Estrutura causal

Vetores tangentes

Se ${\displaystyle \,(M,g)}$ é uma variedade lorentziana (para uma métrica ${\displaystyle g}$ na variedade ${\displaystyle M}$), então os vetores tangentes não nulos em cada ponto da variedade podem ser classificados em três tipos disjuntos. Um vetor tangente ${\displaystyle X}$ é:

• tipo tempo (timelike) se ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• nulo ou tipo luz (lightlike) se ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• tipo espaço (spacelike) se ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Aqui, utiliza-se a assinatura da métrica ${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$. Diz-se que um vetor tangente é não tipo espaço se ele for nulo ou tipo tempo.

A variedade lorentziana canônica é o espaço-tempo de Minkowski, onde ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ e ${\displaystyle g}$ é a métrica de Minkowski plana. Os nomes dos vetores tangentes provêm da física desse modelo. As relações causais entre pontos no espaço-tempo de Minkowski assumem uma forma particularmente simples porque o espaço tangente também é ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ e, portanto, os vetores tangentes podem ser identificados com pontos no próprio espaço. O vetor quadridimensional ${\displaystyle X=(t,r)}$ é classificado de acordo com o sinal de ${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$, onde ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$ é um sistema de coordenadas cartesianas no espaço tridimensional, ${\displaystyle c}$ é a constante que representa o limite universal da velocidade e ${\displaystyle t}$ é o tempo. A classificação de qualquer vetor no espaço será a mesma em todos os referenciais que estejam relacionados por uma transformação de Lorentz (mas não por uma transformação de Poincaré geral, pois a origem poderia ser deslocada) devido à invariância da métrica.

Orientabilidade temporal

Em cada ponto de ${\displaystyle M}$, os vetores tangentes tipo tempo no espaço tangente do ponto podem ser divididos em duas classes. Para fazer isso, define-se primeiro uma relação de equivalência em pares de vetores tangentes tipo tempo.

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são dois vetores tangentes tipo tempo em um ponto, diz-se que ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são equivalentes (escreve-se ${\displaystyle X\sim Y}$) se ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

Existem, então, duas classes de equivalência que, entre si, contêm todos os vetores tangentes tipo tempo no ponto. Pode-se chamar (arbitrariamente) uma dessas classes de equivalência de direcionada para o futuro e a outra de direcionada para o passado. Fisicamente, essa designação das duas classes de vetores tipo tempo corresponde a uma escolha de uma seta do tempo no ponto. As designações de direcionamento para o futuro e para o passado podem ser estendidas para vetores nulos em um ponto por continuidade.

Uma variedade lorentziana é orientável no tempo se uma designação contínua de direcionamento para o futuro e para o passado para vetores não tipo espaço puder ser feita ao longo de toda a variedade.

Curvas

Um caminho em ${\displaystyle M}$ é uma aplicação contínua ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to M} onde ${\displaystyle \Sigma }$ é um intervalo não degenerado (ou seja, um conjunto conexo que contém mais de um ponto) em ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Um caminho suave possui ${\displaystyle \mu }$ diferenciável um número apropriado de vezes (geralmente ${\displaystyle C^{\infty }}$), e um caminho regular possui derivada diferente de zero em todos os pontos.

Uma curva em ${\displaystyle M}$ é a imagem de um caminho ou, mais precisamente, uma classe de equivalência de caminhos relacionados por reparametrização, isto é, homeomorfismos ou difeomorfismos de ${\displaystyle \Sigma }$. Quando ${\displaystyle M}$ é orientável no tempo, a curva é orientada se a mudança de parâmetro for obrigatoriamente uma função monótona estritamente crescente.

As curvas (ou caminhos) suaves e regulares em ${\displaystyle M}$ podem ser classificadas de acordo com seus vetores tangentes. Uma curva deste tipo é:

• cronológica (ou tipo tempo) se o vetor tangente for do tipo tempo em todos os pontos da curva. Também é chamada de linha de universo.
• nula (ou tipo luz) se o vetor tangente for nulo em todos os pontos da curva.
• tipo espaço se o vetor tangente for do tipo espaço em todos os pontos da curva.
• causal (ou não tipo espaço) se o vetor tangente for do tipo tempo ou nulo em todos os pontos da curva.

As exigências de regularidade e de não degeneração de ${\displaystyle \Sigma }$ garantem que curvas causais fechadas triviais (como aquelas que consistem em um único ponto) não sejam admitidas automaticamente por todos os espaços-tempos.

Se a variedade for orientável no tempo, as curvas não tipo espaço podem ser adicionalmente classificadas dependendo de sua orientação em relação ao tempo.

