Leonhard Euler

Primeira temporada em São Petersburgo (1727–1741)

Daniel e Nicolaus, filhos de Johann Bernoulli, começaram a trabalhar na Academia Imperial de Ciências em São Petersburgo em 1725. Prometeram recomendar Euler quando surgisse uma vaga. Nicolaus morreu de apendicite em 31 de julho de 1726, menos de um ano depois de chegar à Rússia. Daniel assumiu o posto do irmão na divisão de matemática e física e indicou Euler para o cargo de fisiologia que havia deixado. Euler aceitou a oferta em novembro de 1726, mas adiou a viagem enquanto tentava, sem sucesso, tornar-se professor de física em Basileia.

Ele chegou a São Petersburgo em maio de 1727. Passou de um posto inicial no departamento médico da academia para o de matemática. Morou com Daniel Bernoulli, com quem trabalhou de perto. Aprendeu russo, adaptou-se à cidade e aceitou também um emprego como médico na Marinha Imperial Russa.

A academia havia sido fundada por Pedro, o Grande para melhorar a educação russa e diminuir a distância científica em relação à Europa Ocidental. Por isso atraía estudiosos estrangeiros como Euler. Sua benfeitora, Catarina I, que mantivera as políticas do marido, morreu antes da chegada dele. Com a ascensão de Pedro II, então com doze anos, a nobreza conservadora ganhou poder. Desconfiada dos cientistas estrangeiros, cortou os recursos da academia e impediu a entrada de alunos estrangeiros e não aristocratas no ginásio e nas universidades.

As condições melhoraram um pouco depois da morte de Pedro II em 1730, quando Ana da Rússia assumiu o poder. Euler avançou na academia e tornou-se professor de física em 1731. Em 1730, iniciou uma correspondência com o secretário Johann Daniel Schumacher que prosseguiu até 1757, muito depois de sua ida para Berlim, e somou mais de trezentas cartas. Trocavam notícias científicas, e Euler sugeria candidatos para vagas, entre eles o matemático e astrônomo Tobias Mayer, o filósofo natural Johann Peter Eberhard e o matemático e filósofo Johann Konrad Spangenberg. Também enviava equipamentos científicos e suas publicações recentes. A partir da década de 1750, manteve correspondência semelhante com Gerhard Friedrich Müller, a quem Schumacher delegara muitas funções.

Em 1731, Euler deixou a marinha e recusou uma promoção a tenente. Dois anos depois, Daniel Bernoulli, cansado da censura e da hostilidade em São Petersburgo, voltou para Basileia. Euler o sucedeu na chefia do departamento de matemática. Em janeiro de 1734, casou-se com Katharina Gsell (1707–1773), filha de Georg Gsell. Frederico II da Prússia tentou recrutá-lo para a nova academia de Berlim em 1740, mas Euler inicialmente preferiu ficar na Rússia. Após a morte da imperatriz Ana, Frederico ofereceu-lhe 1.600 écus, o mesmo que recebia na Rússia, e Euler concordou em se mudar. Em 1741, pediu licença para partir, alegando que um clima mais ameno ajudaria sua visão. A academia russa consentiu e prometeu-lhe 200 rublos anuais como membro ativo.

Berlim (1741–1766)

Preocupado com a instabilidade russa, Euler deixou São Petersburgo em junho de 1741 para assumir o posto oferecido por Frederico II na Academia de Berlim. Morou 25 anos em Berlim e escreveu centenas de artigos. Publicou Introductio in analysin infinitorum, sobre funções, em 1748, e Institutiones calculi differentialis, sobre cálculo diferencial, em 1755. Em 1755, foi eleito membro estrangeiro da Academia Real das Ciências da Suécia e da Academia Francesa de Ciências. Entre seus alunos em Berlim estava Stepan Rumovsky, mais tarde tido como o primeiro astrônomo russo. Em 1748, recusou o convite para suceder Johann Bernoulli na Universidade de Basileia. Comprou uma casa em Charlottenburg em 1753 e passou a viver ali com a família e a mãe viúva.

Euler foi tutor de Frederica Carlota de Brandemburgo-Schwedt, princesa de Anhalt-Dessau e sobrinha de Frederico. Enviou-lhe mais de duzentas cartas no começo da década de 1760, depois reunidas no livro Cartas a uma princesa alemã. As cartas tratam de física e matemática e também permitem conhecer sua personalidade e suas crenças religiosas. Traduzidas para diversos idiomas e publicadas na Europa e nos Estados Unidos, foram mais lidas que qualquer obra matemática sua. Euler conseguia explicar assuntos científicos a leitores sem formação especializada, habilidade incomum entre pesquisadores da época.

