Coomologia

Na matemática, especificamente na teoria da homologia e na topologia algébrica, a cohomologia é uma maneira de associar invariantes algébricos a um espaço topológico ou a outro objeto matemático que codificam suas propriedades de uma forma que muitas vezes é computável. A cohomologia está frequentemente relacionada a questões sobre se alguma propriedade local do espaço encontra obstruções ao ser estendida para uma propriedade global. Por exemplo, a fita de Möbius não é o espaço produto de um segmento de reta com um círculo (ou seja, um cilindro), mas, localmente, em qualquer segmento do círculo, ela se assemelha a um retângulo comum (produto de dois segmentos de reta) sem a torção global. A obstrução para tornar a estrutura de produto global está codificada na primeira cohomologia do círculo subjacente, que classifica as duas maneiras inequivalentes de uma reta torcer-se ao redor de um círculo (um número par de torções ou um número ímpar de torções). O fato de existirem apenas duas maneiras inequivalentes de torcer uma reta ao redor de um círculo é codificado no respectivo grupo de cohomologia ${\displaystyle H^{1}(S^{1},\{+1,-1\})}$, que pode ser computado como sendo isomórfico ao grupo ${\displaystyle \{+1,-1\}}$, onde ${\displaystyle +1}$ corresponde a um número par de torções, e ${\displaystyle -1}$ a um número ímpar.

Em sua formulação abstrata geral, a cohomologia é uma sequência de grupos abelianos frequentemente definida a partir de um complexo de cocadeias. A cohomologia pode ser vista como um método de atribuir invariantes algébricos mais ricos a um espaço do que a homologia. Algumas versões da cohomologia surgem pela dualização da construção da homologia.

Desde o seu início na topologia, essa ideia tornou-se um método dominante na matemática da segunda metade do século XX. A partir da ideia inicial da homologia como um método de construir invariantes algébricos de espaços topológicos, o leque de aplicações das teorias de homologia e cohomologia espalhou-se por toda a geometria e a álgebra. A terminologia tende a ocultar o fato de que a cohomologia, uma teoria contravariante, é mais natural do que a homologia em muitas aplicações. Em um nível básico, isso tem a ver com funções e pullbacks em situações geométricas: dados os espaços ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, e alguma função ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle Y}$, para qualquer aplicação ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, a composição com ${\displaystyle F}$ dá origem a uma função ${\displaystyle F\circ f}$ em ${\displaystyle X}$. As teorias de cohomologia mais importantes possuem um produto, o produto cup, que lhes confere uma estrutura de anel. Devido a essa característica, a cohomologia é geralmente um invariante mais forte do que a homologia.

Visão geral

A cohomologia é uma família de construções relacionadas que ocorrem em várias áreas da matemática. O padrão comum é que se dispõe de objetos chamados cocadeias, um operador de cobordo que mede a falha de uma cocadeia em satisfazer uma condição de compatibilidade, e classes de cohomologia obtidas pela identificação de cocadeias que diferem por uma contribuição trivial ou exata.

Cohomologia singular

A cohomologia singular é um invariante poderoso na topologia, associando um anel graduado-comutativo a qualquer espaço topológico. Cada aplicação contínua ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ determina um homomorfismo de anéis do anel de cohomologia de ${\displaystyle Y}$ para o de ${\displaystyle X}$; isso impõe restrições fortes sobre as possíveis aplicações de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle Y}$. Ao contrário de invariantes mais sutis como os grupos de homotopia, o anel de cohomologia tende a ser computável na prática para espaços de interesse.

Para um espaço topológico ${\displaystyle X}$, a definição de cohomologia singular começa com o complexo de cadeias singulares:$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}\xrightarrow {\partial _{i+1}} C_{i}\xrightarrow {\partial _{i}} C_{i-1}\to \cdots }$$Por definição, a homologia singular de ${\displaystyle X}$ é a homologia desse complexo de cadeias (o núcleo de um homomorfismo módulo a imagem do anterior). Mais detalhadamente, ${\displaystyle C_{i}}$ é o grupo abeliano livre sobre o conjunto de aplicações contínuas do ${\displaystyle i}$-simplexo padrão em ${\displaystyle X}$ (chamadas de "${\displaystyle i}$-simplexos singulares em ${\displaystyle X}$"), e ${\displaystyle \partial _{i}}$ é o ${\displaystyle i}$-ésimo homomorfismo de bordo. Os grupos ${\displaystyle C_{i}}$ são zero para ${\displaystyle i}$ negativo.

Agora fixe um grupo abeliano ${\displaystyle A}$, e substitua cada grupo ${\displaystyle C_{i}}$ pelo seu grupo dual ${\displaystyle C_{i}^{*}=\operatorname {Hom} (C_{i},A)}$ (quando os coeficientes são tomados em um corpo, o grupo dual é o espaço vetorial dual de ${\displaystyle C_{i}}$), e ${\displaystyle \partial _{i}}$ pelo seu homomorfismo dual: $${\displaystyle d_{i-1}\colon C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

Isso tem o efeito de "inverter todas as setas" do complexo original, deixando um complexo de cocadeias:$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}\xleftarrow {d_{i}} C_{i}^{*}\xleftarrow {d_{i-1}} C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Para um inteiro ${\displaystyle i}$, o ${\displaystyle i}$-ésimo grupo de cohomologia de ${\displaystyle X}$ com coeficientes em ${\displaystyle A}$ é definido como sendo ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$ e denotado por ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$. O grupo ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ é zero para ${\displaystyle i}$ negativo. Os elementos de ${\displaystyle C_{i}^{*}}$ são chamados de ${\displaystyle i}$-cocadeias singulares com coeficientes em ${\displaystyle A}$. (Equivalentemente, uma ${\displaystyle i}$-cocadeia em ${\displaystyle X}$ pode ser identificada com uma função do conjunto de ${\displaystyle i}$-simplexos singulares em ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle A}$.) Elementos de ${\displaystyle \ker(d)}$ e ${\displaystyle \operatorname {im} (d)}$ são chamados de cociclos e cobordos, respectivamente, enquanto elementos de ${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$ são chamados de classes de cohomologia (porque são classes de equivalência de cociclos).

