Em geometria, o Folium de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação
A curva faz um laço no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota
A curva é simétrica para .
Seu nome vem do latim folium que significa "folha".
A curva foi representada, juntamente com um retrato de Descartes, em um selo da Albânia em 1966.
O folium foi proposto pela primeira vez por Descartes em 1638. A curva tornou-se famosa através de um incidente ocorrido durante o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Descartes desafiou Fermat a encontrar a reta tangente à referida curva em um ponto arbitrário, uma vez que Fermat acabara de descobrir um método para encontrar retas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes foi incapaz de fazer. Desde que o cálculo foi inventado, a inclinação de uma reta tangente pode ser facilmente encontrada através da diferenciação implícita.
Uma vez que a equação é de 3º grau tanto em x como em y, e não pode ser fatorada, é difícil resolvê-la para uma das variáveis. No entanto, a equação em coordenadas polares é:
que pode ser plotada com facilidade. Outra técnica é escrever y = px e resolver para x e y em termos de p. Este método origina as equações paramétricas
Pode-se notar que o parâmetro p está relacionado com o vetor posição da curva da seguinte forma:
O folium de Descartes relaciona-se com a trissectriz de Maclaurin por transformações afins. Para vermos isso, comecemos com a equação
E façamos uma mudança de variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado de 45 graus.
Isto equivale a definir: No plano a equação é
Se multiplicarmos a direção por um fator de , temos
que é a equação para a trissectriz de Maclaurin.
