Matriz positiva definida

Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).

A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)

Definição

Uma matriz real ${\displaystyle M}$ de ordem ${\displaystyle n\times n}$ é definida positiva se ${\displaystyle z^{T}Mz>0}$ para todos os vetores não-nulos ${\displaystyle z}$ com entradas reais (isto é, ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n})}$, em que ${\displaystyle z^{T}}$ denota o transposto de ${\displaystyle z}$.

Uma matriz complexa ${\displaystyle M}$ de ordem ${\displaystyle n\times n}$ é definida positiva se ${\displaystyle \Re (z^{*}Mz)>0}$ para todos os vetores complexos não-nulos ${\displaystyle z}$, em que ${\displaystyle z^{*}}$ denota o transposto conjugado de ${\displaystyle z}$ e ${\displaystyle \Re (c)}$ é a parte real de um número complexo ${\displaystyle c}$.

Uma matriz complexa Hermitiana ${\displaystyle M}$ de ordem ${\displaystyle n\times n}$ é definida positiva se ${\displaystyle z^{*}Mz>0}$ para todos os vetores complexos não-nulos ${\displaystyle z}$. A quantidade ${\displaystyle z^{*}Mz}$ é sempre um número real porque ${\displaystyle M}$ é uma matriz hermitiana.

Caracterizações

Seja ${\displaystyle M}$ uma matriz hermitiana ${\displaystyle n\times n}$. As seguintes propriedades são equivalentes a ${\displaystyle M}$ ser positiva definida:

1.	Todos os autovalores ${\displaystyle \lambda _{i}}$ de ${\displaystyle M}$ são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana ${\displaystyle M}$ possui uma decomposição espectral ${\displaystyle M=P^{-1}DP}$ em que ${\displaystyle P}$ é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de ${\displaystyle M}$, formando uma base, e ${\displaystyle D}$ é uma matriz diagonal. Portanto ${\displaystyle M}$ pode ser considerada como uma matriz diagonal real ${\displaystyle D}$ que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que ${\displaystyle M}$ é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de ${\displaystyle D}$ (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de ${\displaystyle M}$, a ação de ${\displaystyle M}$ é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de ${\displaystyle C^{n}}$ com entradas positivas.
2.	A forma sesquilinear $${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$$ define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0}$ para todo x diferente de zero.
3.	M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes $${\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}}$$ para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade: $${\displaystyle M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.}$$ Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral.
4.	Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester): o canto superior esquerdo 1-por-1 de ${\displaystyle M}$ o canto superior esquerdo 2-por-2 de ${\displaystyle M}$ o canto superior esquerdo 3-por-3 de ${\displaystyle M}$ ... a própria ${\displaystyle M}$ Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$$
5.	Existe uma única matriz triangular inferior ${\displaystyle L,}$ com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de ${\displaystyle M}$ como $${\displaystyle M=LL^{*}.}$$ em que ${\displaystyle L^{*}}$ é a conjugada transposta de ${\displaystyle L.}$ Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky.
6.	A função quadrática associada a ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }M\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$ é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização.

Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ e "transposição conjugada" por "transposição".

Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas

Comparação

Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}.}$ Então:

A matriz A é...		Se e somente se...	Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores ${\displaystyle \lambda _{i}}$ de ${\displaystyle A}$	Determinante das submatrizes principais	Se esta condição valer, então a matriz inversa ${\displaystyle A^{-1}.}$
Semidefinida	Não negativa (matriz positiva semi-definida)	${\displaystyle x^{T}Ax\geq 0,\forall x\neq 0}$	Forem não-negativos	São todos não negativos	e
	Não-positiva (matriz semi-definida negativa)	${\displaystyle x^{T}Ax\leq 0,\forall x\neq 0}$	são não positivas	Alternam os sinais, sendo não positivos nas impares e não negativos nas pares	e
Definida (e portanto também semidefinida)	Positiva	${\displaystyle x^{T}Ax>0,\forall x\neq 0}$	Forem todos positivos	São todos positivos	existe e é positiva definida
	Negativa	${\displaystyle x^{T}Ax<0,\forall x\neq 0}$	Forem todos negativos	Alternam os sinais, sendo negativos nas impares e positivos nas pares	e
Indefinida		${\displaystyle x^{T}Ax>0}$ para alguns x e ${\displaystyle x^{T}Ax<0}$ para outros x	Exemplo	e	e

Note que a quantidade ${\displaystyle x^{T}Mx}$ é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M .

Exemplos de matrizes positivas definidas

• A matriz identidade ${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$é definida positiva, pois ${\displaystyle a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=a_{11}^{2}+a_{21}^{2},}$ que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
• A matriz real e simétrica ${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$é positiva definida, pois

${\displaystyle a^{T}Za={\begin{bmatrix}{\color {Blue}a_{11}}&{\color {YellowOrange}a_{21}}&{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}2}&-1&0\\{\color {Magenta}-1}&2&-1\\{\color {Cyan}0}&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}&-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}&0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=}$

${\displaystyle a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=\left[2a_{11}^{2}-1a_{21}a_{11}\right]+\left[-1a_{11}a_{21}+2a_{21}^{2}-1a_{31}a_{21}\right]+\left[-1a_{21}a_{31}+2a_{31}^{2}\right]}$

Reorganizando os elementos da soma acima, temos: ${\displaystyle a_{11}^{2}+\left\{a_{11}^{2}-2a_{21}a_{11}+a_{21}^{2}\right\}+\left\{a_{21}^{2}-2a_{21}a_{31}+a_{31}^{2}\right\}+a_{31}^{2}=}$

${\displaystyle a_{11}^{2}+\left\{a_{11}-a_{21}\right\}^{2}+\left\{a_{21}-a_{31}\right\}^{2}+a_{31}^{2}}$, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Exemplos de matrizes negativas definidas

• A matriz identidade negativa ${\displaystyle -I={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$é definida negativa, pois ${\displaystyle a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=-a_{11}^{2}-a_{21}^{2},}$ que é sempre um número negativo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado multiplicada por (-1)).

Ver também

• Raiz quadrada de uma matriz
• Complemento de Schur
• Kernel definido positivo
• Função definida positiva
• Matriz definida

Referências

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.