosa contém também um termo proporcional à divergência do campo de velocidades, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} }$.

Sensor de tensão de cisalhamento por franjas divergentes

A relação entre a tensão de cisalhamento na parede e o gradiente de velocidade pode ser usada para medi-la. A. A. Naqwi e W. C. Reynolds desenvolveram um método de anemometria laser Doppler que usa duas ondas cilíndricas para medir o gradiente de velocidade próximo a uma superfície sólida.

A interferência entre as duas ondas produz franjas cujo espaçamento aumenta com a distância à parede. Na região muito próxima à superfície, em que a velocidade varia aproximadamente de forma linear com essa distância, a frequência do sinal produzido por partículas que atravessam as franjas fornece o gradiente de velocidade. Conhecida a viscosidade dinâmica, esse gradiente pode ser convertido em tensão de cisalhamento na parede.

Elementos ópticos difrativos permitem miniaturizar o princípio. Um sensor baseado em óptica difrativa, no qual partículas do fluido espalham luz ao atravessar um padrão de interferência, foi apresentado em 2000.

Sensor de tensão de cisalhamento com micropilares

Outra técnica usa micropilares flexíveis de polidimetilsiloxano montados sobre a parede e projetados para penetrar na região viscosa próxima à superfície. As forças exercidas pelo fluido curvam os pilares. A deflexão de sua extremidade, depois de calibrada em um escoamento de cisalhamento conhecido, fornece uma medida da tensão de cisalhamento local na parede.

Matrizes desses pilares também podem ser usadas para obter a distribuição bidimensional da tensão de cisalhamento sobre uma superfície.

Método eletrodifusional

O método eletrodifusional usa microeletrodos sob condições de corrente limite de difusão para determinar o escoamento muito próximo de uma parede líquida. Uma diferença de potencial entre um ânodo de área relativamente grande e um pequeno eletrodo de trabalho que atua como cátodo produz uma reação de oxirredução. O consumo da espécie eletroativa na superfície da microsonda forma uma camada de difusão cuja transferência de massa depende do campo de velocidades junto à parede.

Soluções da equação de convecção e difusão permitem relacionar a corrente medida às propriedades difusivas da solução, à geometria da sonda e ao vetor de taxa de cisalhamento na parede. A formulação precisa depende da geometria do eletrodo e da direção do escoamento.

Para um fluido newtoniano de viscosidade conhecida, a taxa de cisalhamento obtida por esse método pode ser convertida em tensão de cisalhamento na parede pela relação constitutiva newtoniana.