Uma curva cronológica, nula ou causal em ${\displaystyle M}$ é:

• orientada para o futuro se, para cada ponto da curva, o vetor tangente for orientado para o futuro.
• orientada para o passado se, para cada ponto da curva, o vetor tangente for orientado para o passado.

Essas definições aplicam-se apenas a curvas causais (cronológicas ou nulas), porque apenas vetores tangentes do tipo tempo ou nulos podem receber uma orientação em relação ao tempo.

• Uma curva tipo tempo fechada é uma curva fechada que é, em toda a sua extensão, tipo tempo orientada para o futuro (outrossim, tipo tempo orientada para o passado).
• Uma curva nula fechada é uma curva fechada que é, em toda a sua extensão, nula orientada para o futuro (outrossim, nula orientada para o passado).
• A holonomia da razão da taxa de variação do parâmetro afim ao redor de uma geodésica nula fechada é o fator de desvio para o vermelho (redshift).

Relações causais

Existem várias relações causais entre pontos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ na variedade ${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle x}$ precede cronologicamente ${\displaystyle y}$ (frequentemente denotado por ${\displaystyle \,x\ll y}$) se existir uma curva cronológica (tipo tempo) direcionada para o futuro de ${\displaystyle x}$ até ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$ precede causalmente estrito ${\displaystyle y}$ (frequentemente denotado por ${\displaystyle x<y}$) se existir uma curva causal (não tipo espaço) direcionada para o futuro de ${\displaystyle x}$ até ${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$ precede causalmente ${\displaystyle y}$ (frequentemente denotado por ${\displaystyle x\prec y}$ ou ${\displaystyle x\leq y}$) se ${\displaystyle x}$ precede causalmente estrito ${\displaystyle y}$ ou se ${\displaystyle x=y}$.
• ${\displaystyle x}$ horismos ${\displaystyle y}$ (frequentemente denotado por ${\displaystyle x\to y}$ ou ${\displaystyle x\nearrow y}$) se ${\displaystyle x=y}$ ou se existir uma curva nula direcionada para o futuro de ${\displaystyle x}$ até ${\displaystyle y}$ (ou, equivalentemente, ${\displaystyle x\prec y}$ e ${\displaystyle x\not \ll y}$ implica ${\displaystyle x\prec y}$ (isso segue trivialmente da definição)).
• ${\displaystyle x\ll y}$, ${\displaystyle y\prec z}$ implica ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, ${\displaystyle y\ll z}$ implies ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll }$, ${\displaystyle <}$, ${\displaystyle \prec }$ são transitivas. ${\displaystyle \to }$ não é transitiva. A relação causal ${\displaystyle \prec }$ é a menor extensão transitiva da relação horismos ${\displaystyle \to }$.
• ${\displaystyle \prec }$, ${\displaystyle \to }$ são reflexivas.

Para um ponto ${\displaystyle x}$ na variedade ${\displaystyle M}$, define-se:

• O futuro cronológico de ${\displaystyle x}$, denotado por ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle x}$ precede cronologicamente ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• O passado cronológico de ${\displaystyle x}$, denotado por ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$, como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle y}$ precede cronologicamente ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

De forma semelhante, define-se:

• O futuro causal (também chamado de futuro absoluto) de ${\displaystyle x}$, denotado por ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$, como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle x}$ precede causalmente ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• O passado causal (também chamado de passado absoluto) de ${\displaystyle x}$, denotado por ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$, como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle y}$ precede causalmente ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• O cone nulo futuro de ${\displaystyle x}$ como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle x\to y}$.
• O cone nulo passado de ${\displaystyle x}$ como o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle y\to x}$.
• O cone de luz de ${\displaystyle x}$ como a união dos cones nulos futuro e passado de ${\displaystyle x}$.
• Além (elsewhere) como os pontos que não estão no cone de luz, no futuro causal ou no passado causal.

Pontos contidos em ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, por exemplo, podem ser alcançados a partir de ${\displaystyle x}$ por uma curva tipo tempo direcionada para o futuro. O ponto ${\displaystyle x}$ pode ser alcançado, por exemplo, a partir de pontos contidos em ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$ por uma curva não tipo espaço direcionada para o futuro.

No espaço-tempo de Minkowski, o conjunto ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ é o interior do cone de luz futuro em ${\displaystyle x}$. O conjunto ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ é o cone de luz futuro completo em ${\displaystyle x}$, incluindo o próprio cone.

Estes conjuntos ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$, definidos para todos os ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle M}$, são chamados coletivamente de estrutura causal de ${\displaystyle M}$.

