Funtor Ext

Na matemática, os funtores Ext são os funtores derivados do functor Hom. Juntamente com o functor Tor, o Ext constitui um dos conceitos centrais da álgebra homológica, na qual ideias oriundas da topologia algébrica são empregadas para definir invariantes de estruturas algébricas. A cohomologia de grupos, a cohomologia de álgebras de Lie e a cohomologia de álgebras associativas (cohomologia de Hochschild) podem todas ser formuladas em termos do Ext. A denominação provém do fato de que o primeiro grupo Ext, ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$, classifica as extensões de um módulo por outro.

No caso particular dos grupos abelianos, o Ext foi introduzido por Reinhold Baer em 1934. Foi nomeado por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane em 1942, sendo aplicado à topologia algébrica no contexto do teorema dos coeficientes universais. Para módulos sobre um anel arbitrário, o Ext foi definido formalmente por Henri Cartan e Eilenberg em 1956.

Definição

Seja ${\displaystyle R}$ um anel e seja ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ a categoria de módulos sobre ${\displaystyle R}$ (podendo-se considerar tanto módulos à esquerda quanto módulos à direita). Para um ${\displaystyle R}$-módulo fixado ${\displaystyle A}$, defina ${\displaystyle T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ para cada ${\displaystyle B}$ pertencente a ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$. (Aqui, ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ é o grupo abeliano das aplicações ${\displaystyle R}$-lineares de ${\displaystyle A}$ em ${\displaystyle B}$; essa estrutura adquire natureza de ${\displaystyle R}$-módulo quando ${\displaystyle R}$ é um anel comutativo). Trata-se de um functor exato à esquerda de ${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ na categoria dos grupos abelianos ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$, admitindo, portanto, funtores derivados à direita ${\displaystyle R^{i}T}$. Os grupos Ext são os grupos abelianos definidos por:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

para cada inteiro ${\displaystyle i}$. Por definição, isso significa: tome uma resolução injetiva arbitrária

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

remova o termo inicial ${\displaystyle B}$ e construa o complexo de cocadeias:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Para cada número inteiro ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ é a cohomologia desse complexo na posição ${\displaystyle i}$. Ele é nulo para índices ${\displaystyle i}$ estritamente negativos. Por exemplo, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{0}(A,B)}$ é o núcleo da aplicação ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})}$, o qual é isomorfo a ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$.

Uma definição alternativa utiliza o functor ${\displaystyle G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$, fixado o ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle B}$. Esse é um functor contravariante, interpretável como um functor exato à esquerda da categoria oposta ${\displaystyle (R{\text{-Mod}})^{\text{op}}}$ em ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$. Os grupos Ext são definidos como os funtores derivados à direita ${\displaystyle R^{i}G}$:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

Isto é, seleciona-se uma resolução projetiva arbitrária:

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

remove-se o termo ${\displaystyle A}$ e constrói-se o complexo de cocadeias:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Então, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ é a cohomologia desse complexo na posição ${\displaystyle i}$.

Cartan e Eilenberg demonstraram que essas construções são inteiramente independentes da escolha da resolução projetiva ou injetiva adotada, e que ambas produzem grupos Ext naturalmente isomorfos. Ademais, para um anel fixado ${\displaystyle R}$, Ext atua como um functor em cada variável (contravariante em ${\displaystyle A}$ e covariante em ${\displaystyle B}$).

Para um anel comutativo ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle R}$-módulos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ possui estrutura canônica de ${\displaystyle R}$-módulo (decorrente do fato de que ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo nesse caso). Para um anel não comutativo ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ é, em geral, apenas um grupo abeliano. Se ${\displaystyle R}$ for uma álgebra sobre um anel ${\displaystyle S}$ (o que requer em particular que ${\displaystyle S}$ seja comutativo), então ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ herda estrutura de ${\displaystyle S}$-módulo.

Propriedades de Ext

A seguir constam algumas das propriedades básicas e cálculos fundamentais relativos aos grupos ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{0}(A,B)\cong \operatorname {Hom} _{R}(A,B)}$ para quaisquer ${\displaystyle R}$-módulos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle i>0}$ se o ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle A}$ for projetivo (por exemplo, livre) ou se ${\displaystyle B}$ for injetivo.
• As recíprocas também são verdadeiras:
  • Se ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle B}$, então ${\displaystyle A}$ é projetivo (e, portanto, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle i>0}$).
  • Se ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle B}$ é injetivo (e, portanto, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle i>0}$).
• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 2}$ e quaisquer grupos abelianos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.
• Generalizando o exemplo anterior, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$ para todo ${\displaystyle i\geq 2}$ se ${\displaystyle R}$ for um domínio de ideais principais.
• Se ${\displaystyle R}$ for um anel comutativo e ${\displaystyle u\in R}$ não for um divisor de zero, então

$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{caso contrário,}}\end{cases}}}$$

para qualquer ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle B}$. Aqui, ${\displaystyle B[u]}$ denota o subgrupo de ${\displaystyle u}$-torção de ${\displaystyle B}$, isto é, ${\displaystyle \{x\in B:ux=0\}}$. Tomando ${\displaystyle R}$ como sendo o anel dos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, esse resultado permite computar ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$ para qualquer grupo abeliano finitamente gerado ${\displaystyle A}$.

• Generalizando o cálculo acima, podem-se determinar os grupos ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$ quando o primeiro argumento é o quociente de um anel comutativo por uma sequência regular arbitrária, utilizando-se o complexo de Koszul. Por exemplo, se ${\displaystyle R}$ for o anel de polinômios ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$, então ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ é a álgebra exterior ${\displaystyle S}$ sobre ${\displaystyle k}$ gerada por ${\displaystyle n}$ elementos em ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{1}}$. Além disso, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{S}^{*}(k,k)}$ recupera o anel de polinômios ${\displaystyle R}$, configurando um caso de dualidade de Koszul.
• Em decorrência das propriedades gerais dos funtores derivados, há duas sequências exatas longas fundamentais para o ${\displaystyle \operatorname {Ext} }$. Primeiramente, uma sequência exata curta ${\displaystyle 0\to K\to L\to M\to 0}$ de ${\displaystyle R}$-módulos induz uma sequência exata longa da forma:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,K)\to \operatorname {Hom} _{R}(A,L)\to \operatorname {Hom} _{R}(A,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

para qualquer ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle A}$. De maneira correlata, a mesma sequência exata curta induz uma sequência exata longa contravariante:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(M,B)\to \operatorname {Hom} _{R}(L,B)\to \operatorname {Hom} _{R}(K,B)\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

para qualquer ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle B}$.

• O functor Ext converte somas diretas (mesmo infinitas) no primeiro argumento e produtos diretos no segundo argumento em produtos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Seja ${\displaystyle A}$ um módulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano comutativo ${\displaystyle R}$. Então o Ext comuta com a localização, no sentido de que para todo conjunto multiplicativamente fechado ${\displaystyle S\subset R}$, todo ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle B}$ e todo inteiro ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Ext e extensões

Construção de Ext em categorias abelianas

Nobuo Yoneda definiu os grupos abelianos ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{n}(A,B)}$ para objetos arbitrários ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ pertencentes a qualquer categoria abeliana ${\displaystyle \mathbf {C} }$; essa construção coincide com a definição formulada por meio de resoluções caso a categoria ${\displaystyle \mathbf {C} }$ possua objetos projetivos suficientes ou objetos injetivos suficientes. Inicialmente, tem-se ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{0}(A,B)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(A,B)}$. Em seguida, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{1}(A,B)}$ é o conjunto das classes de equivalência de extensões de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle B}$, estruturado como grupo abeliano via a soma de Baer. Por fim, os grupos de ordem superior ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{n}(A,B)}$ são definidos como classes de equivalência de ${\displaystyle n}$-extensões, que consistem em sequências exatas:

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

sob a relação de equivalência gerada pela identificação entre duas extensões

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi \colon 0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi '\colon 0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

sempre que existirem morfismos ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$ para todo ${\displaystyle m\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ tais que todos os quadrados do diagrama resultante comutem: $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Big \Vert }&&{\Big \downarrow }\iota _{n}&&&&{\Big \downarrow }\iota _{1}&&{\Big \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ isto é, sempre que existir um morfismo de cadeias ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$ atuando como a identidade sobre ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$.