Euler manteve correspondência matemática com Joseph-Louis Lagrange, que figura como equivalente a um orientando seu numa genealogia acadêmica.

Após a saída de Pierre Louis Maupertuis de Berlim, Euler passou a administrar a academia sem receber o título de presidente. Frederico II ofereceu a presidência a Jean le Rond d'Alembert, que recusou o cargo e recomendou Euler. O rei então se declarou chefe da academia. O rei mantinha muitos intelectuais na corte e achava o matemático pouco refinado e mal informado sobre assuntos alheios aos números. Euler era religioso, simples e não questionava a ordem social nem as crenças convencionais. Voltaire, favorecido na corte, tinha um temperamento oposto. Euler discutia por vezes temas que conhecia pouco e se tornava alvo das tiradas de Voltaire. Frederico também se decepcionou com suas habilidades de engenharia e escreveu:

Eu queria um jato de água no meu jardim. Euler calculou a força das rodas necessária para elevar a água a um reservatório, de onde ela deveria voltar pelos canais e enfim jorrar em Sanssouci. Meu moinho foi construído geometricamente e não conseguiu elevar um gole de água a menos de cinquenta passos do reservatório. Vaidade das vaidades! Vaidade da geometria!

Do ponto de vista técnico, a crítica provavelmente não era justa. Os cálculos de Euler parecem corretos, embora possa ter havido problemas na comunicação com Frederico e com os construtores da fonte.

Durante os anos em Berlim, Euler manteve contato com a academia de São Petersburgo e publicou 109 trabalhos na Rússia. Ajudou alunos da academia e chegou a hospedar estudantes russos em sua casa. Em 1760, durante a Guerra dos Sete Anos, tropas russas saquearam sua propriedade em Charlottenburg. O general Ivan Petrovitch Saltykov o indenizou, e a imperatriz Isabel da Rússia acrescentou 4.000 rublos, soma elevada na época. Euler decidiu voltar para a Rússia em 1766.

Em Berlim, escreveu 380 obras, das quais 275 foram publicadas. Entre elas havia 125 memórias para a academia berlinense e mais de cem enviadas à academia de São Petersburgo, que mantivera sua associação e lhe pagava uma pensão anual. A Introductio in Analysin Infinitorum saiu em dois volumes em 1748. Além da pesquisa, Euler supervisionava a biblioteca, o observatório e o jardim botânico, bem como a edição de calendários e mapas que geravam receitas para a academia. Participou ainda do projeto das fontes de Sanssouci, residência de verão do rei.

Segunda temporada em São Petersburgo (1766–1783)

Com a ascensão de Catarina, a Grande, a situação política russa se estabilizou. Em 1766, Euler aceitou o convite para retornar à academia de São Petersburgo. Exigiu um salário anual de 3.000 rublos, uma pensão para a esposa e a promessa de cargos elevados para os filhos. Na academia, contou com a colaboração de Anders Johan Lexell. Um incêndio destruiu sua casa em 1771.

Perda da visão

A visão de Euler piorou ao longo de sua carreira. Em 1738, três anos depois de quase morrer de febre, ficou quase cego do olho direito. Ele atribuiu o problema ao trabalho de cartografia feito para a academia, mas a causa ainda é discutida. Sua visão desse olho continuou a piorar na Alemanha, e Frederico passou a chamá-lo de "ciclope". Euler comentou: "Agora terei menos distrações". Uma catarata foi descoberta no olho esquerdo em 1766. A técnica então usada para deslocar a catarata melhorou temporariamente sua visão, mas complicações o deixaram quase totalmente cego também desse olho. Com a ajuda de escribas, sua produtividade cresceu em muitas áreas. Em 1775, produziu em média um artigo de matemática por semana.

Morte

Em 18 de setembro de 1783 (7 de setembro no calendário juliano), Euler conversou em São Petersburgo com Anders Johan Lexell e Nicolaus Fuss sobre o planeta Urano, descoberto pouco antes. Mais tarde, sofreu uma hemorragia cerebral e morreu naquela noite. Jacob von Staehlin escreveu um breve obituário para a Academia Russa de Ciências. Nicolaus Fuss, discípulo de Euler, compôs um elogio mais longo e o leu numa reunião em sua memória. O matemático e filósofo francês Marquês de Condorcet escreveu para a Academia Francesa:

"... il cessa de calculer et de vivre."
"... deixou de calcular e de viver."