A seguir, o grupo de coeficientes ${\displaystyle A}$ às vezes não é escrito. É comum tomar ${\displaystyle A}$ como sendo um anel comutativo ${\displaystyle R}$; então os grupos de cohomologia são módulos sobre ${\displaystyle R}$. Uma escolha padrão é o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos inteiros.

Algumas das propriedades formais da cohomologia são apenas variantes menores das propriedades da homologia:

• Uma aplicação contínua ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ determina um homomorfismo de avanço (pushforward) ${\displaystyle f_{*}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ na homologia e um homomorfismo de recuo (pullback) ${\displaystyle f^{*}\colon H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$ na cohomologia. Isso torna a cohomologia um functor contravariante de espaços topológicos para grupos abelianos (ou módulos sobre ${\displaystyle R}$).
• Duas aplicações homotópicas de ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ induzem o mesmo homomorfismo na cohomologia (assim como na homologia).
• A sequência de Mayer–Vietoris é uma ferramenta computacional importante na cohomologia, assim como na homologia. Note que o homomorfismo de bordo aumenta (em vez de diminuir) o grau na cohomologia. Isto é, se um espaço ${\displaystyle X}$ é a união de subconjuntos abertos ${\displaystyle U}$ e ${\displaystyle V}$, então existe uma sequência exata longa:

$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$

• Existem grupos de cohomologia relativa ${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ para qualquer subespaço ${\displaystyle Y}$ de um espaço ${\displaystyle X}$. Eles estão relacionados aos grupos de cohomologia usuais por uma sequência exata longa:

$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$

• O teorema dos coeficientes universais descreve a cohomologia em termos da homologia, usando grupos Ext. A saber, existe uma sequência exata curta:

$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$Uma afirmação relacionada é que, para um corpo ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ é precisamente o espaço dual do espaço vetorial ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$.

• Se ${\displaystyle X}$ é uma variedade topológica ou um complexo CW, então os grupos de cohomologia ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ são zero para ${\displaystyle i}$ maior do que a dimensão de ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle X}$ é uma variedade compacta (possivelmente com bordo), ou um complexo CW com finitas células em cada dimensão, e ${\displaystyle R}$ é um anel comutativo noetheriano, então o ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle H^{i}(X,R)}$ é finitamente gerado para cada ${\displaystyle i}$.

Por outro lado, a cohomologia tem uma estrutura crucial que a homologia não tem: para qualquer espaço topológico ${\displaystyle X}$ e anel comutativo ${\displaystyle R}$, existe uma aplicação bilinear, chamada de produto cup:$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$definida por uma fórmula explícita em cocadeias singulares. O produto de classes de cohomologia ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ é escrito como ${\displaystyle u\cup v}$ ou simplesmente como ${\displaystyle uv}$. Esse produto torna a soma direta $${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$um anel graduado, chamado de anel de cohomologia de ${\displaystyle X}$. Ele é graduado-comutativo no sentido de que:$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),\ v\in H^{j}(X,R).}$$

Para qualquer aplicação contínua ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, o recuo ${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$ é um homomorfismo de ${\displaystyle R}$-álgebras graduadas. Segue-se que, se dois espaços são homotopicamente equivalentes, então seus anéis de cohomologia são isomórficos.

Aqui estão algumas das interpretações geométricas do produto cup. A seguir, entende-se que as variedades não possuem bordo, a menos que declarado o contrário. Uma variedade fechada significa uma variedade compacta (sem bordo), enquanto uma subvariedade fechada ${\displaystyle N}$ de uma variedade ${\displaystyle M}$ significa uma subvariedade que é um subconjunto fechado de ${\displaystyle M}$, não necessariamente compacta (embora ${\displaystyle N}$ seja automaticamente compacta se ${\displaystyle M}$ o for).

• Seja ${\displaystyle X}$ uma variedade fechada orientada de dimensão ${\displaystyle n}$. Então a dualidade de Poincaré fornece um isomorfismo ${\displaystyle H^{i}X\cong H_{n-i}X}$. Como resultado, uma subvariedade fechada orientada ${\displaystyle S}$ de codimensão ${\displaystyle i}$ em ${\displaystyle X}$ determina uma classe de cohomologia em ${\displaystyle H^{i}X}$, chamada de ${\displaystyle [S]}$. Nestes termos, o produto cup descreve a interseção de subvariedades. A saber, se ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ são subvariedades de codimensão ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ que se intersectam transversalmente, então:

$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$onde a interseção ${\displaystyle S\cap T}$ é uma subvariedade de codimensão ${\displaystyle i+j}$, com uma orientação determinada pelas orientações de ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$ e ${\displaystyle X}$. No caso de variedades suaves, se ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ não se intersectam transversalmente, esta fórmula ainda pode ser usada para computar o produto cup ${\displaystyle [S][T]}$, perturbando ${\displaystyle S}$ ou ${\displaystyle T}$ para tornar a interseção transversal. Mais geralmente, sem assumir que ${\displaystyle X}$ tem uma orientação, uma subvariedade fechada de ${\displaystyle X}$ com uma orientação em seu fibrado normal determina uma classe de cohomologia em ${\displaystyle X}$. Se ${\displaystyle X}$ é uma variedade não compacta, então uma subvariedade fechada (não necessariamente compacta) determina uma classe de cohomologia em ${\displaystyle X}$. Em ambos os casos, o produto cup pode novamente ser descrito em termos de interseções de subvariedades. Note que Thom construiu uma classe de cohomologia integral de grau 7 em uma variedade suave de dimensão 14 que não é a classe de nenhuma subvariedade suave. Por outro lado, ele mostrou que toda classe de cohomologia integral de grau positivo em uma variedade suave possui um múltiplo positivo que é a classe de uma subvariedade suave. Além disso, toda classe de cohomologia integral em uma variedade pode ser representada por uma "pseudovariedade", isto é, um complexo simplicial que é uma variedade fora de um subconjunto fechado de codimensão pelo menos 2.

• Para uma variedade suave ${\displaystyle X}$, o teorema de de Rham afirma que a cohomologia singular de ${\displaystyle X}$ com coeficientes reais é isomórfica à cohomologia de de Rham de ${\displaystyle X}$, definida usando formas diferenciais. O produto cup corresponde ao produto de formas diferenciais. Esta interpretação tem a vantagem de que o produto em formas diferenciais é graduado-comutativo, ao passo que o produto em cocadeias singulares é apenas graduado-comutativo a menos de homotopia de cadeia. De fato, é impossível modificar a definição de cocadeias singulares com coeficientes nos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ou em ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ para um número primo ${\displaystyle p}$ para tornar o produto estritamente graduado-comutativo. A falha da comutatividade graduada ao nível de cocadeias leva às operações de Steenrod na cohomologia mod ${\displaystyle p}$.

De forma muito informal, para qualquer espaço topológico ${\displaystyle X}$, elementos de ${\displaystyle H^{i}(X)}$ podem ser pensados como representados por subespaços de codimensão ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle X}$ que podem se mover livremente em ${\displaystyle X}$. Por exemplo, uma maneira de definir um elemento de ${\displaystyle H^{i}(X)}$ é fornecer uma aplicação contínua ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle X}$ para uma variedade ${\displaystyle M}$ e uma subvariedade fechada de codimensão ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle M}$ com uma orientação no fibrado normal. Informalmente, pensa-se na classe resultante ${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$ como estando sobre o subespaço ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ de ${\displaystyle X}$; isso é justificado pelo fato de que a classe ${\displaystyle f^{*}([N])}$ se restringe a zero na cohomologia do subconjunto aberto ${\displaystyle X-f^{-1}(N)}$. A classe de cohomologia ${\displaystyle f^{*}([N])}$ pode se mover livremente em ${\displaystyle X}$ no sentido de que ${\displaystyle N}$ poderia ser substituído por qualquer deformação contínua de ${\displaystyle N}$ dentro de ${\displaystyle M}$.

Exemplos

A seguir, a cohomologia é considerada com coeficientes nos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, a menos que indicado o contrário.

• O anel de cohomologia de um ponto é o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ no grau 0. Pela invariância homotópica, este também é o anel de cohomologia de qualquer espaço contrátil, como o espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

• 

  Para um inteiro positivo ${\displaystyle n}$, o anel de cohomologia da esfera ${\displaystyle S^{n}}$ é ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})}$ (o anel quociente de um anel de polinômios pelo ideal dado), com ${\displaystyle x}$ no grau ${\displaystyle n}$. Em termos da dualidade de Poincaré como acima, ${\displaystyle x}$ é a classe de um ponto na esfera.
• O anel de cohomologia do toro ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ é a álgebra exterior sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ em ${\displaystyle n}$ geradores no grau 1. Por exemplo, seja ${\displaystyle P}$ um ponto no círculo ${\displaystyle S^{1}}$, e ${\displaystyle Q}$ o ponto ${\displaystyle (P,P)}$ no toro bidimensional ${\displaystyle (S^{1})^{2}}$. Então a cohomologia de ${\displaystyle (S^{1})^{2}}$ tem uma base como um ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo livre da forma: o elemento 1 no grau 0, ${\displaystyle x:=[P\times S^{1}]}$ e ${\displaystyle y:=[S^{1}\times P]}$ no grau 1, e ${\displaystyle xy=[Q]}$ no grau 2. (Implicitamente, orientações do toro e dos dois círculos foram fixadas aqui.) Note que ${\displaystyle yx=-xy=-[Q]}$, pela comutatividade graduada.
• Mais geralmente, seja ${\displaystyle R}$ um anel comutativo, e sejam ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ quaisquer espaços topológicos tais que ${\displaystyle H^{*}(X,R)}$ seja um ${\displaystyle R}$-módulo livre finitamente gerado em cada grau. (Nenhuma suposição é necessária sobre ${\displaystyle Y}$.) Então a fórmula de Künneth indica que o anel de cohomologia do espaço produto ${\displaystyle X\times Y}$ é um produto tensorial de álgebras de ${\displaystyle R}$-álgebras:

$${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$

• O anel de cohomologia do espaço projetivo real ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ é ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2)[x]/(x^{n+1})}$, com ${\displaystyle x}$ no grau 1. Aqui ${\displaystyle x}$ é a classe de um hiperplano ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n-1}}$ em ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$; isso faz sentido mesmo que ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{j}}$ não seja orientável para ${\displaystyle j}$ par e positivo, porque a dualidade de Poincaré com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ funciona para variedades arbitrárias. Com coeficientes inteiros, a resposta é um pouco mais complicada. A cohomologia com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a}}$ tem um elemento ${\displaystyle y}$ de grau 2 tal que toda a cohomologia é a soma direta de uma cópia de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gerada pelo elemento 1 no grau 0 juntamente com cópias de ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ geradas pelos elementos ${\displaystyle y^{i}}$ para ${\displaystyle i=1,\dots ,a}$. A cohomologia com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a+1}}$ é a mesma juntamente com uma cópia extra de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ no grau ${\displaystyle 2a+1}$.
• O anel de cohomologia do espaço projetivo complexo ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ é ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{n+1})}$, com ${\displaystyle x}$ no grau 2. Aqui ${\displaystyle x}$ é a classe de um hiperplano ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}}$ em ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$. Mais geralmente, ${\displaystyle x^{j}}$ é a classe de um subespaço linear ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-j}}$ em ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.
• O anel de cohomologia da superfície orientada fechada ${\displaystyle X}$ de gênero ${\displaystyle g\geq 0}$ possui uma base como um ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo livre da forma: o elemento 1 no grau 0, ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{g}}$ e ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{g}}$ no grau 1, e a classe ${\displaystyle P}$ de um ponto no grau 2. O produto é dado por: ${\displaystyle A_{i}A_{j}=B_{i}B_{j}=0}$ para todo ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle A_{i}B_{j}=0}$ se ${\displaystyle i\neq j}$, e ${\displaystyle A_{i}B_{i}=P}$ para todo ${\displaystyle i}$. Pela comutatividade graduada, segue-se que ${\displaystyle B_{i}A_{i}=-P}$.
• Em qualquer espaço topológico, a comutatividade graduada do anel de cohomologia implica que ${\displaystyle 2x^{2}=0}$ para todas as classes de cohomologia ${\displaystyle x}$ de grau ímpar. Segue-se que para um anel ${\displaystyle R}$ contendo 1/2, todos os elementos de grau ímpar de ${\displaystyle H^{*}(X,R)}$ possuem quadrado zero. Por outro lado, elementos de grau ímpar não precisam ter quadrado zero se ${\displaystyle R}$ for ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ou ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, como se vê no exemplo de ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ (com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$) ou ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{4}\times \mathbb {RP} ^{2}}$ (com coeficientes em ${\displaystyle \mathbb {Z} }$).

A diagonal

O produto cup na cohomologia pode ser visto como proveniente da aplicação diagonal ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$, ${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$. A saber, para quaisquer espaços ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ com classes de cohomologia ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ e ${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$, existe uma classe de cohomologia de produto externo (ou produto cruzado) ${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$. O produto cup das classes ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ e ${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$ pode ser definido como a puxada para trás (pullback) do produto externo pela diagonal: $${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

Alternativamente, o produto externo pode ser definido em termos do produto cup. Para espaços ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, escreva ${\displaystyle f\colon X\times Y\to X}$ e ${\displaystyle g\colon X\times Y\to Y}$ para as duas projeções. Então o produto externo das classes ${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$ e ${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$ é: $${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

Dualidade de Poincaré

Outra interpretação da dualidade de Poincaré é que o anel de cohomologia de uma variedade orientada fechada é autodual em um sentido forte. A saber, seja ${\displaystyle X}$ uma variedade orientada fechada e conexa de dimensão ${\displaystyle n}$, e seja ${\displaystyle F}$ um corpo. Então ${\displaystyle H^{n}(X,F)}$ é isomórfico a ${\displaystyle F}$, e o produto:

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

é um emparelhamento perfeito para cada inteiro ${\displaystyle i}$. Em particular, os espaços vetoriais ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ e ${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$ possuem a mesma dimensão (finita). Da mesma forma, o produto na cohomologia integral módulo torção com valores em ${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ é um emparelhamento perfeito sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Classes características

Um fibrado vetorial real orientado ${\displaystyle E}$ de posto ${\displaystyle r}$ sobre um espaço topológico ${\displaystyle X}$ determina uma classe de cohomologia em ${\displaystyle X}$, a classe de Euler ${\displaystyle \chi (E)\in H^{r}(X,\mathbb {Z} )}$. Informalmente, a classe de Euler é a classe do conjunto de zeros de uma seção geral de ${\displaystyle E}$. Essa interpretação pode ser tornada mais explícita quando ${\displaystyle E}$ é um fibrado vetorial suave sobre uma variedade suave ${\displaystyle X}$, uma vez que, nesse caso, uma seção suave geral de ${\displaystyle X}$ se anula sobre uma subvariedade de codimensão ${\displaystyle r}$ de ${\displaystyle X}$.

Existem vários outros tipos de classes características para fibrados vetoriais que assumem valores na cohomologia, incluindo as classes de Chern, as classes de Stiefel–Whitney e as classes de Pontryagin.

Espaços de Eilenberg–MacLane

Para cada grupo abeliano ${\displaystyle A}$ e número natural ${\displaystyle j}$, existe um espaço ${\displaystyle K(A,j)}$ cujo ${\displaystyle j}$-ésimo grupo de homotopia é isomórfico a ${\displaystyle A}$ e cujos demais grupos de homotopia são zero. Tal espaço é chamado de espaço de Eilenberg–MacLane. Este espaço possui a propriedade notável de ser um espaço classificador para a cohomologia: existe um elemento natural ${\displaystyle u}$ em ${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$, e toda classe de cohomologia de grau ${\displaystyle j}$ em qualquer espaço ${\displaystyle X}$ é o recuo (pullback) de ${\displaystyle u}$ por alguma aplicação contínua ${\displaystyle X\to K(A,j)}$. Mais precisamente, puxar de volta a classe ${\displaystyle u}$ fornece uma bijeção:

${\displaystyle [X,K(A,j)]\xrightarrow {\cong } H^{j}(X,A)}$

para todo espaço ${\displaystyle X}$ com o tipo de homotopia de um complexo CW. Aqui ${\displaystyle [X,Y]}$ denota o conjunto de classes de homotopia de aplicações contínuas de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle Y}$.