A soma de Baer de duas ${\displaystyle n}$-extensões é obtida definindo ${\displaystyle X''_{1}}$ como o pullback de ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X'_{1}}$ sobre ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle X''_{n}}$ como o pushout de ${\displaystyle X_{n}}$ e ${\displaystyle X'_{n}}$ sob ${\displaystyle B}$. A soma de Baer resultante assume a forma:

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

A categoria derivada e o produto de Yoneda

Os grupos Ext em uma categoria abeliana ${\displaystyle \mathbf {C} }$ admitem interpretação geométrica e categórica direta como conjuntos de morfismos na categoria derivada associada ${\displaystyle D(\mathbf {C} )}$. Os objetos da categoria derivada são complexos de cadeias de objetos de ${\displaystyle \mathbf {C} }$. Especificamente, verifica-se a identificação:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D(\mathbf {C} )}(A,B[i]),}$

onde cada objeto de ${\displaystyle \mathbf {C} }$ é visto como um complexo concentrado no grau zero, e ${\displaystyle [i]}$ representa o functor de translação que desloca o complexo em ${\displaystyle i}$ posições para a esquerda. Sob essa interpretação, surge naturalmente uma aplicação bilinear associativa denominada produto de Yoneda:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

a qual corresponde à composição usual de morfismos na categoria derivada.

O produto de Yoneda também admite descrição direta em termos algébricos elementares. Para os graus ${\displaystyle i=j=0}$, o produto coincide com a composição de morfismos na categoria ${\displaystyle \mathbf {C} }$. Para ordens arbitrárias, o produto pode ser formulado pela concatenação (emenda ou splicing) de duas extensões de Yoneda sobre o termo comum ${\displaystyle B}$.

Alternativamente, o produto de Yoneda pode ser estabelecido por meio de resoluções projetivas. Sejam ${\displaystyle P,Q,T}$ resoluções projetivas dos módulos ${\displaystyle A,B,C}$ sobre um anel ${\displaystyle R}$. Identifica-se ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)}$ com o grupo de classes de homotopia de cadeias de morfismos de cadeias ${\displaystyle P\to Q[i]}$. O produto de Yoneda é expresso pela composição sucessiva dessas aplicações:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Sob qualquer uma dessas abordagens, o produto de Yoneda é associativo. Em decorrência dessa estrutura, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ constitui um anel graduado para qualquer ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle A}$. Essa construção estabelece, por exemplo, a estrutura em anel da cohomologia de grupos ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} )}$, visto que esta pode ser interpretada como ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$. Ademais, pela associatividade do produto, ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$ comporta-se naturalmente como um módulo graduado sobre o anel ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$.

Casos especiais importantes

• A cohomologia de grupos é definida por:

${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M),}$

onde ${\displaystyle G}$ é um grupo, ${\displaystyle M}$ é uma representação de ${\displaystyle G}$ sobre os inteiros (${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-módulo) e ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ denota o anel de grupo associado.

• Para uma álgebra ${\displaystyle A}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$ e um ${\displaystyle A}$-bimódulo ${\displaystyle M}$, a cohomologia de Hochschild é expressa por:

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• A cohomologia de álgebras de Lie é dada por ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$, onde ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ é uma álgebra de Lie sobre um anel comutativo ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo e ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ representa a álgebra envelopante universal.

• Para um espaço topológico ${\displaystyle X}$, a cohomologia de feixes pode ser formulada como ${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A)}$, tomando-se o Ext na categoria abeliana dos feixes de grupos abelianos sobre ${\displaystyle X}$, sendo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ o feixe constante com valores inteiros. De forma análoga, para um espaço anelado ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, pode-se tomar o Ext na categoria dos feixes de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos.

• Para um feixe de módulos ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sobre um espaço anelado ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, os funtores derivados à direita do feixe Hom interno ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},-)}$ definem os feixes Ext locais, denotados por ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{*}({\mathcal {F}},-)}$. Esses feixes relacionam-se com os grupos Ext globais por meio da sequência espectral local-global para o Ext.

• Para um anel local noetheriano comutativo ${\displaystyle R}$ com corpo residual ${\displaystyle k}$, o anel graduado ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ é a álgebra envelopante universal de uma álgebra de Lie graduada ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$ sobre ${\displaystyle k}$, denominada álgebra de Lie de homotopia de ${\displaystyle R}$. (Rigorosamente, quando ${\displaystyle k}$ possui característica 2, ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$ deve ser compreendida sob a estrutura de álgebra de Lie ajustada). Há um homomorfismo canônico de álgebras de Lie graduadas da cohomologia de André–Quillen ${\displaystyle D^{*}(k/R,k)}$ em ${\displaystyle \pi ^{*}(R)}$, o qual constitui um isomorfismo caso ${\displaystyle k}$ possua característica zero.

Ver também

• Dimensão global
• Resolução em barra
• Grupo de Grothendieck
• Dualidade local de Grothendieck

Referências

Bibliografia

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