Euler foi sepultado junto de Katharina no Cemitério Luterano de Smolensky, na Ilha de Vassiliev. Em 1837, a Academia Russa de Ciências substituiu a placa de seu túmulo por um monumento. Em 1957, por ocasião dos 250 anos de seu nascimento, os restos mortais foram transferidos para o Cemitério Lazarevskoe, no Mosteiro Alexandre Nevski.

Notação matemática

Euler introduziu e difundiu convenções de notação em livros didáticos que circularam amplamente. Johann Bernoulli já havia definido o conceito de função em 1718; Euler apresentou sua própria definição em 1748 e sistematizou seu estudo. Foi o primeiro a escrever ${\displaystyle f(x)}$ para a função ${\displaystyle f}$ aplicada ao argumento ${\displaystyle x}$. Introduziu também a notação moderna das funções trigonométricas, a letra ${\displaystyle e}$ para a base do logaritmo natural, a letra grega ${\displaystyle \Sigma }$ para somatórios e ${\displaystyle i}$ para a unidade imaginária. Popularizou ainda ${\displaystyle \pi }$ como símbolo da razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, uso iniciado pelo matemático galês William Jones.

Análise

Na análise matemática, o cálculo infinitesimal ocupava o centro da pesquisa matemática do século XVIII. A família Bernoulli, próxima de Euler, havia avançado bastante nesse campo, e o cálculo tornou-se o foco de seu trabalho. Algumas de suas demonstrações, em especial as que dependiam do princípio da generalidade da álgebra, não satisfazem os padrões atuais de rigor matemático. Suas ideias, porém, abriram novos caminhos de investigação.

Euler usou e desenvolveu séries de potências, que expressam funções como somas de infinitos termos, como em

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

Com séries de potências, resolveu em 1735 o problema de Basileia, isto é, a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais. Apresentou uma demonstração mais elaborada em 1741. Pietro Mengoli havia formulado o problema em 1644. Jacob Bernoulli o difundiu, e muitos matemáticos tentaram resolvê-lo sem sucesso até a década de 1730. Euler encontrou:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Euler introduziu a constante

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0{,}5772,}$$

chamada constante de Euler-Mascheroni. Estudou sua relação com a série harmônica, a função gama e os valores da função zeta de Riemann.

Euler passou a usar a função exponencial e os logaritmos em demonstrações analíticas. Expressou funções logarítmicas por séries de potências e definiu logaritmos para números negativos e complexos, ampliando suas aplicações. Também definiu a função exponencial para números complexos e descobriu sua relação com as funções trigonométricas. Para qualquer número real ${\displaystyle \varphi }$, medido em radianos, a fórmula de Euler estabelece que

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Richard Feynman chamou-a de "a fórmula mais notável da matemática". Um caso particular é a identidade de Euler:

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

Ao introduzir a função gama, Euler desenvolveu a teoria das funções transcendentes superiores. Criou um método para resolver equações de quarto grau e uma forma de calcular integrais com limites complexos, antecipando a análise complexa. Desenvolveu o cálculo das variações e formulou a equação de Euler-Lagrange, que permite reduzir problemas de otimização nesse campo à solução de equações diferenciais.

Euler empregou métodos analíticos em problemas de teoria dos números e ajudou a estabelecer a teoria analítica dos números. Desenvolveu a teoria das séries hipergeométricas, das séries q, das funções hiperbólicas e a teoria analítica das frações contínuas generalizadas. Demonstrou a infinitude dos números primos a partir da divergência da série harmônica e investigou sua distribuição por métodos analíticos. Seu trabalho nessa área levou ao desenvolvimento do teorema dos números primos.

Teoria dos números

O interesse de Euler pela teoria dos números foi estimulado por Christian Goldbach, seu amigo na academia de São Petersburgo. Parte de seus primeiros trabalhos nesse campo partiu das ideias de Pierre de Fermat. Euler desenvolveu algumas delas e refutou outras, entre elas a conjectura de que todos os números de Fermat, da forma ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, são primos.

Ele demonstrou que a série dos inversos dos primos diverge e descobriu uma relação entre os números primos e a função zeta de Riemann, expressa no produto de Euler.

Euler introduziu a função totiente de Euler ${\displaystyle \varphi (n)}$, que conta os inteiros positivos menores ou iguais a ${\displaystyle n}$ e coprimos com ele. A partir de suas propriedades, generalizou o pequeno teorema de Fermat no que passou a ser chamado teorema de Euler. Estudou os números perfeitos, assunto que intrigava matemáticos desde Euclides. Demonstrou a correspondência entre os números perfeitos pares e os primos de Mersenne, conhecida como teorema de Euclides-Euler. Também conjecturou a lei da reciprocidade quadrática. Suas ideias foram retomadas por Carl Friedrich Gauss, em especial no Disquisitiones Arithmeticae. Até 1772, Euler havia provado que ${\displaystyle 2^{31}-1}$ = 2.147.483.647 é um primo de Mersenne. Talvez tenha permanecido como o maior número primo conhecido até 1867.