Para ${\displaystyle S}$, um subconjunto de ${\displaystyle M}$, define-se:

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Para ${\displaystyle S,T}$, dois subconjuntos de ${\displaystyle M}$, define-se:

• O futuro cronológico de ${\displaystyle S}$ relativo a ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle I^{+}[S;T]}$, é o futuro cronológico de ${\displaystyle S}$ considerado como uma subvariedade de ${\displaystyle T}$. Note que este é um conceito bastante diferente de ${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$, que resulta no conjunto de pontos em ${\displaystyle T}$ que podem ser alcançados por curvas tipo tempo direcionadas para o futuro que partem de ${\displaystyle S}$. No primeiro caso, as curvas devem situar-se inteiramente dentro de ${\displaystyle T}$; no segundo caso, isso não é obrigatório. Veja Hawking e Ellis.
• O futuro causal de ${\displaystyle S}$ relativo a ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle J^{+}[S;T]}$, é o futuro causal de ${\displaystyle S}$ considerado como uma subvariedade de ${\displaystyle T}$. Note que este é um conceito bastante diferente de ${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$, que fornece o conjunto de pontos em ${\displaystyle T}$ que podem ser alcançados por curvas causais direcionadas para o futuro que partem de ${\displaystyle S}$. No primeiro caso, as curvas devem situar-se inteiramente dentro de ${\displaystyle T}$; no segundo caso, não. Veja Hawking e Ellis.
• Umconjunto futuro é um conjunto fechado sob o futuro cronológico.
• Um conjunto passado é um conjunto fechado sob o passado cronológico.
• Um conjunto passado indecomponível (IP, do inglês indecomposable past set) é um conjunto passado que não é a união de dois subconjuntos próprios passados abertos diferentes.
• Um IP que não coincide com o passado de nenhum ponto em ${\displaystyle M}$ é chamado de conjunto passado indecomponível terminal (TIP, do inglês terminal indecomposable past set).
• Um conjunto passado indecomponível próprio (PIP, do inglês proper indecomposable past set) é um IP que não é um TIP. ${\displaystyle I^{-}(x)}$ é um conjunto passado indecomponível próprio (PIP).
• O desenvolvimento de Cauchy futuro de ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle D^{+}(S)}$, é o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle x}$ para os quais cada curva causal inextensível direcionada para o passado que passa por ${\displaystyle x}$ intersecta ${\displaystyle S}$ pelo menos uma vez. Definição análoga aplica-se ao desenvolvimento de Cauchy passado. O desenvolvimento de Cauchy é a união dos desenvolvimentos de Cauchy futuro e passado. Os desenvolvimentos de Cauchy são importantes para o estudo do determinismo.
• Um subconjunto ${\displaystyle S\subset M}$ é acronal se não existirem ${\displaystyle q,r\in S}$ tais que ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$ ou, equivalentemente, se ${\displaystyle S}$ for disjunto de ${\displaystyle I^{+}[S]}$.

• Uma superfície de Cauchy é um conjunto acronal fechado cujo desenvolvimento de Cauchy é ${\displaystyle M}$.
• Uma métrica é globalmente hiperbólica se puder ser folheada por superfícies de Cauchy.
• O conjunto de violação de cronologia é o conjunto de pontos pelos quais passam curvas tipo tempo fechadas.
• O conjunto de violação de causalidade é o conjunto de pontos pelos quais passam curvas causais fechadas.
• A fronteira do conjunto de violação de causalidade é um horizonte de Cauchy. Se o horizonte de Cauchy for gerado por geodésicas nulas fechadas, então há um fator de desvio para o vermelho associado a cada uma delas.
• Para uma curva causal ${\displaystyle \gamma }$, o diamante causal é ${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$ (aqui utiliza-se a definição mais ampla de "curva", na qual ela é apenas um conjunto de pontos), estando o ponto ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$ no passado causal de ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$. Em outras palavras: o diamante causal da linha de universo ${\displaystyle \gamma }$ de uma partícula é o conjunto de todos os eventos que estão tanto no passado de algum ponto em ${\displaystyle \gamma }$ quanto no futuro de algum ponto em ${\displaystyle \gamma }$. Na versão discreta, o diamante causal é o conjunto de todos os caminhos causais que conectam ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ a partir de ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$.

Propriedades

Veja Penrose (1972), p. 13.

• Um ponto ${\displaystyle x}$ está em ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ se e somente se ${\displaystyle y}$ estiver em ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$.
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• O horismos é gerado por congruências de geodésicas nulas.

Propriedades topológicas:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$ é aberto para todos os pontos ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$ é aberto para todos os subconjuntos ${\displaystyle S\subset M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$ para todos os subconjuntos ${\displaystyle S\subset M}$. Aqui, ${\displaystyle {\overline {S}}}$ representa o fechamento do subconjunto ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$