Filtro linear

Um filtro em Processamento de Sinais é qualquer sistema que altera determinadas faixas de frequência conforme desejado. Normalmente, os filtros estudados e implementados são aqueles que mantêm certas faixas de frequências e anulam (rejeitam) as restantes.

Para a teoria de Sistemas e Sinais, um sistema é um ente que, munido de elementos interdependentes, estabelece uma relação qualquer entre os sinais de entrada e os de saída.

Os filtros lineares processam sinais de entrada variantes no tempo com o fim de produzir sinais de saída respeitando as limitações impostas pela linearidade. São muito comuns na Eletrônica e no processamento digital de sinais, também encontrando aplicações na Engenharia Mecânica, Física, Estatística, Análise de dados entre outras áreas.

Estudar filtros lineares equivale a estudar sistemas tipo LIT. Quando um filtro desse tipo for, além de linear, também invariante no tempo, poderá ser precisamente analisado como um SLIT ("Sistema Linear Invariante no Tempo"). Assim, ficará caracterizado pela sua função de transferência - no domínio da frequência - e pela sua resposta ao impulso - no domínio do tempo. Sistemas tipo LIT costumam ser determinados pela sua resposta à entrada senoidal, chamada de Resposta em frequência, a qual lhes atribui a característica de "Filtros de Frequência".

A grande variedade de filtros lineares existentes é comumente empregada na eliminação de frequências não desejadas (de caráter ruidoso ou não) de um sinal de entrada. Quando um sistema mostra uma relação de causa e efeito da saída com a entrada, entende-se esse sistema como causal. Como a natureza impõe que todas as relações físicas concernentes ao estudo da lineariade (ignora-se eventos probabilísticos/não determinísticos) sejam de causa e efeito, implementações em tempo real desses filtros serão sempre causais. Implementações que não as em tempo real não estarão restritas à causalidade. É o que ocorre, por exemplo, com algoritmos de Processamento digital de imagem. Contudo, pensando nas retrições práticas, o estudo dos filtros lineares concentra-se na existência da causalidade na maioria das vezes.

Independentemente das implementações serem eletrônicas ou mecânicas, analógicas ou digitais, nem em quais faixas de frequência trabalharem, a teoria matemática dos filtros lineares permanecerá sempre a mesma a todos.

Exemplos de Filtros Lineares

É comum corriqueiramente tratar os filtros mais usuais sem mencionar suas características lineares. É o que ocorre com filtros como:

• Um filtro passa-baixas permite a passagem de frequências abaixo de sua frequência de corte.
• Um filtro passa-altas permite a passagem de frequências acima de sua frequência de corte.
• Um filtro passa-faixa permite a passagem apenas de uma faixa de frequências.
• Um filtro rejeita-faixa permite a passagem de todas as frequências fora de uma certa faixa.
• Um filtro passa-tudo permite a passagem de todas as frequências, porém altera a relação de fase entre elas.
• Um filtro de corte é um tipo específico de filtro rejeita-faixa que atua em uma faixa particularmente limitada de frequências.
• Alguns filtros não são projetados de modo a bloquear nenhuma frequência, mas ao invés disso apenas para variar a amplitude a diferentes frequências: O filtro de pré-enfase, os equalizadores e os controles de tom são exemplos deste gênero de filtros.
• Uma forma popular de filtro de 2 pólos é o filtro Sallen Key. Este é capaz de produzir versões passa-baixas, passa-banda e passa-altas.

Contudo, é fato que todos estes vêm de derivações de propriedades lineares das suas respostas em frequência. Todos possuem implementações analógicas (que partem da análise contínua) e digitais (que partem da análise discreta), que unem, respectivamente, conceitos de eletrônica e computação nas suas implementações. Alia-se a linearidade à invariância no tempo com o objetivo de poder projetá-los através da resposta em frequência a partir do princípio da superposição. Com estes conceitos, obtém-se os de convolução em tempo contínuo ou discreto.