Por exemplo, o espaço ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$ (definido a menos de equivalência homotópica) pode ser tomado como sendo o círculo ${\displaystyle S^{1}}$. Portanto, a descrição acima diz que cada elemento de ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$ é puxado de volta a partir da classe ${\displaystyle u}$ de um ponto em ${\displaystyle S^{1}}$ por alguma aplicação ${\displaystyle X\to S^{1}}$.

Existe uma descrição relacionada da primeira cohomologia com coeficientes em qualquer grupo abeliano ${\displaystyle A}$, digamos para um complexo CW ${\displaystyle X}$. A saber, ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ está em correspondência biunívoca com o conjunto de classes de isomorfismo de espaços de recobrimento de Galois de ${\displaystyle X}$ com grupo ${\displaystyle A}$, também chamados de fibrados principais de ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle X}$. Para ${\displaystyle X}$ conexo, segue-se que ${\displaystyle H^{1}(X,A)}$ é isomórfico a ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$, onde ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ é o grupo fundamental de ${\displaystyle X}$. Por exemplo, ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ classifica os espaços de recobrimento duplo de ${\displaystyle X}$, com o elemento ${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$ correspondendo à cobertura dupla trivial, a união disjunta de duas cópias de ${\displaystyle X}$.

Produto cap

Para qualquer espaço topológico ${\displaystyle X}$, o produto cap é uma aplicação bilinear:

${\displaystyle \cap \colon H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

para quaisquer inteiros ${\displaystyle i}$ e ${\displaystyle j}$ e qualquer anel comutativo ${\displaystyle R}$. A aplicação resultante:

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

torna a homologia singular de ${\displaystyle X}$ em um módulo sobre o anel de cohomologia singular de ${\displaystyle X}$.

Para ${\displaystyle i=j}$, o produto cap fornece o homomorfismo natural:

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

o qual é um isomorfismo para ${\displaystyle R}$ sendo um corpo.

Por exemplo, seja ${\displaystyle X}$ uma variedade orientada, não necessariamente compacta. Então uma subvariedade orientada fechada de codimensão ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Y}$ de ${\displaystyle X}$ (não necessariamente compacta) determina um elemento de ${\displaystyle H^{i}(X,R)}$, e uma subvariedade ${\displaystyle j}$-dimensional orientada compacta ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle X}$ determina um elemento de ${\displaystyle H_{j}(X,R)}$. O produto cap ${\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,R)}$ pode ser computado perturbando ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ para fazê-los se intersectarem transversalmente e, em seguida, tomando a classe de sua interseção, que é uma subvariedade orientada compacta de dimensão ${\displaystyle j-i}$.

Uma variedade orientada fechada ${\displaystyle X}$ de dimensão ${\displaystyle n}$ possui uma classe fundamental ${\displaystyle [X]}$ em ${\displaystyle H_{n}(X,R)}$. O isomorfismo de dualidade de Poincaré: $${\displaystyle H^{i}(X,R)\xrightarrow {\cong } H_{n-i}(X,R)}$$ é definido pelo produto cap com a classe fundamental de ${\displaystyle X}$.

Breve histórico da cohomologia singular

Embora a cohomologia seja fundamental para a topologia algébrica moderna, sua importância não foi percebida por cerca de 40 anos após o desenvolvimento da homologia. O conceito de estrutura celular dual, que Henri Poincaré utilizou em sua demonstração do teorema da dualidade de Poincaré, continha o início da ideia de cohomologia, mas isso só foi percebido mais tarde.

Houve vários precursores da cohomologia. Em meados da década de 1920, J. W. Alexander e Solomon Lefschetz fundaram a teoria da interseção de ciclos em variedades. Em uma variedade ${\displaystyle n}$-dimensional orientada fechada ${\displaystyle M}$, um ${\displaystyle i}$-ciclo e um ${\displaystyle j}$-ciclo com interseção não vazia, se em posição geral, terão como interseção um ${\displaystyle (i+j-n)}$-ciclo. Isso leva a uma multiplicação de classes de homologia:

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

a qual (em retrospecto) pode ser identificada com o produto cup na cohomologia de ${\displaystyle M}$.

Alexander, por volta de 1930, já havia definido uma primeira noção de cocadeia, pensando em uma ${\displaystyle i}$-cocadeia em um espaço ${\displaystyle X}$ como uma função em pequenas vizinhanças da diagonal em ${\displaystyle X^{i+1}}$.

Em 1931, Georges de Rham relacionou a homologia e as formas diferenciais, provando o teorema de de Rham. Esse resultado pode ser enunciado de forma mais simples em termos de cohomologia.

Em 1932–33, a cohomologia apareceu essencialmente em trabalhos de Heinz Hopf e Egbert van Kampen sobre obstruções. Hopf inventou uma obstrução à homotopia (e à classificação homotópica) de aplicações contínuas de um poliedro ${\displaystyle k}$-dimensional para a esfera ${\displaystyle k}$-dimensional. Em seu trabalho, a cohomologia aparecia implicitamente, e a formulação mais natural envolvendo explicitamente a cohomologia foi dada por Hassler Whitney em 1937. Van Kampen inventou uma obstrução à (e, para ${\displaystyle k>2}$, um critério para a) mergulhabilidade de um poliedro ${\displaystyle k}$-dimensional no espaço euclidiano ${\displaystyle 2k}$-dimensional. Em seu trabalho, a cohomologia apareceu explicitamente, mas apenas para um caso particular (de um determinado espaço de configurações, o produto deletado).