Fez ainda avanços no estudo da partição de inteiros.

Teoria dos grafos

Euler formulou em 1735 uma solução para o problema das sete pontes de Königsberg, publicada em 1741. A cidade prussiana de Königsberg ficava às margens do rio Pregel, que tinha duas ilhas ligadas entre si e à terra firme por sete pontes. A pergunta era se seria possível seguir um trajeto que atravessasse cada ponte exatamente uma vez. Euler mostrou que não: naquele arranjo não existe um caminho euleriano. Sua solução é considerada o primeiro teorema da teoria dos grafos.

Ele também encontrou a fórmula ${\displaystyle V-E+F=2}$, que relaciona o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo e, por extensão, de um grafo planar. O número obtido é a característica de Euler do grafo, ou de outro objeto matemático, e está relacionado ao gênero desse objeto. O estudo e a generalização da fórmula, em especial por Augustin-Louis Cauchy e Simon Antoine Jean L'Huillier, estão na origem da topologia.

Física, astronomia e engenharia

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Euler resolveu problemas físicos por métodos analíticos e descreveu aplicações dos números de Bernoulli, das séries de Fourier, dos números de Euler, das constantes ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle \pi }$, das frações contínuas e das integrais. Reuniu o cálculo diferencial de Leibniz ao método das fluxões de Newton e criou ferramentas para aplicar o cálculo à física. Melhorou a aproximação numérica de integrais com métodos hoje chamados aproximações de Euler, entre eles o método de Euler e a Fórmula Euler–Maclaurin.

Euler ajudou a desenvolver o modelo de viga de Euler-Bernoulli. Aplicou suas ferramentas analíticas à mecânica clássica e à astronomia, trabalho pelo qual recebeu repetidos prêmios da Academia de Paris. Calculou com precisão as órbitas de cometas e outros corpos celestes, investigou a natureza dos cometas e calculou a paralaxe solar. Seus cálculos ajudaram a produzir tabelas de longitude mais precisas.

Na óptica, contestou a teoria corpuscular da luz de Newton, dominante na época. Seus trabalhos da década de 1740 ajudaram a firmar a teoria ondulatória da luz de Christiaan Huygens até o desenvolvimento da teoria quântica da luz.

Na dinâmica dos fluidos, Euler aventou em 1754 a possibilidade de cavitação em máquinas hidráulicas, fenômeno investigado experimentalmente no século XIX. O número de Euler empregado em escoamentos compara forças de pressão e de inércia. Euler estudou também a eficiência das turbinas. Em 1757, publicou um conjunto de equações para o movimento de fluidos sem viscosidade, as equações de Euler.

Na engenharia estrutural, deduziu a carga crítica de Euler para a flambagem de uma coluna ideal, determinada por seu comprimento e sua rigidez à flexão.

Lógica

Euler usou curvas fechadas em 1768 para representar raciocínios silogísticos. Elas passaram a ser conhecidas como diagramas de Euler.

Esses diagramas representam conjuntos e suas relações por curvas fechadas simples, em geral círculos, desenhadas no plano. Cada curva separa uma região interior, que representa os elementos do conjunto, da região exterior, que representa os demais elementos. O tamanho e o formato das curvas não são essenciais. Sua sobreposição ou inclusão mostra relações como interseção, subconjunto e disjunção. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Se os interiores se cruzam, a parte comum representa os elementos compartilhados. Uma curva inteiramente contida em outra representa um subconjunto.

Diagramas de Euler e sua adaptação, os diagramas de Venn, integraram o ensino de teoria dos conjuntos no movimento da matemática moderna dos anos 1960. Desde então, são usados para visualizar combinações de características.

Demografia

Em Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain, artigo do volume da academia referente a 1760 e publicado em 1767, Euler formulou, por uma equação de diferenças, um modelo de crescimento geométrico da população com fecundidade e mortalidade constantes. Examinou também as relações entre indicadores demográficos, úteis para estimar valores quando faltavam observações. Cerca de 150 anos depois, Alfred J. Lotka adotou uma abordagem semelhante em três artigos publicados em 1907, 1911, este com F. R. Sharpe, e 1922. Daí surgiu seu modelo de população estável e teve início a modelagem demográfica formal do século XX.

