Matriz definida

Definições para matrizes reais

Uma matriz real simétrica ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita positiva definida se ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ não nulo em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ positiva definida}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

Uma matriz real simétrica ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita positiva semidefinida ou definida não negativa se ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ positiva semidefinida}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

Uma matriz real simétrica ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita negativa definida se ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ não nulo em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ negativa definida}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$$

Uma matriz real simétrica ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita negativa semidefinida ou definida não positiva se ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Formalmente, $${\displaystyle M{\text{ negativa semidefinida}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ para todo }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$$

Uma matriz real simétrica ${\displaystyle n\times n}$ que não é nem positiva semidefinida nem negativa semidefinida é chamada de indefinida.

Definições para matrizes complexas

Todas as definições a seguir envolvem o termo ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$ Observe que ele é sempre um número real para qualquer matriz quadrada hermitiana ${\displaystyle M.}$

Uma matriz complexa hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita positiva definida se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {z} }$ não nulo em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Formalmente, ${\displaystyle M{\text{ positiva definida}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ para todo }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

Uma matriz complexa hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita positiva semidefinida ou definida não negativa se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {z} }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Formalmente, ${\displaystyle M{\text{ positiva semidefinida}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ para todo }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

Uma matriz complexa hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita negativa definida se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {z} }$ não nulo em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Formalmente, ${\displaystyle M{\text{ negativa definida}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ para todo }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

Uma matriz complexa hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é dita negativa semidefinida ou definida não positiva se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$ para todo ${\displaystyle \mathbf {z} }$ em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Formalmente, ${\displaystyle M{\text{ negativa semidefinida}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ para todo }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

Uma matriz complexa hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ que não é nem positiva semidefinida nem negativa semidefinida é chamada de indefinida.

Consistência entre as definições real e complexa

Como toda matriz real é também uma matriz complexa, as definições de "definitude" para as duas classes devem coincidir. Para matrizes complexas, a definição mais comum diz que ${\displaystyle M}$ é positiva definida se e somente se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ for real e positivo para todos os vetores coluna complexos não nulos ${\displaystyle \mathbf {z} .}$ Essa condição implica que ${\displaystyle M}$ é hermitiana (isto é, sua transposta é igual à sua conjugada), pois, sendo ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ real, ele é igual ao seu conjugado transposto ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$ para todo ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ o que implica ${\displaystyle M=M^{*}.}$

Por essa definição, uma matriz real positiva definida ${\displaystyle M}$ é hermitiana, logo simétrica; e ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$ é positivo para todos os vetores coluna reais não nulos ${\displaystyle \mathbf {z} .}$ No entanto, essa última condição, por si só, não é suficiente para que ${\displaystyle M}$ seja positiva definida. Por exemplo, se $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$ então, para qualquer vetor real ${\displaystyle \mathbf {z} }$ com entradas ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tem-se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$ que é sempre positivo se ${\displaystyle \mathbf {z} }$ não for nulo. Contudo, se ${\displaystyle \mathbf {z} }$ for o vetor complexo com entradas 1 e ⁠${\displaystyle i}$⁠, obtém-se $${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$ que não é real. Portanto, ${\displaystyle M}$ não é positiva definida.

Por outro lado, para uma matriz real simétrica ${\displaystyle M,}$ a condição "${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$ para todos os vetores reais não nulos ${\displaystyle \mathbf {z} }$" de fato implica que ${\displaystyle M}$ é positiva definida no sentido complexo.

Notação

Se uma matriz hermitiana ${\displaystyle M}$ é positiva semidefinida, às vezes escreve-se ${\displaystyle M\succeq 0}$ e, se ${\displaystyle M}$ é positiva definida, escreve-se ${\displaystyle M\succ 0.}$ Para indicar que ${\displaystyle M}$ é negativa semidefinida, escreve-se ${\displaystyle M\preceq 0}$ e, para indicar que ${\displaystyle M}$ é negativa definida, escreve-se ${\displaystyle M\prec 0.}$

Na análise funcional, as matrizes positivas semidefinidas definem operadores positivos. Se duas matrizes ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ satisfazem ${\displaystyle B-A\succeq 0,}$ pode-se definir uma ordem parcial não estrita ${\displaystyle B\succeq A}$ que é reflexiva, antissimétrica e transitiva; no entanto, ela não é uma ordem total, pois ${\displaystyle B-A,}$ em geral, pode ser indefinida. Observe também que ${\displaystyle \succeq }$ e ${\displaystyle \succ }$ não satisfazem a correspondência usual entre relações de ordem parcial não estrita e estrita, porque ${\displaystyle B\succeq A\land B\neq A}$ não implica ${\displaystyle B\succ A}$.