A matemática do projeto de filtros

A construção de um modelo matemático costuma ser a primeira etapa para para avaliação do comportamento de um sistema qualquer. No presente caso de sistemas/filtros lineares, analisa-se as relações mais básicas entre os sinais de entrada e os de saída, ou seja, busca-se encontrar uma relação entre a saída dado a entrada. Consequentemente, essa busca leva à suposição de causalidade.

Assim, as derivações encontradas adiante supõem a existência de causa e efeito (causalidade) entre os sinais de excitação (input) e de resposta (output), de modo que o filtro possa ser avaliado segundo a sua resposta ao impulso ${\displaystyle h(t)}$ ou em frequência ${\displaystyle H(\omega )}$.

Com a notação utilizada, ${\displaystyle t}$ representa uma variável temporal, mas ${\displaystyle \omega }$ (frequência angular) representa uma variável no domínio da frequência, em radianos por segundo, usada por motivos de praticidade. A mesma análise pode ser feita para a frequencia natural, dada por ${\displaystyle f=2\pi \omega }$, bastando fazer as devidas substituições com os devidos cuidados.

No domínio do tempo, um SLIT é aquele que pode ter sua saída descrita pela convoluções:

• Tempo Contínuo: ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$ ,
• Tempo Discreto: ${\displaystyle y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]}$ ,

sendo ${\displaystyle h}$ a resposta impulsiva deste sistema.

A linearidade permite o uso das transformadas de Laplace, para o plano complexo ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$, e de Fourier, quando ${\displaystyle s=j\omega }$. Por exemplo, um filtro passa-baixas não ideal possui Função de Transferência ${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{c}}{s+\omega _{c}}}}$, que fornece a dinâmica do sistema, como pólos, zeros, regime transitório etc no domínio de Laplace. Aplicando-se ${\displaystyle s=j\omega }$ em ${\displaystyle H(s)}$, obtém-se a Resposta em Frequência ${\displaystyle H(\omega )}$, que fornece, no domínio de Fourier, a resposta do sistema ao ser excitado por senóides contínuas .

Com estes conceitos, mostra-se que os sinais senoidais são as únicas autofunções de um SLIT. Dizer isso significa que um SLIT alimentado com senóides não fará mais que atenuá-las, defasá-las, atenuar e defasá-las ou nenhuma das duas sem, contudo, nunca distorcê-las. Em termos mais simples, "uma autofunção de um sistema é uma função tal que se a aplicarmos à entrada do sistema, sua saída em estado zero (ou em repouso inicial) conterá uma função do mesmo tipo, a menos de um fator de escala".

O fato mencionado acima é facilmente verificado. Seja ${\displaystyle x(t)=e^{j\omega t}}$, encontra-se que:

• ${\displaystyle \mathbf {x(t)=e^{j\omega t}} }$ é autofunção:
  • Tempo Contínuo:

    ${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )e^{j\omega (t-\tau )}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )e^{j\omega t}e^{-j\omega \tau }d\tau \\&=e^{j\omega t}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau } _{\text{Transformada de Fourier}}=H(j\omega )\cdot e^{j\omega t}\\\end{aligned}}}$

  • Tempo Discreto:

    ${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]e^{j\omega (n-k)}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]e^{j\omega n}e^{-j\omega k}\\&=e^{j\omega n}\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]e^{-j\omega k}} _{\text{DTFT}}=H(e^{j\omega })\cdot e^{j\omega n}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \mathbf {x(t)=e^{j\omega t}} }$ é a única autofunção:

  Suponha que ${\displaystyle \exists C\in \mathbb {C} }$, autovalor, tal que ${\displaystyle y(t)=Cx(t){\text{, logo }}y(t_{1}+t_{2})=Cx(t_{1}+t_{2})}$. É imediato, com ${\displaystyle x(t)}$ autofunção, ver que ${\displaystyle \exists K}$ tal que ${\displaystyle x(t+T)=Kx(t){\text{, por }}x(t)}$ ser autofunção. Assim, dado ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, vê-se que:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(0)=\lambda \implies K={\frac {x(T)}{\lambda }}.\\&\therefore \lambda x(t+T)=x(T)\cdot x(t)\\&{\text{Sendo }}t_{1}=t,t_{2}=T{\text{ e }}g={\frac {x}{\lambda }}{\text{, tem-se que:}}\\&{\frac {x(t_{1}+t_{2})}{\lambda }}={\frac {x(t_{1})}{\lambda }}\cdot {\frac {x(t_{2})}{\lambda }}\implies g(t_{1}+t_{2})=g(t_{1})\cdot g(t_{2})\Leftrightarrow \\&\Leftrightarrow g(t)=e^{st}.\\&{\text{Para o caso discreto, a demonstração é análoga.}}\\\end{aligned}}}$

Portanto, vale a seguinte regra: em um SLIT, entrada senoidal, saída senoidal de mesma frequência.

Um filtro passa-baixas ideal parte do princípio da não-causalidade, que fornece uma resposta ao impulso do tipo ${\displaystyle sinc(t)={\frac {\sin(\omega _{c}t)}{\pi t}}}$. Ele mantém as frequências mais baixas, anulando as mais altas segundo algum critério de corte (ou seja, a partir de alguma frequência). Contudo, fisicamente isto não é possível, uma vez que seria necessário que o filtro devesse reagir antes mesmo antes mesmo do sinal chegar à entrada. Sendo mais específico, reagir infinitamente antes (${\displaystyle t<-\infty }$). Assim, este tipo de filtro é impossível de ser implementado.

FIltros IIR e FIR

Os filtros lineares podem ser divididos em duas classes: filtros resposta de impulso infinita (IIR), e resposta de impulso finita (FIR). Em geral, um filtro com uma resposta em frequência compacta possuirá uma resposta de impulso infinita e um filtro com uma resposta de impulso compacta terá uma resposta de impulso finita. Até pouco tempo atrás, apenas os filtros IIR analógicos possuíam uma construção prática. Entretanto, tecnologias como as linha de atraso analógicas e os filtros digitais tornaram a construção de filtros FIR prática. De um ponto de vista matemático, os filtros IIR de tempo contínuo podem ser descritos através de equações diferenciais lineares, e sua resposta em impulso considerado como uma função de Green da equação.

Antes do surgimento das ferramentas de análise computadorizadas, acessórios como o gráfico da resposta em frequência e gráfico de Nyquist eram extensivamente utilizados como ferramentas de projeto. Mesmo hoje em dia, estes ainda são ferramentas muito importantes para a compreensão do comportamento dos filtros.

Muitos projetos de filtros analógicos têm sido desenvolvidos, cada um buscando otimizar certa característica da resposta do sistema. Para filtros práticos, um projeto padrão é muitas vezes desejado, de modo que possa se encaixar nos critérios do projeto, que podem incluir a contagem e preço dos componentes, assim como as características da resposta em frequência.

Alguns filtros IIR clássicos são os seguintes:

• Filtro Bessel
• Filtro Butterworth
• Filtro Chebyshev
• Filtro elíptico (filtro de Cauer)

Estas descrições se referem às características matemáticas dos filtros (que são a resposta em frequência e fase). Estes podem ser implementados através de circuitos analógicos, ou através de algoritmos em sistemas de processamento digital de sinal.

Os filtros digitais são muito mais flexíveis em seu projeto e uso do que os filtros analógicos, aonde as limitações do projeto permitem seu uso. Notavelmente, não há a necessidade de considerar as tolerâncias dos componentes, e nível de Q muito altos podem ser obtidos.

Os filtros digitais FIR podem ser implementados através da convolução direta da resposta de impulso desejada para o sinal de entrada.

Os filtros digitais IIR também são relativamente fáceis de serem projetados. Entretanto, os filtros digitais IIR possuem seus problemas matemáticos de projeto, em particular relacionados à faixa dinâmica e a problemas de como o final da região de não linearidade.

Notas

Ver também

• Função de Green
• Filtro não linear
• Filtro de Wiener
• Processamento de sinal de áudio

Referências e Ligações externas