Geoide

 Nota: Não confundir com Geode (rocha com uma cavidade revestida de cristais).

 Nota: Não confundir com Geocódigo (sistema de codificação geográfica, também chamado GEOID).

Geodésia
Fundamentos Geodésia Geodinâmica Geomática História
Conceitos Distância geográfica Geoide Figura da Terra, raio e circunferência Coordenadas geodésicas Datum geodésico Geodésica Representação da posição horizontal Latitude e Longitude Projeção cartográfica Elipsoide de referência Geodésia por satélite Sistema de referência espacial Relações espaciais Posições verticais
Tecnologias Sistemas globais de navegação por satélite, GNSS Sistema de posicionamento global, GPS GLONASS, Rússia BeiDou, BDS, China Galileo, Europa NAVIC, Índia Sistema de Satélites Quase Zenitais, QZSS, Japão Grade global discreta e geocodificação
Padrões ao longo do tempo Sigla Denominação NGVD 29 Datum do nível do mar de 1929 OSGB36 Ordnance Survey Great Britain 1936 SK-42 Sistema de coordenadas de 1942 ED50 Datum Europeu de 1950 SAD69 Datum Sul-Americano de 1969 GRS 80 Sistema Geodésico de Referência de 1980 ISO 6709 Coordenadas de pontos geográficos, 1983 NAD 83 Datum Norte-Americano de 1983 WGS 84 Sistema Geodésico Mundial de 1984 NAVD 88 Datum Vertical Norte-Americano de 1988 ETRS89 Sistema de Referência Terrestre Europeu de 1989 GCJ-02 Datum chinês ofuscado de 2002 Geo URI Endereço de um ponto na internet, 2010 Sistema Internacional de Referência Terrestre Identificador de sistema de referência espacial, SRID Universal Transversa de Mercator, UTM

Parte de uma série sobre
Geofísica
Computacional Prospecção História Esboço
Eletricidade Ionosfera Vento polar Trovoadas Raio
Dinâmica dos fluidos Física atmosférica Magnetoidrodinâmica Oceanografia Turbulência
Geodinâmica Clima Manto Exoplanetologia Geoquímica Glaciologia Planetologia Tectônica de placas Tectonismo Vulcanismo
Gravidade Geodésia Geoide Geodésia física
Magnetismo Campo magnético terrestre Inversão geomagnética Magnetosfera Paleomagnetismo Vento solar
Ondas Sismologia Espectroscopia Vibração
Geofísicos Aki Alfvén Anderson Benioff Bowie Dziewonski Eötvös Forbes Gilbert Gutenberg Heiskanen Hotine von Humboldt Jeffreys Kanamori Love Matthews McKenzie Mercalli Molodenskii Munk Press Richter Turcotte Van Allen Vaníček Vening Meinesz Wegener Wilson

O geoide é a forma que a superfície dos oceanos assumiria sob a ação da gravidade da Terra, incluindo a atração gravitacional e a rotação da Terra, na ausência de outros fatores, como ventos e marés. Essa superfície se estende pelos continentes, como se estes fossem atravessados por canais hipotéticos muito estreitos. Carl Friedrich Gauss, o primeiro a formular o conceito, chamou-o de "figura matemática da Terra". É uma superfície suave, mas irregular, cuja forma resulta da distribuição desigual da massa no interior da Terra e em sua superfície. Sua determinação exige extensas medições e cálculos gravitacionais. Embora o conceito seja usado na geodésia e na geofísica há quase 200 anos, só foi possível defini-lo com alguma precisão com o surgimento da geodésia por satélite, em meados do século XX. A matemática Gladys West foi a primeira pessoa a elaborar um modelo do geoide de alta fidelidade a partir desses dados de satélite. O geoide é um dos componentes essenciais dos sistemas de posicionamento global por satélite.

O geoide costuma ser expresso pela ondulação geoidal, ou altura geoidal, em relação a um elipsoide de referência, uma esfera ligeiramente achatada cuja protuberância equatorial resulta da rotação do planeta. Em geral, a altura geoidal aumenta onde o material da Terra é mais denso e exerce maior força gravitacional que nas áreas vizinhas. O geoide é usado como superfície coordenada de referência para diferentes coordenadas verticais, como as altitudes ortométricas, altitudes geopotenciais e altitudes dinâmicas. Ver geodésia.