Música

Euler procurou aplicar a matemática à música. Em 1739, escreveu Tentamen novae theoriae musicae, ou Tentativa de uma nova teoria da música, esperando incorporar a teoria musical à matemática. O livro recebeu pouca atenção e chegou a ser chamado de matemático demais para os músicos e musical demais para os matemáticos. Seu tratamento da música era sobretudo matemático. Propôs, por exemplo, usar logaritmos binários para descrever numericamente a divisão da oitava em partes fracionárias. Escreveu algumas centenas de páginas sobre música, diante de uma produção total de cerca de trinta mil, mas conservou esse interesse por toda a vida.

Um ponto inicial de sua teoria é a definição dos "gêneros", possíveis divisões da oitava com os primos 3 e 5. Euler descreveu dezoito gêneros pela expressão geral 2^mA. Nela, A é o "expoente" do gênero, ou seja, a soma dos expoentes de 3 e 5. O fator 2^m, sendo m um número indefinido, pequeno ou grande, desde que os sons sejam perceptíveis, faz a relação valer independentemente da quantidade de oitavas. O primeiro gênero, com A = 1, é a própria oitava ou suas duplicações. O segundo, 2^m·3, divide a oitava pela quinta, numa sequência quinta mais quarta, dó–sol–dó. O terceiro, 2^m·5, reúne terça maior e sexta menor, dó–mi–dó. O quarto, 2^m·3², contém duas quartas e um tom, dó–fá–si bemol–dó. O quinto é 2^m·3·5, dó–mi–sol–si–dó. Os gêneros 12, 2^m·3³·5, 13, 2^m·3²·5², e 14, 2^m·3·5³, corrigem respectivamente os gêneros diatônico, cromático e enarmônico da Antiguidade. O gênero 18, 2^m·3³·5², é o "diatônico-cromático", usado em geral nas composições, e coincide com o sistema de Johann Mattheson. Mais tarde, Euler considerou gêneros que também incluíssem o primo 7.

Para representar o gênero diatônico-cromático, Euler criou um grafo chamado Speculum musicum e examinou nele caminhos correspondentes a intervalos musicais, em paralelo com seu interesse pelas sete pontes de Königsberg. O dispositivo voltou a atrair atenção como Tonnetz na teoria neorriemanniana e se relaciona à rede musical.

Euler usou o princípio do "expoente" para deduzir dos fatores primos o gradus suavitatis, ou grau de suavidade, de intervalos e acordes. Trabalhava com a afinação justa e considerava apenas 1 e os primos 3 e 5. O sistema foi estendido em fórmulas que admitem qualquer quantidade de primos, por exemplo:

$${\displaystyle ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1,}$$

em que ${\displaystyle p_{i}}$ são números primos e ${\displaystyle k_{i}}$ seus expoentes.

Reconhecimento

Euler figura entre os matemáticos mais admirados e provavelmente foi o pesquisador mais produtivo da matemática e das ciências. O matemático e físico John von Neumann chamou-o de "o maior virtuose do período". François Arago disse que "Euler calculava sem esforço aparente, como os homens respiram e as águias se sustentam no ar". É com frequência situado logo depois de Gauss, Newton e Arquimedes entre os grandes matemáticos, embora alguns o coloquem no mesmo patamar. Henri Poincaré chamou-o de "deus da matemática".

André Weil escreveu que nenhum matemático havia ocupado uma posição de liderança tão incontestada em todos os ramos da matemática pura e aplicada quanto Euler durante boa parte do século XVIII:

"Nenhum matemático jamais alcançou uma posição tão incontestada de liderança em todos os ramos da matemática, pura e aplicada, quanto Euler durante a maior parte do século XVIII."

Nicolaus Fuss recordou a memória e os conhecimentos de Euler:

O que chamamos de erudição não lhe era estranho. Havia lido os melhores escritores romanos, conhecia perfeitamente a história antiga da matemática, guardava na memória acontecimentos de todas as épocas e de todos os povos e conseguia citar sem hesitar até o menor fato histórico como exemplo. Sabia mais sobre medicina, botânica e química do que se esperaria de alguém que não trabalhara especialmente nessas ciências.

Homenagens

Euler apareceu na sexta série das notas suíças de dez francos e no projeto de reserva da sétima série. Também figurou em selos postais suíços, alemães e russos. Em 1782, foi eleito membro honorário estrangeiro da Academia de Artes e Ciências dos Estados Unidos. O asteroide 2002 Euler recebeu seu nome.