Em 1934, Lev Pontryagin provou o teorema da dualidade de Pontryagin, um resultado sobre grupos topológicos. Isso (em casos bastante especiais) forneceu uma interpretação da dualidade de Poincaré e da dualidade de Alexander em termos de caracteres de grupos.

Em uma conferência em Moscou em 1935, Andrei Kolmogorov e Alexander introduziram ambos a cohomologia e tentaram construir uma estrutura de produto na cohomologia.

Em 1936, Norman Steenrod construiu a cohomologia de Čech dualizando a homologia de Čech.

De 1936 a 1938, Hassler Whitney e Eduard Čech desenvolveram o produto cup (tornando a cohomologia um anel graduado) e o produto cap, e perceberam que a dualidade de Poincaré pode ser enunciada em termos do produto cap. Sua teoria ainda se limitava a complexos celulares finitos.

Em 1944, Samuel Eilenberg superou as limitações técnicas e deu a definição moderna de homologia e cohomologia singulares.

Em 1945, Eilenberg e Steenrod enunciaram os axiomas de Eilenberg–Steenrod definindo uma teoria de homologia ou cohomologia, discutidos abaixo. Em seu livro de 1952, Foundations of Algebraic Topology, eles provaram que as teorias de homologia e cohomologia existentes satisfaziam de fato seus axiomas.

Em 1946, Jean Leray definiu a cohomologia de feixes.

Em 1948, Edwin Spanier, baseando-se no trabalho de Alexander e Kolmogorov, desenvolveu a cohomologia de Alexander–Spanier.

Cohomologia de feixes

A cohomologia de feixes é uma rica generalização da cohomologia singular, permitindo "coeficientes" mais gerais do que simplesmente um grupo abeliano. Para cada feixe de grupos abelianos ${\displaystyle E}$ sobre um espaço topológico ${\displaystyle X}$, tem-se os grupos de cohomologia ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ para inteiros ${\displaystyle i}$. Em particular, no caso do feixe constante sobre ${\displaystyle X}$ associado a um grupo abeliano ${\displaystyle A}$, os grupos resultantes ${\displaystyle H^{i}(X,A)}$ coincidem com a cohomologia singular para ${\displaystyle X}$ sendo uma variedade ou complexo CW (embora não para espaços arbitrários ${\displaystyle X}$). A partir da década de 1950, a cohomologia de feixes tornou-se uma parte central da geometria algébrica e da análise complexa, em parte devido à importância do feixe de funções regulares ou do feixe de funções holomorfas.

Grothendieck definiu e caracterizou elegantemente a cohomologia de feixes na linguagem da álgebra homológica. O ponto essencial é fixar o espaço ${\displaystyle X}$ e pensar na cohomologia de feixes como um functor da categoria abeliana de feixes sobre ${\displaystyle X}$ para grupos abelianos. Começa-se com o functor que leva um feixe ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle X}$ ao seu grupo abeliano de seções globais sobre ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle E(X)}$. Este functor é exato à esquerda, mas não necessariamente exato à direita. Grothendieck definiu os grupos de cohomologia de feixes como sendo os funtores derivados à direita do functor exato à esquerda ${\displaystyle E\mapsto E(X)}$.

Essa definição sugere várias generalizações. Por exemplo, pode-se definir a cohomologia de um espaço topológico ${\displaystyle X}$ com coeficientes em qualquer complexo de feixes, anteriormente chamada de hipercohomologia (mas geralmente chamada hoje apenas de "cohomologia"). Desse ponto de vista, a cohomologia de feixes torna-se uma sequência de funtores da categoria derivada de feixes sobre ${\displaystyle X}$ para grupos abelianos.

Em um sentido amplo da palavra, "cohomologia" é frequentemente usada para os funtores derivados à direita de um functor exato à esquerda em uma categoria abeliana, enquanto "homologia" é usada para os funtores derivados à esquerda de um functor exato à direita. Por exemplo, para um anel ${\displaystyle R}$, os grupos Tor ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$ formam uma "teoria da homologia" em cada variável, os funtores derivados à esquerda do produto tensorial ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ de ${\displaystyle R}$-módulos. Da mesma forma, os grupos Ext ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)}$ podem ser vistos como uma "teoria da cohomologia" em cada variável, os funtores derivados à direita do functor Hom ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$.

A cohomologia de feixes pode ser identificada com um tipo de grupo Ext. A saber, para um feixe ${\displaystyle E}$ sobre um espaço topológico ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle H^{i}(X,E)}$ é isomórfico a ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} _{X},E)}$, onde ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ denota o feixe constante associado aos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, e o Ext é tomado na categoria abeliana de feixes sobre ${\displaystyle X}$.

Cohomologia de variedades

Existem inúmeras máquinas desenvolvidas para computar a cohomologia de variedades algébricas. O caso mais simples é a determinação da cohomologia para variedades projetivas suaves sobre um corpo de característica 0. Ferramentas da teoria de Hodge, chamadas de estruturas de Hodge, ajudam a fornecer computações da cohomologia desses tipos de variedades (com a adição de informações mais refinadas). No caso mais simples, a cohomologia de uma hipersuperfície suave em ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ pode ser determinada exclusivamente a partir do grau do polinômio.

