Functor derivado

Na matemática, especificamente na teoria das categorias, certos functores podem ser derivados para obter outros functores intimamente relacionados aos originais. Esta operação, embora bastante abstrata, unifica várias construções em toda a matemática.

Motivação

Notou-se em vários contextos bastante diferentes que uma sequência exata curta frequentemente dá origem a uma "sequência exata longa". Os functores derivados esclarecem e generalizam muitas dessas observações.

Suponha que nos seja dado um functor covariante exato à esquerda $F:\mathbf {A} \to \mathbf {B}$ entre duas categorias abelianas $\mathbf {A}$ e $\mathbf {B}$ . Se

0\to A\to B\to C\to 0

for uma sequência exata curta em $\mathbf {A}$ , então a aplicação de $F$ produz a sequência exata

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)

,

e poder-se-ia perguntar como continuar esta sequência para a direita para formar uma sequência exata longa.

A rigor, esta questão é mal formulada, visto que sempre há inúmeras maneiras diferentes de continuar uma determinada sequência exata para a direita. No entanto, verifica-se que se $\mathbf {A}$ for "suficientemente boa", há uma maneira canônica de fazê-lo, dada pelos functores derivados à direita de $F$ . Para todo $i\geq 1$ , existe um functor $R^{i}F:\mathbf {A} \to \mathbf {B}$ , e a sequência acima continua da seguinte forma:

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \cdots

A partir disto, vemos que $F$ é um functor exato se e somente se $R^{1}F=0$ ; logo, de certa forma, os functores derivados à direita de $F$ medem o "quão longe" $F$ está de ser exato.

Se o objeto $A$ na sequência exata curta acima for injetivo, então a sequência cinde (splits). Aplicar qualquer functor aditivo a uma sequência que cinde resulta em uma sequência que cinde, então em particular $R^{1}F(A)=0$ . Functores derivados à direita (para $i>0$ ) são zero em objetos injetivos: esta é a motivação para a construção dada a seguir.

Construção e primeiras propriedades

A suposição crucial que precisamos fazer sobre nossa categoria abeliana A é que ela possua injetivos suficientes, significando que para todo objeto A em A existe um monomorfismo A → I onde I é um objeto injetivo em A.

Os functores derivados à direita do functor covariante exato à esquerda F : A → B são então definidos da seguinte maneira. Comece com um objeto X de A. Como há injetivos suficientes, podemos construir uma sequência exata longa da forma

0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots

onde os Iⁱ são todos injetivos (isto é conhecido como uma resolução injetiva de X). Aplicando o functor F a esta sequência, e cortando o primeiro termo, obtemos o complexo de cocadeias

0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots

Nota: em geral, esta não é mais uma sequência exata. Mas podemos calcular a sua coomologia na i-ésima posição (o núcleo da aplicação a partir de F(Iⁱ) módulo a imagem da aplicação para F(Iⁱ)); chamamos o resultado de RⁱF(X). Naturalmente, várias coisas devem ser verificadas: o resultado não depende da resolução injetiva dada de X, e qualquer morfismo X → Y produz naturalmente um morfismo RⁱF(X) → RⁱF(Y), de modo que de fato obtemos um functor. Note que a exatidão à esquerda significa que 0 → F(X) → F(I⁰) → F(I¹) é exata, portanto R⁰F(X) = F(X), então só obtemos algo interessante para i>0.

(Tecnicamente, para produzir derivadas bem definidas de F, teríamos que fixar uma resolução injetiva para cada objeto de A. Essa escolha de resoluções injetivas produz então os functores RⁱF. Escolhas diferentes de resoluções produzem functores naturalmente isomorfos, de modo que no final a escolha realmente não importa).

A propriedade supracitada de transformar sequências exatas curtas em sequências exatas longas é uma consequência do lema da serpente. Isso nos diz que a coleção de functores derivados é um δ-functor.

Se o próprio X for injetivo, então podemos escolher a resolução injetiva 0 → X → X → 0, e obtemos que RⁱF(X) = 0 para todo i ≥ 1. Na prática, este fato, juntamente com a propriedade da sequência exata longa, é frequentemente usado para calcular os valores dos functores derivados à direita.

Uma maneira equivalente de calcular RⁱF(X) é a seguinte: tome uma resolução injetiva de X como acima, e seja Kⁱ a imagem da aplicação I^i-1→Iⁱ (para i=0, defina I^i-1=0), que é o mesmo que o núcleo de Iⁱ→Iⁱ⁺¹. Seja φ_i : I^i-1→Kⁱ a aplicação sobrejetiva correspondente. Então RⁱF(X) é o conúcleo de F(φ_i).

Variações

Se começarmos com um functor covariante exato à direita $G$ , e a categoria A tiver projetivos suficientes (ou seja, para cada objeto $A$ de A existe um epimorfismo $P\rightarrow A$ onde $P$ é um objeto projetivo), então podemos definir analogamente os functores derivados à esquerda $L_{i}G$ . Para um objeto $X$ de A, primeiro construímos uma resolução projetiva da forma

\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0

onde os $P_{i}$ são projetivos. Aplicamos $G$ a esta sequência, cortamos o último termo, e calculamos a homologia para obter $L_{i}G(X)$ . Como antes, $L_{0}G(X)=G(X)$ .

Neste caso, a sequência exata longa crescerá "para a esquerda" em vez de para a direita: a sequência

0\to A\to B\to C\to 0

é transformada em

\cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0

.

Functores derivados à esquerda são zero em todos os objetos projetivos.

Também se pode começar com um functor contravariante exato à esquerda $F$ ; os functores derivados à direita resultantes também serão contravariantes. A sequência exata curta

0\to A\to B\to C\to 0

é transformada na sequência exata longa

0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots

Esses functores derivados à direita são zero nos projetivos e são, portanto, calculados através de resoluções projetivas.

Exemplos

Se $A$ é uma categoria abeliana, então sua categoria de morfismos $A^{\{\ast \to \ast \}}$ também é abeliana. O functor $\ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A$ que mapeia cada morfismo ao seu núcleo é exato à esquerda. Seus functores derivados à direita são

R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}

Dualmente, o functor

\operatorname {coker}

é exato à direita e seus functores derivados à esquerda são

L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}

Esta é uma manifestação do lema da serpente.

Homologia e coomologia

Coomologia de feixes

Se $X$ for um espaço topológico, então a categoria $Sh(X)$ de todos os feixes de grupos abelianos em $X$ é uma categoria abeliana com injetivos suficientes. O functor $\Gamma :Sh(X)\to \mathrm {Ab}$ que atribui a cada um desses feixes ${\mathcal {F}}$ o grupo $\Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)$ de seções globais é exato à esquerda, e os functores derivados à direita são os functores de coomologia de feixes, usualmente escritos como $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ . De forma um pouco mais geral: se $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ for um espaço anelado, então a categoria de todos os feixes de ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulos é uma categoria abeliana com injetivos suficientes, e podemos novamente construir a coomologia de feixes como os functores derivados à direita do functor de seções globais.

Existem várias noções de coomologia que são casos especiais disto:

A Coomologia de De Rham é a coomologia de feixes do feixe de funções localmente constantes com valores em $\mathbb {R}$ numa variedade. O complexo de De Rham é uma resolução deste feixe não por feixes injetivos, mas por feixes finos.
A Coomologia étale é outra teoria de coomologia para feixes sobre um esquema. É o functor derivado à direita das seções globais de feixes abelianos no sítio étale.

Functores Ext

Se $R$ for um anel, então a categoria de todos os $R$ -módulos à esquerda é uma categoria abeliana com injetivos suficientes. Se $A$ for um $R$ -módulo à esquerda fixo, então o functor $\operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}$ é exato à esquerda, e os seus functores derivados à direita são os functores Ext $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)$ . Alternativamente $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)$ também pode ser obtido como o functor derivado à esquerda do functor exato à direita $\operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}$ .

Várias noções de coomologia são casos especiais de functores Ext e, portanto, também de functores derivados.

A Coomologia de grupos é o functor derivado à direita do functor de invariantes $(-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}$ que é o mesmo que $\operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)$ (onde $k$ é o $k[G]$ -módulo trivial) e, portanto, $H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)$ .
A Coomologia de álgebras de Lie de uma álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ sobre algum anel comutativo $k$ é o functor derivado à direita do functor de invariantes $(-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}$ o qual é o mesmo que $\operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)$ (onde $k$ é novamente o ${\mathfrak {g}}$ -módulo trivial e $U({\mathfrak {g}})$ é a álgebra envolvente universal de ${\mathfrak {g}}$ ). Portanto, $H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)$ .
A Coomologia de Hochschild de alguma $k$ -álgebra $A$ é o functor derivado à direita de invariantes $(-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}$ que mapeia um bimódulo $M$ ao seu centro, também chamado de seu conjunto de invariantes $M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}$ o qual é o mesmo que $\operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)$ (onde $A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}$ é a álgebra envolvente de $A$ e $A$ é considerada um $(A,A)$ -bimódulo através da multiplicação usual à esquerda e à direita). Portanto, $HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)$ .

Functores Tor

A categoria de $R$ -módulos à esquerda também possui projetivos suficientes. Se $A$ é um $R$ -módulo à direita fixo, então o produto tensorial com $A$ produz um functor covariante exato à direita $A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to \mathrm {Ab}$ ; A categoria de módulos tem projetivos suficientes de modo que os functores derivados à esquerda sempre existem. Os functores derivados à esquerda do functor tensorial são os functores Tor $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)$ . Equivalentemente, $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)$ pode ser definido simetricamente como os functores derivados à esquerda de $-\otimes B$ . De fato, pode-se combinar ambas as definições e definir $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)$ como a derivada à esquerda de $-\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to \mathrm {Ab}$ .

Isto inclui várias noções de homologia como casos especiais. Isso frequentemente espelha a situação com os functores Ext e a coomologia.

A Homologia de grupos é o functor derivado à esquerda da obtenção de coinvariantes $(-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}$ que é o mesmo que $k\otimes _{k[G]}-$ .
A Homologia de álgebras de Lie é o functor derivado à esquerda de se tomar coinvariantes ${\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]$ que é o mesmo que $k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-$ .
A Homologia de Hochschild é o functor derivado à esquerda de se tomar coinvariantes $(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]$ que é o mesmo que $A\otimes _{A^{e}}-$ .

Em vez de tomar functores derivados à esquerda individualmente, pode-se também tomar o functor derivado total do functor tensorial. Isto dá origem ao produto tensorial derivado $-\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(\mathrm {Ab} )$ onde $D$ é a categoria derivada.

Naturalidade

Os functores derivados e as sequências exatas longas são "naturais" em diversos sentidos técnicos.

Primeiro, dado um diagrama comutativo da forma

{\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}

(onde as linhas são exatas), as duas sequências exatas longas resultantes estão relacionadas por quadrados comutativos:

Segundo, suponha que η : F → G seja uma transformação natural do functor exato à esquerda F para o functor exato à esquerda G. Então, transformações naturais Rⁱη : RⁱF → RⁱG são induzidas, e de fato Rⁱ torna-se um functor da categoria de functores de todos os functores exatos à esquerda de A para B para a categoria de functores completa de todos os functores de A para B. Além disso, este functor é compatível com as sequências exatas longas no seguinte sentido: se

0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0

for uma sequência exata curta, então um diagrama comutativo

é induzido.

Ambas estas naturalidades seguem da naturalidade da sequência fornecida pelo lema da serpente.

Reciprocamente, a seguinte caracterização de functores derivados é válida: dada uma família de functores Rⁱ: A → B, satisfazendo o exposto acima, isto é, mapeando sequências exatas curtas para sequências exatas longas, tal que para cada objeto injetivo I de A, Rⁱ(I)=0 para todo i positivo, então esses functores são os functores derivados à direita de R⁰.

Generalização

A abordagem mais moderna (e mais geral) aos functores derivados utiliza a linguagem das categorias derivadas.

Em 1968, Daniel Quillen desenvolveu a teoria das categorias de modelos, as quais fornecem um sistema abstrato na teoria das categorias de fibrações, cofibrações e equivalências fracas. Tipicamente, está-se interessado na categoria de homotopia subjacente obtida localizando-se contra as equivalências fracas. Uma Adjunção de Quillen é uma adjunção entre categorias de modelos que descende para uma adjunção entre as categorias de homotopia. Por exemplo, a categoria dos espaços topológicos e a categoria dos conjuntos simpliciais admitem ambas estruturas de modelos de Quillen cuja adjunção de nervo e realização dá origem a uma adjunção de Quillen que é, de fato, uma equivalência de categorias de homotopia. Objetos particulares em uma estrutura de modelos têm "boas propriedades" (concernentes à existência de levantamentos contra morfismos particulares), os objetos "fibrantes" e "cofibrantes", e todo objeto é fracamente equivalente a uma "resolução" fibrante-cofibrante.

Embora originalmente desenvolvidas para lidar com a categoria dos espaços topológicos, as estruturas de modelos de Quillen aparecem em inúmeros lugares na matemática; em particular, a categoria de complexos de cadeias proveniente de qualquer categoria abeliana (módulos, feixes de módulos sobre um espaço topológico ou esquema, etc.) admite uma estrutura de modelos cujas equivalências fracas são aqueles morfismos entre complexos de cadeias que preservam a homologia. Frequentemente temos um functor entre duas tais categorias de modelos (por exemplo, o functor das seções globais enviando um complexo de feixes abelianos para o complexo óbvio de grupos abelianos) que preserva as equivalências fracas dentro da subcategoria de objetos “bons” (fibrantes ou cofibrantes). Tomando primeiro uma resolução fibrante ou cofibrante de um objeto e depois aplicando esse functor, conseguimos estendê-lo para toda a categoria de tal maneira que as equivalências fracas sejam sempre preservadas (e, consequentemente, ele descende para um functor da categoria de homotopia). Este é o "functor derivado". Os "functores derivados" da coomologia de feixes, por exemplo, são as homologias da saída deste functor derivado. Aplicando isso a um feixe de grupos abelianos interpretado da maneira óbvia como um complexo concentrado na homologia, eles medem a falha do functor de seções globais em preservar as equivalências fracas de tal objeto, sua falha de "exatidão". A teoria geral das estruturas de modelos mostra a unicidade desta construção (que ela não depende da escolha da resolução fibrante ou cofibrante, etc.).

Referências

↑ Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 117–120. ISBN 978-0521559874
↑ Rotman, Joseph J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Springer. pp. 341–345. ISBN 978-0387248230 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2003). Methods of Homological Algebra. [S.l.]: Springer. pp. 1–5. ISBN 978-3540435839
↑ Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Theory 2 ed. [S.l.]: Springer. pp. 195–200. ISBN 978-0387903887 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer. pp. 206–210. ISBN 978-0387902446 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 209–212. ISBN 978-0521559874
↑ Iversen, Birger (1986). Cohomology of Sheaves. [S.l.]: Springer. pp. 33–40. ISBN 978-3540163725
↑ Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 6–7, 66–70. ISBN 978-0521559874
↑ Rotman, Joseph J. (2009). An Introduction to Homological Algebra 2 ed. [S.l.]: Springer. pp. 158–170. ISBN 978-0387248230 Verifique |isbn= (ajuda)
↑ Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 119–130
↑ Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical Algebra. Col: Lecture Notes in Mathematics. 43. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3540036388
↑ Hovey, Mark (1999). Model Categories. Col: Mathematical Surveys and Monographs. 63. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821801352
↑ Hirschhorn, Philip S. (2003). Model Categories and Their Localizations. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821832707

Bibliografia

Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003). Methods of Homological Algebra. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-43583-9

[1] Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 117–120. ISBN 978-0521559874

[2] Rotman, Joseph J. (2009). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Springer. pp. 341–345. ISBN 978-0387248230 Verifique |isbn= (ajuda)

[3] Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2003). Methods of Homological Algebra. [S.l.]: Springer. pp. 1–5. ISBN 978-3540435839

[4] Bredon, Glen E. (1997). Sheaf Theory 2 ed. [S.l.]: Springer. pp. 195–200. ISBN 978-0387903887 Verifique |isbn= (ajuda)

[5] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer. pp. 206–210. ISBN 978-0387902446 Verifique |isbn= (ajuda)

[6] Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 209–212. ISBN 978-0521559874

[7] Iversen, Birger (1986). Cohomology of Sheaves. [S.l.]: Springer. pp. 33–40. ISBN 978-3540163725

[8] Weibel, Charles A. (1994). An Introduction to Homological Algebra. [S.l.]: Cambridge University Press. pp. 6–7, 66–70. ISBN 978-0521559874

[9] Rotman, Joseph J. (2009). An Introduction to Homological Algebra 2 ed. [S.l.]: Springer. pp. 158–170. ISBN 978-0387248230 Verifique |isbn= (ajuda)

[10] Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 119–130

[11] Quillen, Daniel G. (1967). Homotopical Algebra. Col: Lecture Notes in Mathematics. 43. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3540036388

[12] Hovey, Mark (1999). Model Categories. Col: Mathematical Surveys and Monographs. 63. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821801352

[13] Hirschhorn, Philip S. (2003). Model Categories and Their Localizations. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821832707