Unicidade a menos de transformações unitárias

A decomposição não é única: se ${\displaystyle M=B^{*}B}$ para alguma matriz ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle B}$ e se ${\displaystyle Q}$ é qualquer matriz unitária ${\displaystyle k\times k}$ (ou seja, ${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$), então ${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$ para ${\displaystyle A=QB.}$

No entanto, essa é a única maneira pela qual duas decomposições podem diferir: a decomposição é única a menos de transformações unitárias. Mais formalmente, se ${\displaystyle A}$ é uma matriz ${\displaystyle k\times n}$ e ${\displaystyle B}$ é uma matriz ${\displaystyle \ell \times n}$ tais que ${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$ então existe uma matriz ${\displaystyle \ell \times k}$ ${\displaystyle Q}$ com colunas ortonormais (ou seja, ${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$) tal que ${\displaystyle B=QA.}$ Quando ${\displaystyle \ell =k}$ isso significa que ${\displaystyle Q}$ é unitária.

Essa afirmação tem uma interpretação geométrica intuitiva no caso real: sejam as colunas de ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ os vetores ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ Uma matriz unitária real é uma matriz ortogonal, que descreve uma transformação rígida [en] (uma isometria do espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$) que preserva o ponto 0 (isto é, rotações e reflexões, sem translações). Portanto, os produtos escalares ${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$ e ${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$ são iguais se e somente se alguma transformação rígida de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ transforma os vetores ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ em ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ (e 0 em 0).

Raiz quadrada

Uma matriz hermitiana ${\displaystyle M}$ é positiva semidefinida se e somente se existe uma matriz positiva semidefinida ${\displaystyle B}$ (em particular, ${\displaystyle B}$ é hermitiana, logo ${\displaystyle B^{*}=B}$) que satisfaz ${\displaystyle M=BB.}$ Essa matriz ${\displaystyle B}$ é única, é chamada de raiz quadrada [en] não negativa de ${\displaystyle M,}$ e é denotada por ${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$ Quando ${\displaystyle M}$ é positiva definida, ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$ também o é, de modo que ela é também chamada de raiz quadrada positiva de ${\displaystyle M.}$

Decomposição de Cholesky

Uma matriz hermitiana positiva definida ${\displaystyle M}$ pode ser escrita como ${\displaystyle M=LL^{*},}$ em que ${\displaystyle L}$ é triangular inferior com diagonal positiva (equivalentemente, ${\displaystyle M=B^{*}B}$ em que ${\displaystyle B=L^{*}}$ é triangular superior); essa é a decomposição de Cholesky, que é única. Reciprocamente, se ${\displaystyle L}$ é triangular inferior com diagonal não negativa, então ${\displaystyle LL^{*}}$ é positiva semidefinida. A decomposição de Cholesky é especialmente útil para cálculos numéricos eficientes.

Ordem parcial induzida

Para matrizes simétricas reais ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle N}$ escreve-se ${\displaystyle M\geq N}$ se ${\displaystyle M-N\geq 0}$ isto é, se ${\displaystyle M-N}$ é positiva semidefinida. Isso define uma ordem parcial no conjunto de todas as matrizes simétricas reais. De modo semelhante, pode-se definir uma ordem parcial estrita ${\displaystyle M>N.}$

Inversa de uma matriz positiva definida

Toda matriz positiva definida é invertível, e sua inversa também é positiva definida. Se ${\displaystyle M\geq N>0}$ então ${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$ Além disso, pelo teorema min-max [en], o k-ésimo maior autovalor de ${\displaystyle M}$ é maior ou igual ao k-ésimo maior autovalor de ${\displaystyle N.}$

Multiplicação por escalar

Se ${\displaystyle M}$ é positiva definida e ${\displaystyle r>0}$ é um número real, então ${\displaystyle rM}$ é positiva definida.

Adição

• Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são positivas definidas, então a soma ${\displaystyle M+N}$ também é positiva definida.
• Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são positivas semidefinidas, então a soma ${\displaystyle M+N}$ também é positiva semidefinida.
• Se ${\displaystyle M}$ é positiva definida e ${\displaystyle N}$ é positiva semidefinida, então a soma ${\displaystyle M+N}$ também é positiva definida.

Multiplicação

• Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são positivas definidas, então os produtos ${\displaystyle MNM}$ e ${\displaystyle NMN}$ também são matrizes positivas definidas. Se ${\displaystyle MN=NM,}$ então ${\displaystyle MN}$ também é positiva definida.
• Se ${\displaystyle M}$ é positiva semidefinida, então ${\displaystyle A^{*}MA}$ é positiva semidefinida para qualquer matriz (possivelmente retangular) ${\displaystyle A.}$ Se ${\displaystyle M}$ é positiva definida e ${\displaystyle A}$ tem posto completo por colunas, então ${\displaystyle A^{*}MA}$ é positiva definida.

Traço

As entradas diagonais ${\displaystyle m_{ii}}$ de uma matriz positiva semidefinida são reais e não negativas. Como consequência, o traço satisfaz ${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$ Além disso, como toda submatriz principal (em particular, 2 por 2) é positiva semidefinida, $${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$ e, portanto, quando ${\displaystyle n\geq 1,}$ $${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

Uma matriz hermitiana ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ é positiva definida se satisfaz as seguintes desigualdades de traço: $${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad {\text{e}}\quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

Outro resultado importante é que, para quaisquer matrizes positivas semidefinidas ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ tem-se ${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$ Isso decorre de se escrever ${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$ A matriz ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$ é positiva semidefinida e, portanto, tem autovalores não negativos, cuja soma, o traço, é portanto também não negativa.

Produto de Hadamard

Se ${\displaystyle M,N\geq 0,}$ embora ${\displaystyle MN}$ não seja necessariamente positiva semidefinida, o produto de Hadamard o é, ${\displaystyle M\circ N\geq 0}$ (esse resultado é frequentemente chamado de teorema do produto de Schur [en]).

Quanto ao produto de Hadamard de duas matrizes positivas semidefinidas ${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$ ${\displaystyle N\geq 0,}$ há duas desigualdades notáveis:

• Desigualdade de Oppenheim: ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$

Produto de Frobenius

Se ${\displaystyle M,N\geq 0,}$ embora ${\displaystyle MN}$ não seja necessariamente positiva semidefinida, o produto interno de Frobenius [en] satisfaz ${\displaystyle M:N\geq 0}$ (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices, p. 218).

Convexidade

O conjunto das matrizes simétricas positivas semidefinidas é convexo. Isto é, se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são positivas semidefinidas, então, para qualquer ${\displaystyle \alpha }$ entre 0 e 1, ${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$ também é positiva semidefinida. Para qualquer vetor ${\displaystyle \mathbf {x} }$: $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

Essa propriedade garante que problemas de programação semidefinida [en] convergem para uma solução globalmente ótima.

Outras propriedades

1. Sejam ${\displaystyle M>0}$ e ${\displaystyle N}$ hermitiana. Se ${\displaystyle MN+NM\geq 0}$ (resp. ${\displaystyle MN+NM>0}$), então ${\displaystyle N\geq 0}$ (resp. ${\displaystyle N>0}$).
2. Se ${\displaystyle M>0}$ é real, então existe ${\displaystyle \delta >0}$ tal que ${\displaystyle M>\delta I,}$ em que ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade.
3. Se ${\displaystyle M}$ é uma matriz real positiva definida, então existe um número real positivo ${\displaystyle m}$ tal que, para todo vetor ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$

Matrizes em blocos e submatrizes

Uma matriz positiva ${\displaystyle 2n\times 2n}$ também pode ser definida por blocos: $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$ em que cada bloco é ${\displaystyle n\times n,}$ Aplicando a condição de positividade, segue-se imediatamente que ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle D}$ são hermitianas e que ${\displaystyle C=B^{*}.}$

Tem-se ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$ para todo vetor complexo ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ e, em particular, para ${\displaystyle \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\mathsf {T}}.}$ Então $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0.}$$ Um argumento semelhante pode ser aplicado a ${\displaystyle D,}$ e assim conclui-se que tanto ${\displaystyle A}$ quanto ${\displaystyle D}$ devem ser positivas definidas. O argumento pode ser estendido para mostrar que qualquer submatriz principal de ${\displaystyle M}$ é ela própria positiva definida.

Resultados recíprocos podem ser demonstrados com condições mais fortes sobre os blocos, por exemplo, usando o complemento de Schur.

Extremos locais

Uma forma quadrática geral ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ em ${\displaystyle n}$ variáveis reais ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ pode sempre ser escrita como ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$ em que ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é o vetor coluna com essas variáveis e ${\displaystyle M}$ é uma matriz real simétrica. Portanto, o fato de a matriz ser positiva definida significa que ${\displaystyle f}$ tem um único mínimo (zero) quando ${\displaystyle \mathbf {x} }$ é zero e é estritamente positiva para qualquer outro ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

Matriz de condutividade térmica

A lei de Fourier da condução de calor, que fornece o fluxo de calor ${\displaystyle \mathbf {q} }$ em termos do gradiente de temperatura ${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla T}$, é escrita para meios anisotrópicos como ${\displaystyle \mathbf {q} =-K\mathbf {g} ,}$ em que ${\displaystyle K}$ é a matriz de condutividade térmica. O sinal negativo é inserido na lei de Fourier para refletir a expectativa de que o calor sempre flua do quente para o frio. Em outras palavras, como o gradiente de temperatura ${\displaystyle \mathbf {g} }$ sempre aponta do frio para o quente, espera-se que o fluxo de calor ${\displaystyle \mathbf {q} }$ tenha produto interno não positivo com ${\displaystyle \mathbf {g} }$ de modo que ${\displaystyle \mathbf {q} ^{\mathsf {T}}\mathbf {g} \leq 0.}$ Substituindo a lei de Fourier, essa expectativa se escreve como ${\displaystyle \mathbf {g} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {g} \geq 0,}$ o que implica que a matriz de condutividade deve ser positiva semidefinida, condição exigida pela segunda lei da termodinâmica.