Ao considerar variedades sobre um corpo finito, ou um corpo de característica ${\displaystyle p}$, ferramentas mais poderosas são necessárias porque as definições clássicas de homologia/cohomologia deixam de funcionar. Isso ocorre porque variedades sobre corpos finitos serão apenas um conjunto finito de pontos. Grothendieck teve a ideia de uma topologia de Grothendieck e usou a cohomologia de feixes sobre a topologia étale para definir a teoria de cohomologia para variedades sobre um corpo finito. Usando a topologia étale para uma variedade sobre um corpo de característica ${\displaystyle p}$, pode-se construir a cohomologia ${\displaystyle \ell }$-ádica para ${\displaystyle \ell \neq p}$. Esta é definida como o limite projetivo:

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{\text{et}}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

Se tivermos um esquema de tipo finito

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

então há uma igualdade de dimensões para a cohomologia de Betti de ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ e a cohomologia ${\displaystyle \ell }$-ádica de ${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$ sempre que a variedade for suave sobre ambos os corpos. Além dessas teorias de cohomologia, existem outras chamadas teorias de cohomologia de Weil, que se comportam de maneira semelhante à cohomologia singular. Há uma teoria conjecturada de motivos que fundamenta todas as teorias de cohomologia de Weil.

Outra ferramenta computacional útil é a sequência de explosão (blowup). Dado um subesquema ${\displaystyle Z\subset X}$ de codimensão ${\displaystyle \geq 2}$, existe um quadrado cartesiano:

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &\operatorname {Bl} _{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

A partir disso, há uma sequência exata longa associada:

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(\operatorname {Bl} _{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

Se a subvariedade ${\displaystyle Z}$ for suave, então os morfismos de conexão são todos triviais, logo:

${\displaystyle H^{n}(\operatorname {Bl} _{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E).}$

Axiomas e teorias de cohomologia generalizadas

Existem várias maneiras de definir a cohomologia para espaços topológicos (como cohomologia singular, cohomologia de Čech, cohomologia de Alexander–Spanier ou cohomologia de feixes). (Aqui a cohomologia de feixes é considerada apenas com coeficientes em um feixe constante.) Essas teorias fornecem respostas diferentes para alguns espaços, mas há uma classe ampla de espaços nos quais elas concordam. Isso é mais facilmente compreendido axiomaticamente: há uma lista de propriedades conhecida como os axiomas de Eilenberg–Steenrod, e quaisquer duas construções que compartilhem essas propriedades concordarão pelo menos em todos os complexos CW. Existem versões dos axiomas para uma teoria de homologia, bem como para uma teoria de cohomologia. Algumas teorias podem ser vistas como ferramentas para computar a cohomologia singular para espaços topológicos especiais, tais como a cohomologia simplicial para complexos simpliciais, a cohomologia celular para complexos CW e a cohomologia de de Rham para variedades suaves.

Um dos axiomas de Eilenberg–Steenrod para uma teoria de cohomologia é o axioma da dimensão: se ${\displaystyle P}$ for um único ponto, então ${\displaystyle H^{i}(P)=0}$ para todo ${\displaystyle i\neq 0}$. Por volta de 1960, George W. Whitehead observou que é frutífero omitir completamente o axioma da dimensão: isso dá origem à noção de uma teoria de homologia generalizada ou uma teoria de cohomologia generalizada, definidas abaixo. Existem teorias de cohomologia generalizadas, tais como a K-teoria ou o cobordismo complexo, que fornecem informações ricas sobre um espaço topológico que não são diretamente acessíveis a partir da cohomologia singular. (Neste contexto, a cohomologia singular é frequentemente chamada de "cohomologia ordinária".)

Por definição, uma teoria de homologia generalizada é uma sequência de funtores ${\displaystyle h_{i}}$ (para inteiros ${\displaystyle i}$) da categoria de CW-pares ${\displaystyle (X,A)}$ (de modo que ${\displaystyle X}$ é um complexo CW e ${\displaystyle A}$ é um subcomplexo) para a categoria de grupos abelianos, juntamente com uma transformação natural ${\displaystyle \partial _{i}\colon h_{i}(X,A)\to h_{i-1}(A)}$ chamada de homomorfismo de bordo (aqui ${\displaystyle h_{i-1}(A)}$ é uma abreviação para ${\displaystyle h_{i-1}(A,\emptyset )}$). Os axiomas são:

1. Homotopia: Se ${\displaystyle f\colon (X,A)\to (Y,B)}$ for homotópica a ${\displaystyle g\colon (X,A)\to (Y,B)}$, então os homomorfismos induzidos na homologia são os mesmos.
2. Exatidão: Cada par ${\displaystyle (X,A)}$ induz uma sequência exata longa na homologia, por meio das inclusões ${\displaystyle f\colon A\to X}$ e ${\displaystyle g\colon (X,\emptyset )\to (X,A)}$:

   ${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A)\xrightarrow {f_{*}} h_{i}(X)\xrightarrow {g_{*}} h_{i}(X,A)\xrightarrow {\partial } h_{i-1}(A)\to \cdots }$

3. Excisão: Se ${\displaystyle X}$ for a união dos subcomplexos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, então a inclusão ${\displaystyle f\colon (A,A\cap B)\to (X,B)}$ induz um isomorfismo:

   ${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B)\xrightarrow {f_{*}} h_{i}(X,B)}$

   para todo ${\displaystyle i}$.

4. Aditividade: Se ${\displaystyle (X,A)}$ for a união disjunta de um conjunto de pares ${\displaystyle (X_{\alpha },A_{\alpha })}$, então as inclusões ${\displaystyle (X_{\alpha },A_{\alpha })\to (X,A)}$ induzem um isomorfismo a partir da soma direta:

   ${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$

   para todo ${\displaystyle i}$.