Todos os pontos da superfície do geoide têm o mesmo geopotencial, a soma da energia potencial gravitacional com a energia potencial centrífuga. Nessa superfície, excetuadas as variações temporárias das marés, a força da gravidade atua perpendicularmente ao geoide em todos os pontos. Por isso, os fios de prumo ficam perpendiculares ao geoide, e os níveis de bolha ficam paralelos a ele. Por ser uma superfície equipotencial, o geoide corresponde à superfície livre da água em repouso, caso apenas a gravidade terrestre e a aceleração de rotação atuassem. Essa condição também é suficiente para que uma bola permaneça em repouso sobre o geoide, sem rolar. A aceleração da gravidade terrestre, que é a derivada vertical do geopotencial, não é uniforme ao longo do geoide.

Descrição

A superfície do geoide é irregular, ao contrário do elipsoide de referência, uma idealização matemática da Terra na forma de um elipsoide. Ainda assim, é muito mais suave que a superfície física terrestre. Enquanto o relevo da Terra alcança cerca de +8.800 m no Monte Evereste e −11.000 m na Fossa das Marianas, o desvio do geoide em relação a um elipsoide varia de +85 m na Islândia a −106 m ao sul da Índia, uma diferença total inferior a 200 m.

Se o oceano tivesse densidade constante e não sofresse perturbações causadas por marés, correntes ou condições meteorológicas, sua superfície se aproximaria do geoide. O desvio permanente entre o geoide e o nível médio do mar recebe o nome de topografia da superfície dos oceanos. Se túneis ou canais atravessassem as massas continentais, o nível do mar nesses canais também coincidiria quase inteiramente com o geoide. Os geodesistas podem determinar as altitudes de pontos nos continentes em relação ao geoide por meio do nivelamento geométrico.

Por definição, o geoide é uma superfície equipotencial à qual a força da gravidade é perpendicular em todos os pontos, excetuadas as variações temporárias das marés. Por isso, quem viaja de navio não percebe a ondulação do geoide. Desconsiderando as marés, a vertical local, dada pelo fio de prumo, é sempre perpendicular ao geoide, e o horizonte local é tangente a ele. Os níveis de bolha também ficam sempre paralelos ao geoide.

Exemplo simplificado

O campo gravitacional da Terra não é uniforme. Em geral, usa-se um esferoide oblato como modelo idealizado do planeta. Mesmo que a Terra fosse esférica e não girasse, a intensidade da gravidade não seria igual em todos os lugares, pois a densidade varia pelo planeta. Essas diferenças decorrem da distribuição do magma, da densidade e do peso dos materiais de diferentes composições geológicas na crosta terrestre, das cadeias de montanhas, das fossas oceânicas profundas e da compactação da crosta pelo peso das geleiras, entre outros fatores.

Se essa esfera fosse coberta de água, a água não atingiria a mesma altura em todos os lugares. Seu nível ficaria mais alto ou mais baixo em relação ao centro da Terra, dependendo da integral da intensidade da gravidade desde o centro até cada ponto. O nível do geoide coincide com a posição que a água ocuparia. Em geral, o geoide se eleva onde o material terrestre é mais denso, exerce maior força gravitacional e atrai mais água das áreas vizinhas.

Formulação

A ondulação geoidal, também chamada altura geoidal ou anomalia geoidal, N, é a altura do geoide em relação a um determinado elipsoide de referência: $${\displaystyle N=h-H.}$$ A ondulação não é padronizada, pois os países adotam diferentes níveis médios do mar como referência. O termo, porém, costuma se referir ao geoide EGM96.

Nos mapas e no uso comum, a altitude em relação ao nível médio do mar, como a altitude ortométrica, H, é usada para expressar a altura das elevações do terreno. Já a altitude elipsoidal, h, é obtida pelo GPS e por outros sistemas globais de navegação por satélite, ou GNSS: $${\displaystyle H=h-N.}$$ Existe uma relação análoga entre as altitudes normais e o quase-geoide, que desconsidera as variações locais de densidade. Na prática, muitos receptores GPS portáteis interpolam o valor de N em um mapa do geoide previamente calculado, armazenado como uma tabela de consulta.

Um receptor GPS a bordo de um navio pode apontar variações de altitude ao longo de uma viagem longa, mesmo que o navio permaneça ao nível do mar, desconsiderados os efeitos das marés. Isso ocorre porque os satélites GPS orbitam o centro de gravidade da Terra e só podem medir altitudes em relação a um elipsoide de referência geocêntrico. Para obter a altitude ortométrica, é preciso corrigir a leitura bruta do GPS. Já a altitude determinada por nivelamento geométrico a partir de um marégrafo, como nos levantamentos topográficos tradicionais, se aproxima mais da altitude ortométrica. Os receptores GPS modernos têm uma grade em seu programa que permite obter, a partir da posição do aparelho, a altura do geoide, por exemplo o EGM96, acima do elipsoide do Sistema Geodésico Mundial, ou WGS. Com isso, podem converter a altitude acima do elipsoide WGS em altitude acima do geoide EGM96. Quando a altitude indicada a bordo de um navio difere de zero, a diferença se deve a outros fatores, como as marés oceânicas, a pressão atmosférica e outros efeitos meteorológicos, a topografia local da superfície do mar e as incertezas das medições.

No Brasil, o modelo de ondulação geoidal MAPGEO2015 foi desenvolvido pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o IBGE, em parceria com a Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, para converter altitudes elipsoidais obtidas por GNSS em altitudes ortométricas. O MAPGEO2015 também foi a base do hgeoHNOR2020, lançado pelo IBGE em 5 de agosto de 2021 para a conversão de altitudes geométricas em altitudes normais do Sistema Geodésico Brasileiro.

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  Ondulação geoidal em falsa cor, com relevo sombreado e exagero vertical de 10.000 vezes
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  Ondulação geoidal em falsa cor, sem exagero vertical
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  Perfil meridional da ondulação geoidal, em vermelho, em relação ao elipsoide de referência, em preto, com grande exagero vertical. Ver também forma de pera da Terra
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  Perfil equatorial da ondulação geoidal, em vermelho, em relação ao elipsoide de referência, em preto, com grande exagero vertical. Ver também Terra triaxial

Determinação

A ondulação geoidal N se relaciona com o potencial perturbador T pela fórmula de Bruns, que recebeu o nome de Heinrich Bruns:

${\displaystyle N=T/\gamma ,}$

em que ${\displaystyle \gamma }$ é a intensidade da gravidade normal, calculada a partir do potencial do campo normal ${\displaystyle U}$.

Outra forma de determinar N usa os valores da anomalia gravimétrica ${\displaystyle \Delta g}$, a diferença entre a gravidade real e a gravidade normal de referência, na fórmula de Stokes, ou integral de Stokes, publicada em 1849 por George Gabriel Stokes:

${\displaystyle N={\frac {R}{4\pi \gamma _{0}}}\iint _{\sigma }\Delta g\,S(\psi )\,d\sigma .}$

O núcleo integral S, chamado função de Stokes, foi deduzido por Stokes em forma analítica fechada. Para determinar ${\displaystyle N}$ em qualquer ponto da Terra com essa fórmula, é necessário conhecer ${\displaystyle \Delta g}$ em toda a Terra, incluindo oceanos, regiões polares e desertos. Isso é quase impossível com medições gravimétricas terrestres, apesar da cooperação internacional na Associação Internacional de Geodesia, ou IAG, por exemplo, por meio do Escritório Gravimétrico Internacional, BGI, do francês Bureau Gravimétrique International.

Outra forma de determinar o geoide é combinar informações de origens diferentes. A gravimetria terrestre pode ser reunida aos dados de geodésia por satélite sobre a figura da Terra, obtidos pela análise de perturbações orbitais e, mais recentemente, por missões de medição da gravidade, como a GOCE e a GRACE. Nessas soluções combinadas, os dados de satélite fornecem a parte de baixa resolução do modelo do geoide. Uma versão ajustada da equação de Stokes apresentada acima permite calcular a parte de alta resolução com dados gravimétricos terrestres obtidos apenas nas proximidades do ponto avaliado.

O cálculo da ondulação exige métodos matemáticos elaborados. A solução precisa do geoide desenvolvida por Petr Vaníček e seus colaboradores aperfeiçoou o método de Stokes para o cálculo do geoide. Essa solução permite alcançar uma exatidão de milímetros a centímetros no cálculo do geoide, uma melhora de uma ordem de magnitude em relação às soluções clássicas anteriores.

As ondulações geoidais apresentam incertezas que podem ser estimadas por métodos como a colocação por mínimos quadrados, a lógica difusa, as redes neurais artificiais, as funções de base radial e as técnicas de geoestatística. Chicaiza e seus colaboradores obtiveram melhores resultados na previsão da ondulação geoidal com a abordagem geoestatística do que com os modelos EGM96 e EGM2008 na área estudada, em Guayaquil, no Equador.

Relação com a densidade de massa

As variações na altura da superfície geoidal se relacionam com distribuições anômalas de densidade no interior da Terra. Por isso, as medições do geoide ajudam a compreender a estrutura interna do planeta. Nos cálculos com modelos sintéticos, uma crosta espessada, como ocorre nos cinturões orogênicos formados por colisão continental, produz uma anomalia geoidal positiva. Quando o espessamento afeta toda a litosfera, espera-se o sinal oposto. A convecção do manto também altera a forma do geoide com o passar do tempo.

A superfície do geoide fica acima do elipsoide de referência onde há uma anomalia gravimétrica positiva ou um potencial perturbador negativo, decorrentes de excesso de massa. Fica abaixo dele onde há uma anomalia gravimétrica negativa ou um potencial perturbador positivo, decorrentes de déficit de massa.

Essa relação pode ser entendida pela definição do potencial gravitacional, que assume valores negativos e é inversamente proporcional à distância ao corpo. Um excesso de massa aumenta a aceleração da gravidade, mas diminui o potencial gravitacional. Com isso, a superfície equipotencial que define o geoide se desloca para longe do excesso de massa. De modo semelhante, um déficit de massa enfraquece a atração gravitacional, mas aumenta o geopotencial a uma dada distância, fazendo o geoide se deslocar em direção ao déficit de massa.

A presença de um corpo de densidade diferente em um meio desvia ligeiramente os vetores da aceleração da gravidade. Eles se voltam em direção ao corpo quando ele é mais denso e se afastam quando é menos denso, produzindo uma elevação ou uma depressão na superfície equipotencial.

O maior desvio em valor absoluto ocorre na depressão geoidal do Oceano Índico, a 106 m abaixo do elipsoide de referência. Outra grande elevação é o alto geoidal do Atlântico Norte, também chamado soerguimento geoidal do Atlântico Norte, causado em parte pelo peso da cobertura de gelo sobre a América do Norte e o norte da Europa durante a glaciação do Cenozoico Superior.

Variações temporais

Missões de satélite como a Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer, GOCE, e a GRACE permitiram estudar as variações do geoide ao longo do tempo. Os primeiros produtos baseados nos dados do satélite GOCE foram disponibilizados na internet em junho de 2010 pela Agência Espacial Europeia, ou ESA. A ESA lançou o satélite em março de 2009 para mapear a gravidade da Terra com exatidão e resolução espacial até então inéditas. Em 31 de março de 2011, um novo modelo do geoide foi apresentado no quarto encontro internacional de usuários da GOCE, realizado na Universidade Técnica de Munique, na Alemanha. Estudos das variações temporais do geoide calculadas a partir de dados da GRACE forneceram informações sobre os ciclos hidrológicos globais, os balanços de massa dos mantos de gelo e o ajuste pós-glacial. Com as medições do ajuste pós-glacial, os dados temporais da GRACE permitem deduzir a viscosidade do manto terrestre.

Representação por harmônicos esféricos

Mais informações: Modelo geopotencial em harmônicos esféricos.

Os harmônicos esféricos são usados com frequência para aproximar a forma do geoide. Os modelos gravitacionais globais EGM reúnem conjuntos desses coeficientes, obtidos em projetos de cooperação internacional conduzidos pela National Imagery and Mapping Agency, que passou a se chamar Agência Nacional de Inteligência Geoespacial, ou NGA. O EGM2008 é o modelo mais recente disponibilizado pela agência. A expressão matemática da parte da função potencial que não considera a rotação é: $${\displaystyle V={\frac {GM}{r}}\left(1+{\sum _{n=2}^{n_{\text{máx}}}}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n}{\sum _{m=0}^{n}}{\overline {P}}_{nm}(\sin \phi )\left[{\overline {C}}_{nm}\cos m\lambda +{\overline {S}}_{nm}\sin m\lambda \right]\right),}$$ em que ${\displaystyle \phi }$ e ${\displaystyle \lambda }$ são, respectivamente, a latitude e a longitude geocêntricas, ou esféricas. Os termos ${\displaystyle {\overline {P}}_{nm}}$ são os polinômios associados de Legendre plenamente normalizados, de grau ${\displaystyle n}$ e ordem ${\displaystyle m}$, e ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ e ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$ são os coeficientes numéricos do modelo, obtidos a partir de medições. A equação fornece o potencial gravitacional terrestre ${\displaystyle V}$ na posição ${\displaystyle \phi ,\lambda ,r}$. Ela não fornece diretamente o geoide. A coordenada ${\displaystyle r}$ é o raio geocêntrico, ou seja, a distância ao centro da Terra. O geoide é uma superfície equipotencial específica, cujo cálculo exige operações adicionais. O gradiente desse potencial também fornece um modelo da aceleração gravitacional. O EGM96, de uso difundido, contém um conjunto completo de coeficientes até o grau e a ordem 360, isto é, ${\displaystyle n_{\text{máx}}=360}$, que permite representar detalhes do geoide global com dimensões de até 55 km, ou 110 km, dependendo da definição de resolução. Para determinar a quantidade de coeficientes ${\displaystyle {\overline {C}}_{nm}}$ e ${\displaystyle {\overline {S}}_{nm}}$, observa-se na equação de ${\displaystyle V}$ que, para cada valor de ${\displaystyle n}$, há dois coeficientes para cada valor de ${\displaystyle m}$, exceto quando ${\displaystyle m=0}$. Nesse caso, há apenas um coeficiente, pois ${\displaystyle \sin(0\lambda )=0}$. Assim, há ${\displaystyle 2n+1}$ coeficientes para cada valor de ${\displaystyle n}$. Com essas relações e a fórmula ${\textstyle \sum _{I=1}^{L}I={\frac {1}{2}}L(L+1)}$, obtém-se o número total de coeficientes: $${\displaystyle \sum _{n=2}^{n_{\text{máx}}}(2n+1)=n_{\text{máx}}(n_{\text{máx}}+1)+n_{\text{máx}}-3=130\,317,}$$ para o valor ${\displaystyle n_{\text{máx}}=360}$ do EGM96.

Em muitas aplicações, não é necessário usar a série completa, e ela é truncada após alguns termos, às vezes algumas dezenas.

Também foram desenvolvidos modelos de resolução mais alta. Muitos dos autores do EGM96 publicaram o EGM2008. Esse modelo incorpora grande parte dos novos dados de gravidade obtidos por satélites, como os da missão GRACE, e alcança uma resolução de cerca de um sexto de grau, com mais de 4 milhões de coeficientes. O conjunto é completo até o grau e a ordem 2.159, com coeficientes adicionais até o grau 2.190 e a ordem 2.159. O EGM2020 foi planejado como sucessor internacional, com lançamento inicialmente previsto para 2020 e o mesmo número de harmônicos, calculados com dados melhores. O modelo ainda não havia sido lançado em 2025. Em maio de 2026, a NGA mantinha o EGM2008 como seu modelo mais recente e previa provisoriamente um novo EGM para 2028.

Ver também

• Desvio da vertical, diferença entre a direção do prumo e a normal ao elipsoide de referência
• Datum, referência usada para estabelecer coordenadas e altitudes
• Geopotencial, potencial do campo de gravidade que define o geoide
• ITRS, sistema e referencial terrestre internacional usados no posicionamento geodésico

Referências

Leitura adicional

Ligações externas

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O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Geoide

• Página da NGA sobre os modelos gravitacionais da Terra
• Página da NASA sobre o EGM96
• Página da NOAA sobre os modelos do geoide
• Centro Internacional de Modelos Globais da Terra, ICGEM
• Serviço Internacional do Geoide, ISG

• Portal das ciências da Terra
• Portal da física