Hexagrama

Classificação e nomenclatura

Na teoria dos polígonos e poliedros, o hexagrama pode ser analisado sob duas óticas formais: 1. Composto poligonal regular (2{3}): Como a união desconexa de dois triângulos equiláteros rotacionados em $60^\circ$ entre si em torno do baricentro comum; 2. Polígono estrelado degenerado ({6/2}): Como uma estelação de um hexágono regular conexo, onde se conectam vértices com passo 2; a fração $\frac{6}{2}$ simplifica-se para $3$, evidenciando que os traçados formam dois ciclos fechados ternários independentes, e não um circuito poligonal único contínuo (característica presente, em contrapartida, no pentagrama regular {5/2}).

O hexagrama possui o grupo de simetria diedral $D_6$ (ou $[6]$ na notação de Coxeter), de ordem 12, compreendendo seis rotações angulares (em múltiplos de $60^\circ$) e seis eixos de simetria por reflexão especular (três passando pelas pontas opostas e três cruzando os lados do hexágono interno). É uma figura cíclica (todos os seus seis vértices exteriores tocam uma circunferência circunscrita comum) e isotoxal (todas as suas arestas externas guardam comprimentos congruentes).

Relações métricas fundamentais

Seja $R$ o raio da circunferência circunscrita que conecta os seis vértices externos da estrela:

• O lado $L$ de cada um dos dois triângulos equiláteros constituintes mede:

 $$L = R\sqrt{3}$$

• O raio $r$ da circunferência inscrita no hexágono central (que tangencia o ponto de cruzamento interno das arestas) é metade do raio circunscrito:

 $$r = \frac{R}{2}$$

• O comprimento do lado do hexágono regular interno central é:

 $$l = \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$$

• A área total $A$ englobada pelo contorno perimetral do hexagrama é igual a $\frac{4}{3}$ da área de um dos seus triângulos equiláteros fundamentais, correspondendo a doze pequenos triângulos equiláteros idênticos (seis pontas externas e seis triângulos compondo o miolo hexagonal):

 $$A = \sqrt{3}\,R^2$$

O hexagrama unicursal

Diferentemente do hexagrama regular clássico, que requer dois traçados triangulares independentes, o hexagrama unicursal é uma variante geométrica contínua que pode ser traçada com uma única linha ininterrupta sem levantar o instrumento de desenho do papel.

Suas proporções e ângulos internos diferem do hexagrama regular: os vértices laterais são achatados e os eixos verticais alongados para viabilizar o entrelaçamento contínuo dos segmentos. O símbolo foi adotado no início do século XX pelo ocultista britânico Aleister Crowley como o principal emblema da ordem esotérica de Thelema, frequentemente decorado com uma flor de lótus de cinco pétalas em seu núcleo.

Régua e compasso

A construção de um hexagrama regular decorre diretamente da divisão clássica da circunferência em seis arcos congruentes por meio de régua e compasso: 1. Traça-se uma circunferência com o compasso a partir de um centro fixo $O$, mantendo a abertura do raio $R$; 2. Sem alterar a abertura do compasso, posiciona-se a ponta-seca sobre qualquer ponto da borda circular e marca-se um arco que intersecte a circunferência; 3. Repete-se sucessivamente a operação a partir de cada novo ponto demarcado até assinalar exatamente seis vértices equidistantes ($V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6$); 4. Com a régua, unem-se os vértices alternados de três em três: liga-se $V_1$ a $V_3$, $V_3$ a $V_5$, e $V_5$ a $V_1$ (formando o primeiro triângulo); em seguida, unem-se $V_2$ a $V_4$, $V_4$ a $V_6$, e $V_6$ a $V_2$ (formando o segundo triângulo sobreposto).

Projeção de politopos tridimensionais

O hexagrama manifesta-se de forma espontânea na projeção ortogonal de sólidos geométricos tridimensionais regulares:

• Projeção do cubo: Ao projetar ortogonalmente um cubo euclidiano sobre um plano perpendicular a uma de suas diagonais espaciais principais (o eixo vetorial $[1, 1, 1]$), os pontos médios de suas doze arestas projetam-se perfeitamente nos doze vértices e cruzamentos de um hexagrama regular.
• Stella octangula de Kepler: O hexagrama bidimensional é a silhueta ou sombra ortogonal da stella octangula (octângula estrelada), o poliedro composto regular descoberto por Johannes Kepler em 1609, constituído pela interpenetração de dois tetraedros regulares no espaço tridimensional.

Teoria de grupos e grupos de Lie

Na matemática pura e na física teórica, o hexagrama desempenha um papel geométrico fundamental na classificação das álgebras e grupos de Lie:

• O sistema de raízes do grupo de Lie excepcional $G_2$ (de dimensão 14) é bidimensional e decompõe-se exatamente em doze vetores radiais dispostos segundo a geometria de um hexagrama: seis raízes longas nas pontas externas e seis raízes curtas nos cruzamentos internos de menor magnitude.

O Teorema de Pascal

Na geometria projetiva, o célebre Teorema de Pascal, enunciado por Blaise Pascal aos 16 anos de idade em 1639 como o "hexagrama místico" (hexagrammum mysticum), estabelece que, se seis pontos arbitrários forem escolhidos sobre uma seção cônica qualquer (elipse, parábola, hipérbole ou circunferência) e conectados sequencialmente para formar um hexágono ou hexagrama, os três pontos de intersecção das linhas que contêm os pares de lados opostos serão sempre colineares, jazendo sobre a chamada "reta de Pascal".

O Shatkona nas tradições indianas

No hinduísmo, no budismo tântrico e no jainismo, a estrela de seis pontas é denominada Shatkona (षट्कोण, literalmente "seis ângulos"). Trata-se de um yantra sagrado milenar que representa a comunhão cósmica indissolúvel entre os princípios arquetípicos universais:

• O triângulo apontando para cima simboliza o princípio masculino divino, Shiva, o elemento fogo (Agni), o espírito e a ascensão contemplativa;
• O triângulo invertido apontando para baixo simboliza o princípio feminino gerador, Shakti, o elemento água, a matéria (Prakriti) e a manifestação telúrica.

A fusão de ambos espelha o ponto supremo de equilíbrio da criação, correspondendo diretamente à mandala visual tradicional do chakra cardíaco (Anahata), associado à compaixão, amor universal e união dos opostos.

O Selo de Salomão no Islã clássico

Nas tradições religiosas islâmicas, a estrela de seis pontas é reverenciada como o Selo de Salomão (em árabe: خاتم سليمان, translit. Khātim Sulaymān). Conforme a tradição teológica e folclórica do Oriente Médio, o profeta e rei Salomão (Sulayman) teria recebido de Deus um anel de sinete gravado com o Nome Sagrado que lhe conferia autoridade sobre forças invisíveis da natureza e espíritos (os djinns).

O hexagrama figurou abundantemente em toda a civilização islâmica medieval e moderna:

• Em moedas cunhadas por califas e sultões aiúbidas, seljúcidas e mamelucos;
• Em relevos decorativos de mesquitas e iluminuras do Alcorão;
• Nos estandartes dos beilhiques turcos da Anatólia (como nos estados de Karaman e Candar) e na bandeira marítima do almirante otomano Barbarossa;
• Nas antigas bandeiras e moedas do Império de Marrocos até a adoção oficial do pentagrama verde no século XX.

A Estrela de Davi no Judaísmo

Embora o hexagrama decorasse sinagogas antigas da Judeia e da Galileia no período romano-bizantino (como nos frisos de Cafarnaum) lado a lado com suásticas e pentagramas, o símbolo funcionava primordialmente como padrão ornamental ou talismã protetor contra o mal (com uso compartilhado com o meio cristão e islâmico), sem conotação exclusiva com a fé israelita.

A transformação da estrela de seis pontas no emblema supremo do judaísmo iniciou-se na Europa Central nos séculos XIV e XVII:

• Em 1354, o imperador Carlos IV do Sacro Império Romano-Germânico outorgou à comunidade judaica de Praga o privilégio de ostentar bandeira própria, na qual figurava o hexagrama rotulado como Magen David ("Escudo de Davi");
• Com a disseminação da imprensa tipográfica hebraica em Praga e Viena nos séculos XVI e XVII, a estrela passou a ser utilizada como marca d'água e vinheta gráfica editorial nos livros sagrados judaicos;
• No século XIX, as comunidades da Europa Ocidental e Oriental adotaram o hexagrama conscientemente como contraponto visual à cruz cristã e ao crescente islâmico.

Em 1897, o Primeiro Congresso Sionista promovido por Theodor Herzl em Basileia consagrou o hexagrama azul como o estandarte do movimento político sionista, que viria a culminar, em 1948, em sua oficialização na bandeira do Estado de Israel.

O Cristianismo medieval

No Ocidente cristão medieval e renascentista, o hexagrama foi extensamente utilizado na arquitetura gótica de catedrais e basílicas, esculpido em rosáceas de pedra, vitrais e portais (como na Basílica de Santa Cruz em Florença, na Catedral de Burgos e na Catedral de Valência). Sob a hermenêutica cristã, a figura evocava a criação do universo nos seis dias do Gênesis, a linhagem de Jesus a partir da Raiz de Jessé ou a conciliação das duas naturezas de Cristo (a divina e a humana integradas em um só corpo).

Alquimia, hermetismo e ocultismo

Na tradição da alquimia europeia e da filosofia hermética, o hexagrama representava o microcosmo e o macrocosmo em perfeita sintonia mútua, sintetizando o axioma basilar da Tábua de Esmeralda: "O que está embaixo é como o que está em cima, e o que está em cima é como o que está embaixo".

A figura encerrava o mapa visual dos quatro elementos fundamentais da matéria:

• O triângulo simples apontando para cima representava o Fogo;
• O mesmo triângulo truncado por uma barra horizontal simbolizava o Ar;
• O triângulo invertido apontando para baixo representava a Água;
• O triângulo invertido cortado por uma barra horizontal simbolizava a Terra.

A reunião dos quatro gerava o hexagrama pleno, emblema do equilíbrio dos opostos, do casamento alquímico (o Rebis) e da pedra filosofal.

O Brauerstern nas guildas de cervejeiros

A partir dos séculos XIV e XV, as corporações de ofício de cervejeiros da Europa Central (em regiões que compreendem as atuais Alemanha, Áustria e Chéquia) adotaram a estrela de seis pontas como o seu selo profissional oficial de qualidade, conhecido em alemão como Brauerstern ou Bierstempel.

O símbolo era afixado em estalagens e tabernas para anunciar que uma nova leva de cerveja fresca estava pronta para consumo. As seis pontas simbolizavam os seis componentes e forças indispensáveis para a fabricação da cerveja tradicional: os três ingredientes materiais (água pura, grãos de malte e lúpulo) e os três elementos físicos de transformação energética (o fogo de cocção, o ar de aeração e a terra que dá a levedura biológica).