Os axiomas para uma teoria de cohomologia generalizada são obtidos invertendo-se as setas, a grosso modo. Mais detalhadamente, uma teoria de cohomologia generalizada é uma sequência de funtores contravariantes ${\displaystyle h^{i}}$ (para inteiros ${\displaystyle i}$) da categoria de CW-pares para a categoria de grupos abelianos, juntamente com uma transformação natural ${\displaystyle d\colon h^{i}(A)\to h^{i+1}(X,A)}$ chamada de homomorfismo de bordo (escrevendo ${\displaystyle h^{i}(A)}$ para ${\displaystyle h^{i}(A,\emptyset )}$). Os axiomas são:

1. Homotopia: Aplicações homotópicas induzem o mesmo homomorfismo na cohomologia.
2. Exatidão: Cada par ${\displaystyle (X,A)}$ induz uma sequência exata longa na cohomologia, por meio das inclusões ${\displaystyle f\colon A\to X}$ e ${\displaystyle g\colon (X,\emptyset )\to (X,A)}$:

   ${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A)\xrightarrow {g_{*}} h^{i}(X)\xrightarrow {f_{*}} h^{i}(A)\xrightarrow {d} h^{i+1}(X,A)\to \cdots }$

3. Excisão: Se ${\displaystyle X}$ for a união dos subcomplexos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, então a inclusão ${\displaystyle f\colon (A,A\cap B)\to (X,B)}$ induz um isomorfismo:

   ${\displaystyle h^{i}(X,B)\xrightarrow {f_{*}} h^{i}(A,A\cap B)}$

   para todo ${\displaystyle i}$.

4. Aditividade: Se ${\displaystyle (X,A)}$ for a união disjunta de um conjunto de pares ${\displaystyle (X_{\alpha },A_{\alpha })}$, então as inclusões ${\displaystyle (X_{\alpha },A_{\alpha })\to (X,A)}$ induzem um isomorfismo para o produto direto:

   ${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$

   para todo ${\displaystyle i}$.

Um espectro determina tanto uma teoria de homologia generalizada quanto uma teoria de cohomologia generalizada. Um resultado fundamental de Brown, Whitehead e Adams afirma que toda teoria de homologia generalizada provém de um espectro e, da mesma forma, toda teoria de cohomologia generalizada provém de um espectro. Isso generaliza a representabilidade da cohomologia ordinária por espaços de Eilenberg–MacLane.

Um ponto sutil é que o functor da categoria de homotopia estável (a categoria de homotopia de espectros) para teorias de homologia generalizadas em CW-pares não é uma equivalência, embora forneça uma bijeção em classes de isomorfismo; existem aplicações não nulas na categoria de homotopia estável (chamadas de aplicações fantasmas) que induzem a aplicação nula entre teorias de homologia em CW-pares. Da mesma forma, o functor da categoria de homotopia estável para teorias de cohomologia generalizadas em CW-pares não é uma equivalência. É a categoria de homotopia estável, e não essas outras categorias, que possui boas propriedades, tais como ser triangulada.

Se alguém preferir que as teorias de homologia ou cohomologia sejam definidas sobre todos os espaços topológicos em vez de apenas sobre complexos CW, uma abordagem padrão é incluir o axioma de que toda equivalência homotópica fraca induz um isomorfismo na homologia ou na cohomologia. (Isso é verdadeiro para a homologia singular ou a cohomologia singular, mas não para a cohomologia de feixes, por exemplo.) Como todo espaço admite uma equivalência homotópica fraca a partir de um complexo CW, esse axioma reduz as teorias de homologia ou cohomologia sobre todos os espaços à teoria correspondente sobre complexos CW.

Alguns exemplos de teorias de cohomologia generalizadas são:

• Grupos de co-homotopia estáveis ${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X)}$. A teoria de homologia correspondente é usada com mais frequência: grupos de homotopia estáveis ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X)}$.
• Vários sabores diferentes de grupos de cobordismo, baseados no estudo de um espaço pela consideração de todas as aplicações dele para variedades: cobordismo não orientado ${\displaystyle MO^{*}(X)}$, cobordismo orientado ${\displaystyle MSO^{*}(X)}$, cobordismo complexo ${\displaystyle MU^{*}(X)}$, e assim por diante. O cobordismo complexo revelou-se especialmente poderoso na teoria da homotopia. Ele está intimamente relacionado aos grupos formais, por meio de um teorema de Daniel Quillen.
• Vários sabores diferentes de K-teoria topológica, baseados no estudo de um espaço pela consideração de todos os fibrados vetoriais sobre ele: ${\displaystyle KO^{*}(X)}$ (K-teoria periódica real), ${\displaystyle ko^{*}(X)}$ (K-teoria conectiva real), ${\displaystyle K^{*}(X)}$ (K-teoria periódica complexa), ${\displaystyle ku^{*}(X)}$ (K-teoria conectiva complexa), e assim por diante.
• Cohomologia de Brown–Peterson, K-teoria de Morava, E-teoria de Morava, e outras teorias construídas a partir do cobordismo complexo.
• Vários sabores de cohomologia elíptica.

Muitas dessas teorias carregam informações mais ricas do que a cohomologia ordinária, mas são mais difíceis de computar.

Diz-se que uma teoria de cohomologia ${\displaystyle E}$ é multiplicativa se ${\displaystyle E^{*}(X)}$ tem a estrutura de um anel graduado para cada espaço ${\displaystyle X}$. Na linguagem de espectros, existem várias noções mais precisas de um espectro de anéis, como um espectro de anéis ${\displaystyle E_{\infty }}$, onde o produto é comutativo e associativo em um sentido forte.

Outras teorias de cohomologia

As teorias de cohomologia em um sentido mais amplo (invariantes de outras estruturas algébricas ou geométricas, em vez de espaços topológicos) incluem: