Produto de Kronecker

Exemplos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cc|cc}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\\hline 3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc|cc}0&5&0&10\\6&7&12&14\\\hline 0&15&0&20\\18&21&24&28\end{array}}\right].}$

Da mesma forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cccc|cccc|cccc}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\\hline -16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{array}}\right]}$

Relações com outras operações de matrizes

1. Bilinearidade e associatividade:

O produto de Kronecker é um caso especial do produto tensorial, por isso é bilinear e associativo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}$

onde A, B e C são matrizes, 0 é uma matriz nula, e k é um escalar.

2. Não comutativo:

Em geral, A ⊗ B e B ⊗ A são matrizes diferentes. No entanto, A ⊗ B e B ⊗ A são equivalentes por permutação, o que significa que existem matrizes de permutação P e Q tais que

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\,\mathbf {Q} .}$

Se A e B forem quadradas, então A ⊗ B e B ⊗ A são até semelhantes por permutação, o que significa que podemos tomar P = Q^T.

As matrizes P e Q são matrizes de embaralhamento perfeito (perfect shuffle matrices), chamadas de matriz "comutadora". A matriz de comutação S_p, q pode ser construída tomando fatias da matriz identidade I_r, onde ${\displaystyle r=pq}$.

${\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}$

A notação de dois pontos do MATLAB é usada aqui para indicar submatrizes, e I_r é a matriz identidade r × r. Se ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$, então

${\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}$

3. A propriedade do produto misto:

Se A, B, C e D são matrizes de tal tamanho que se pode formar os produtos de matrizes AC e BD, então

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}$

Isto é chamado de propriedade do produto misto, porque mistura o produto matricial ordinário com o produto de Kronecker.

Como uma consequência imediata (novamente, tomando ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}$),

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I} _{m_{1}}\otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{n_{2}})=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m_{2}})(\mathbf {I} _{n_{1}}\otimes \mathbf {B} ).}$

Em particular, usando a propriedade de transposição mostrada abaixo, isto significa que se

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }$

e Q e U forem ortogonais (ou unitárias), então A também é ortogonal (resp., unitária).

O produto misto matriz-vetor de Kronecker pode ser escrito como:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})}$

onde ${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {V} )}$ é o operador de vetorização aplicado a ${\displaystyle \mathbf {V} }$ (formado pela reformatação da matriz).

4. Propriedade do comutador:

Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {C} }$ são matrizes quadradas de dimensão ${\displaystyle m}$, e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ e ${\displaystyle \mathbf {D} }$ são matrizes quadradas de dimensão ${\displaystyle n}$, então o comutador é

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {B} \mathbf {D} )+(\mathbf {C} \mathbf {A} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$,

ou

${\displaystyle [\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ,\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} ]=[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ]\otimes (\mathbf {D} \mathbf {B} )+(\mathbf {A} \mathbf {C} )\otimes [\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]}$.

5. Produto de Hadamard (multiplicação elemento a elemento):

A propriedade do produto misto também funciona para o produto elemento a elemento. Se A e C são matrizes do mesmo tamanho, B e D são matrizes do mesmo tamanho, então

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}$

6. A inversa de um produto de Kronecker:

Segue-se que A ⊗ B é invertível se e somente se tanto A quanto B forem invertíveis, neste caso a inversa é dada por

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}$

A propriedade do produto invertível também vale para a pseudoinversa de Moore-Penrose, ou seja

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}$

Na linguagem da teoria das categorias, a propriedade do produto misto do produto de Kronecker (e do produto tensorial mais geral) mostra que a categoria Mat_F de matrizes sobre um corpo F, é de fato uma categoria monoidal, cujos objetos são números naturais n, morfismos n → m são matrizes n × m com entradas em F, a composição é dada pela multiplicação de matrizes, setas identidade são simplesmente as matrizes identidades n × n I_n, e o produto tensorial é dado pelo produto de Kronecker.

Mat_F é uma categoria esqueleto concreta para a categoria equivalente FinVect_F de espaços vetoriais de dimensão finita sobre F, cujos objetos são tais espaços vetoriais de dimensão finita V, as setas são mapas F-lineares L : V → W, e as setas identidade são os mapas identidade dos espaços. A equivalência de categorias equivale a escolher simultaneamente uma base em cada espaço vetorial de dimensão finita V sobre F; os elementos das matrizes representam estes mapeamentos com respeito às bases escolhidas; e da mesma forma o produto de Kronecker é a representação do produto tensorial nas bases escolhidas.

7. Transposta:

A transposição e a transposição conjugada são distributivas sobre o produto de Kronecker:

${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$ e ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}$

8. Determinante:

Seja A uma matriz n × n e seja B uma matriz m × m. Então

${\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=|\mathbf {A} |^{m}|\mathbf {B} |^{n}.}$

O expoente em |A| é a ordem de B e o expoente em |B| é a ordem de A.

9. Soma de Kronecker e exponenciação:

Se A for n × n, B for m × m, e I_k denotar a matriz identidade k × k então podemos definir o que às vezes é chamado de soma de Kronecker, ${\displaystyle {\overline {\oplus }}}$, por

${\displaystyle \mathbf {A} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}$

Isto é diferente da soma direta de duas matrizes. Esta operação está relacionada com o produto tensorial em álgebras de Lie, como detalhado abaixo (#Propriedades abstratas) no ponto "Relação com o produto tensorial abstrato".

Temos a seguinte fórmula para a exponencial de matriz, que é útil nalgumas avaliações numéricas.

${\displaystyle \exp({\mathbf {N} \,{\overline {\oplus }}\,\mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}$

As somas de Kronecker aparecem naturalmente em física quando se considera conjuntos de sistemas não interagentes.

Se H^r for o Hamiltoniano do r-ésimo sistema de tal tipo. Então o Hamiltoniano total do conjunto é

${\displaystyle H_{\operatorname {Tot} }={\overline {\bigoplus _{r}}}H^{r}.}$

10. Vetorização de um produto de Kronecker:

Seja ${\displaystyle A}$ uma matriz ${\displaystyle m\times n}$ e ${\displaystyle B}$ uma matriz ${\displaystyle p\times q}$. Quando a ordem do produto de Kronecker e da vetorização é invertida, as duas operações podem ser ligadas linearmente através de uma função que envolve a matriz de comutação, ${\displaystyle K_{qm}}$. Isto é, ${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {Kron} (A,B))}$ e ${\displaystyle \operatorname {Kron} (\operatorname {vec} A,\operatorname {vec} B)}$ têm a seguinte relação:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{p})(\operatorname {vec} A\otimes \operatorname {vec} B).}$

Além disso, a relação acima pode ser rearranjada em termos de ${\displaystyle \operatorname {vec} A}$ ou ${\displaystyle \operatorname {vec} B}$ da seguinte forma:

${\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\operatorname {vec} A=(H\otimes I_{p})\operatorname {vec} B,}$

onde

${\displaystyle G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \operatorname {vec} B){\text{ e }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\operatorname {vec} A\otimes I_{q}).}$

11. Produto externo:

Se ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ são vetores arbitrários, então o produto externo entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ é definido como ${\displaystyle xy^{T}}$. O produto de Kronecker está relacionado ao produto externo por: ${\displaystyle y\otimes x=\operatorname {vec} (xy^{T})}$.

Propriedades abstratas

1. Espectro:

Suponha que A e B são matrizes quadradas de tamanho n e m respectivamente. Sejam λ₁, ..., λ_n os autovalores de A e μ₁, ..., μ_m os de B (listados de acordo com a multiplicidade). Então os autovalores de A ⊗ B são

${\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}$

Segue-se que o traço e o determinante de um produto de Kronecker são dados por

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{e}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}$

2. Valores singulares:

Se A e B são matrizes retangulares, então pode-se considerar sua decomposição em valores singulares. Suponha que A tenha r_A valores singulares não nulos, a saber

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}$

De forma análoga, denote os valores singulares não nulos de B por

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

Então o produto de Kronecker A ⊗ B tem r_Ar_B valores singulares não nulos, a saber

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}$

Dado que o posto de uma matriz é igual ao número de valores singulares não nulos, verificamos que

${\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}$

3. Relação com o produto tensorial abstrato:

O produto de Kronecker de matrizes corresponde ao produto tensorial abstrato de mapas lineares. Especificamente, se os espaços vetoriais V, W, X e Y têm as bases {v₁, ..., v_m}, {w₁, ..., w_n}, {x₁, ..., x_d}, e {y₁, ..., y_e}, respectivamente, e se as matrizes A e B representam as transformações lineares S : V → X e T : W → Y, respectivamente, nas bases apropriadas, então a matriz A ⊗ B representa o produto tensorial dos dois mapas, S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y em relação à base {v₁ ⊗ w₁, v₁ ⊗ w₂, ..., v₂ ⊗ w₁, ..., v_m ⊗ w_n} de V ⊗ W e à base definida de forma análoga de X ⊗ Y com a propriedade de que A ⊗ B(v_i ⊗ w_j) = (Av_i) ⊗ (Bw_j), onde i e j são números inteiros no intervalo adequado.

Quando V e W são álgebras de Lie, e S : V → V e T : W → W são homomorfismos de álgebra de Lie, a soma de Kronecker de A e B representa os homomorfismos induzidos da álgebra de Lie V ⊗ W → V ⊗ W.

4. Relação a produtos de grafos:

O produto de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo produto tensorial. A soma de Kronecker das matrizes de adjacência de dois grafos é a matriz de adjacência do grafo produto cartesiano.

Aplicações

Para um exemplo da aplicação desta fórmula, veja o artigo sobre a equação de Lyapunov. Esta fórmula também é útil para mostrar que a distribuição normal de matriz é um caso especial da distribuição normal multivariada. Esta fórmula também é útil para representar as operações de processamento de imagem 2D na forma matriz-vetor.

Outro exemplo é quando uma matriz pode ser fatorada como um produto de Kronecker, então a multiplicação de matrizes pode ser efetuada mais rapidamente usando a fórmula acima. Isto pode ser aplicado de forma recursiva, tal como na FFT de base 2 e na Transformação rápida de Walsh-Hadamard. Separar uma matriz conhecida no produto de Kronecker de duas matrizes mais pequenas é conhecido como o problema do "produto de Kronecker mais próximo", e pode ser resolvido exatamente através do uso da SVD. Separar uma matriz no produto de Kronecker de mais do que duas matrizes, de uma forma ideal, é um problema difícil e que é tema de investigação contínua; alguns autores abordam o assunto como um problema de decomposição tensorial.

Em combinação com o método dos mínimos quadrados, o produto de Kronecker pode ser usado como uma solução precisa para o problema de calibração mão-olho.

Produto de Tracy–Singh

O produto de Tracy–Singh é definido como

${\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}}$

o que significa que o (ij)-ésimo sub-bloco do produto mp × nq A ${\displaystyle \circ }$ B é a matriz m_i p × n_j q A_ij ${\displaystyle \circ }$ B, da qual o (kℓ)-ésimo sub-bloco é igual à matriz m_i p_k × n_j q_ℓ A_ij ⊗ B_kℓ. Essencialmente, o produto de Tracy-Singh é o produto de Kronecker par a par para cada par de partições nas duas matrizes.

Por exemplo, se A e B forem matrizes particionadas 2 × 2 ex.:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

obtemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}}$

Produto de Khatri–Rao

• Produto de bloco de Kronecker
• Produto de Khatri-Rao por colunas

Produto de divisão de face (Face-splitting product)

Propriedades de produtos mistos

${\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} ,}$

onde ${\displaystyle \bullet }$ denota o produto de divisão de face.

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} ),}$

De forma semelhante:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} ),}$

${\displaystyle \mathbf {c} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\textsf {T}}=\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {d} ^{\textsf {T}},}$

onde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ e ${\displaystyle \mathbf {d} }$ são vetores,

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {d} ),}$

onde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ e ${\displaystyle \mathbf {d} }$ são vetores, e ${\displaystyle \circ }$ denota o produto de Hadamard.

Da mesma forma:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y,}$

onde ${\displaystyle \star }$ é a convolução de vetor e ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ é a matriz da transformada de Fourier (este resultado é uma evolução das propriedades do count sketch),

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {T} ),}$

onde ${\displaystyle \ast }$ denota o produto de Khatri-Rao por colunas.

Similarmente:

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {d} ),}$

${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} \mathbf {d} ),}$

onde ${\displaystyle \mathbf {c} }$ e ${\displaystyle \mathbf {d} }$ são vetores.