Simetria C

Na física, a conjugação de carga é uma transformação que troca todas as partículas por suas antipartículas correspondentes, mudando assim o sinal de todas as cargas: não apenas a carga elétrica, mas também as cargas relevantes para outras forças. O termo simetria C é uma abreviatura da expressão "simetria de conjugação de carga" e é usado em discussões sobre a simetria das leis físicas sob conjugação de carga. Outras simetrias discretas importantes são a simetria P (paridade) e a simetria T (reversão temporal).

Essas simetrias discretas, C, P e T, são simetrias das equações que descrevem as forças fundamentais conhecidas da natureza: eletromagnetismo, gravidade, interações forte e fraca. Verificar se alguma equação matemática dada modela corretamente a natureza requer dar interpretação física não apenas às simetrias contínuas, como o movimento no tempo, mas também às suas simetrias discretas, e então determinar se a natureza adere a essas simetrias. Diferentemente das simetrias contínuas, a interpretação das simetrias discretas é um pouco mais exigente intelectualmente e confusa. Uma surpresa inicial apareceu na década de 1950, quando Chien Shiung Wu demonstrou que a interação fraca violava a simetria P. Por várias décadas, pareceu que a simetria combinada CP era preservada, até que interações que violam CP foram descobertas. Ambas as descobertas levaram a Prêmios Nobel.

A simetria C é particularmente problemática, fisicamente, pois o universo é primariamente preenchido por matéria, não por antimatéria, enquanto a simetria C ingênua das leis físicas sugere que deveria haver quantidades iguais de ambas. Atualmente, acredita-se que a violação de CP durante o universo primitivo pode explicar o "excesso" de matéria, embora o debate não esteja resolvido. Textos mais antigos sobre cosmologia, anteriores à década de 1970,^[quais?] rotineiramente sugeriam que talvez galáxias distantes fossem feitas inteiramente de antimatéria, mantendo assim um equilíbrio líquido de zero no universo.

Este artigo concentra-se em expor e articular a simetria C de várias equações e sistemas teóricos importantes, incluindo a equação de Dirac e a estrutura da teoria quântica de campos. As várias partículas fundamentais podem ser classificadas de acordo com o comportamento sob conjugação de carga; isso é descrito no artigo sobre paridade C.

Visão geral informal

A conjugação de carga ocorre como uma simetria em três contextos diferentes, mas intimamente relacionados: uma simetria das soluções (clássicas, não quantizadas) de várias equações diferenciais notáveis, incluindo a equação de Klein–Gordon e a equação de Dirac; uma simetria dos campos quânticos correspondentes; e, em um contexto geral, uma simetria em geometria (pseudo-)riemanniana. Em todos os três casos, a simetria é, em última análise, revelada como uma simetria sob conjugação complexa, embora exatamente o que está sendo conjugado e onde possa, às vezes, ser obscurecido, dependendo da notação, escolhas de coordenadas e outros fatores.

Em campos clássicos

A simetria de conjugação de carga é interpretada como a da carga elétrica, porque em todos os três casos (clássico, quântico e geométrico) pode-se construir correntes de Noether que se assemelham às da eletrodinâmica clássica. Isso surge porque a própria eletrodinâmica, via equações de Maxwell, pode ser interpretada como uma estrutura sobre um fibrado U(1), o chamado fibrado em círculo. Isso fornece uma interpretação geométrica do eletromagnetismo: o potencial eletromagnético $A_{\mu }$ é interpretado como a conexão de gauge (a conexão de Ehresmann) sobre o fibrado em círculo. Essa interpretação geométrica então permite que (literalmente quase) qualquer coisa que possua uma estrutura de valor complexo seja acoplada ao campo eletromagnético, desde que esse acoplamento seja feito de maneira invariante de gauge. A simetria de gauge, nesse contexto geométrico, é uma afirmação de que, à medida que se move ao redor do círculo, o objeto acoplado também deve se transformar de uma "maneira circular", acompanhando de forma correspondente. Mais formalmente, diz-se que as equações devem ser invariantes de gauge sob uma mudança de referenciais locais no círculo. Para U(1), isso é apenas a afirmação de que o sistema é invariante sob multiplicação por um fator de fase $e^{i\phi (x)}$ que depende da coordenada (espaço-tempo) $x.$ Nesse contexto geométrico, a conjugação de carga pode ser entendida como a simetria discreta $z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)$ que realiza a conjugação complexa, que inverte o sentido de direção ao redor do círculo.

Na teoria quântica

Na teoria quântica de campos, a conjugação de carga pode ser entendida como a troca de partículas por antipartículas. Para entender essa afirmação, é preciso ter uma compreensão mínima do que é a teoria quântica de campos. Em termos (vastamente) simplificados, é uma técnica para realizar cálculos a fim de obter soluções para um sistema de equações diferenciais acopladas via teoria de perturbação. Um ingrediente-chave desse processo é o campo quântico, um para cada uma das equações diferenciais (livres, não acopladas) no sistema. Um campo quântico é convencionalmente escrito como

\psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)

onde ${\vec {p}}$ é o momento, $\sigma$ é um rótulo de spin e $n$ é um rótulo auxiliar para outros estados no sistema. Os $a$ e $a^{\dagger }$ são operadores de criação e aniquilação (operadores escada) e $u,v$ são soluções para a equação diferencial (livre, não interagente, não acoplada) em questão. O campo quântico desempenha um papel central porque, em geral, não se sabe como obter soluções exatas para o sistema de equações diferenciais acopladas. No entanto, via teoria de perturbação, soluções aproximadas podem ser construídas como combinações das soluções de campo livre. Para realizar essa construção, é preciso ser capaz de extrair e trabalhar com qualquer uma das soluções de campo livre dadas, sob demanda, quando necessário. O campo quântico fornece exatamente isso: ele enumera todas as possíveis soluções de campo livre em um espaço vetorial, de modo que qualquer uma delas possa ser destacada a qualquer momento, via os operadores de criação e aniquilação.

Os operadores de criação e aniquilação obedecem às relações de comutação canônicas, no sentido de que um operador "desfaz" o que o outro "cria". Isso implica que qualquer solução $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ dada deve ser emparelhada com sua "anti-solução" $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ , de modo que uma desfaça ou cancele a outra. O emparelhamento deve ser realizado de modo que todas as simetrias sejam preservadas. Como geralmente se está interessado na invariância de Lorentz, o campo quântico contém uma integral sobre todos os possíveis referenciais de coordenadas de Lorentz, escrita acima como uma integral sobre todos os momentos possíveis (é uma integral sobre a fibra do fibrado de referenciais). O emparelhamento exige que um dado $u\left({\vec {p}}\right)$ seja associado a um $v\left({\vec {p}}\right)$ de momento e energia opostos. O campo quântico também é uma soma sobre todos os possíveis estados de spin; o emparelhamento dual novamente corresponde a spins opostos. Da mesma forma, para quaisquer outros números quânticos, estes também são emparelhados como opostos. Há uma dificuldade técnica em realizar esse emparelhamento dual: é preciso descrever o que significa que uma dada solução $u$ seja "dual a" alguma outra solução $v,$ e descrevê-la de tal forma que permaneça consistentemente dual ao integrar sobre a fibra do fibrado de referenciais, ao integrar (somar) sobre a fibra que descreve o spin e ao integrar (somar) sobre quaisquer outras fibras que ocorram na teoria.

Quando a fibra a ser integrada é a fibra U(1) do eletromagnetismo, o emparelhamento dual é tal que a direção (orientação) na fibra é invertida. Quando a fibra a ser integrada é a fibra SU(3) da carga de cor, o emparelhamento dual novamente inverte a orientação. Isso "simplesmente funciona" para SU(3) porque ele tem duas representações fundamentais duais $\mathbf {3}$ e ${\overline {\mathbf {3} }}$ que podem ser naturalmente emparelhadas. Essa prescrição para um campo quântico se generaliza naturalmente para qualquer situação em que se possa enumerar as simetrias contínuas do sistema e definir duais de forma coerente e consistente. O emparelhamento liga cargas opostas no sentido totalmente abstrato. Em física, uma carga é associada a um gerador de uma simetria contínua. Diferentes cargas são associadas a diferentes espaços próprios dos invariantes de Casimir da álgebra envelopante universal para essas simetrias. Este é o caso tanto da simetria de Lorentz da variedade de espaço-tempo subjacente, quanto das simetrias de quaisquer fibras no fibrado posto acima da variedade de espaço-tempo. A dualidade substitui o gerador da simetria pelo menos o gerador. A conjugação de carga está, portanto, associada à reflexão ao longo do fibrado de linhas ou fibrado determinante do espaço de simetrias.

O acima é, então, um esboço da ideia geral de um campo quântico na teoria quântica de campos. A interpretação física é que as soluções $u\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ correspondem a partículas, e as soluções $v\left({\vec {p}},\sigma ,n\right)$ correspondem a antipartículas, e então a conjugação de carga é um emparelhamento dos dois. Esse esboço também fornece pistas suficientes para indicar como a conjugação de carga poderia se parecer em um contexto geométrico geral. Não há exigência particular forçada de usar a teoria de perturbação, de construir campos quânticos que atuarão como intermediários em uma expansão perturbativa. A conjugação de carga pode receber um contexto geral.

Em geometria

Para variedades riemannianas e pseudo-riemannianas gerais, tem-se um fibrado tangente, um fibrado cotangente e uma métrica que liga os dois. Há várias coisas interessantes que se pode fazer quando apresentado a essa situação. Uma delas é que a estrutura suave permite que equações diferenciais sejam postas na variedade; os espaços tangente e cotangente fornecem estrutura suficiente para realizar cálculo em variedades. De interesse fundamental é o laplaciano e, com um termo constante, o que equivale ao operador de Klein–Gordon. Os fibrados cotangentes, por sua construção básica, são sempre variedades simpléticas. As variedades simpléticas têm coordenadas canônicas $x,p$ interpretadas como posição e momento, obedecendo às relações de comutação canônicas. Isso fornece a infraestrutura central para estender a dualidade, e portanto a conjugação de carga, a esse contexto geral.

Uma segunda coisa interessante que se pode fazer é construir uma estrutura de spin. Talvez a coisa mais notável sobre isso seja que é uma generalização muito reconhecível, para uma variedade pseudo-riemanniana de dimensão $(p,q)$ , do conceito físico convencional de spinores vivendo em um espaço-tempo de Minkowski de dimensão (1,3). A construção passa por uma álgebra de Clifford complexificada para construir um fibrado de Clifford e uma variedade de spin. Ao final dessa construção, obtém-se um sistema notavelmente familiar, se já se estiver familiarizado com os espinores de Dirac e a equação de Dirac. Várias analogias passam para esse caso geral. Primeiro, os spinores são os spinores de Weyl, e eles vêm em pares conjugados complexos. Eles são naturalmente anticomutantes (isso segue da álgebra de Clifford), o que é exatamente o que se deseja para fazer contato com o princípio de exclusão de Pauli. Outra é a existência de um elemento quiral, análogo à matriz gama $\gamma _{5}$ que classifica esses espinores em subespaços canhotos e destros. A complexificação é um ingrediente-chave, e ela fornece "eletromagnetismo" nesse contexto generalizado. O fibrado de espinores não se transforma "apenas" sob o grupo pseudo-ortogonal $SO(p,q)$ , a generalização do grupo de Lorentz $SO(1,3)$ , mas sob um grupo maior, o grupo de spin complexificado $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).$ É maior no sentido de que é uma cobertura dupla de $SO(p,q)\times U(1).$

A peça $U(1)$ pode ser identificada com o eletromagnetismo de várias maneiras diferentes. Uma maneira é que os operadores de Dirac na variedade de spin, quando elevados ao quadrado, contêm uma peça $F=dA$ com $A$ surgindo daquela parte da conexão associada à peça $U(1)$ . Isso é inteiramente análogo ao que acontece quando se eleva ao quadrado a equação de Dirac comum no espaço-tempo de Minkowski comum. Uma segunda dica é que essa peça $U(1)$ está associada ao fibrado determinante da estrutura de spin, efetivamente ligando os espinores canhotos e destros por meio da conjugação complexa.

O que resta é trabalhar as simetrias discretas da construção acima. Há várias que parecem generalizar a simetria P e a simetria T. Identificando as $p$ dimensões com o tempo e as $q$ dimensões com o espaço, pode-se inverter os vetores tangentes no subespaço de dimensão $p$ para obter a reversão temporal, e inverter a direção das $q$ dimensões corresponde à paridade. A simetria C pode ser identificada com a reflexão sobre o fibrado de linhas. Para amarrar tudo isso em um nó, tem-se finalmente o conceito de transposição, no sentido de que elementos da álgebra de Clifford podem ser escritos em ordem reversa (transposta). O resultado líquido é que não apenas as ideias físicas convencionais de campos passam para o contexto riemanniano geral, mas também as ideias das simetrias discretas.

Há duas maneiras de reagir a isso. Uma é tratá-lo como uma curiosidade interessante. A outra é perceber que, em baixas dimensões (em espaço-tempo de baixa dimensão), há muitos isomorfismos "acidentais" entre vários grupos de Lie e outras estruturas variadas. Ser capaz de examiná-los em um contexto geral desembaraça essas relações, expondo mais claramente "de onde as coisas vêm".

Conjugação de carga para campos de Dirac

As leis do eletromagnetismo (tanto clássico quanto quântico) são invariantes sob a troca de cargas elétricas por suas negativas. Para o caso de elétrons e quarks, ambos sendo campos fermiônicos de partículas fundamentais, as excitações de campo de uma partícula são descritas pela equação de Dirac

(i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0

Deseja-se encontrar uma solução conjugada de carga

(i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0

Algumas manipulações algébricas são suficientes para obter a segunda a partir da primeira. Exposições padrão da equação de Dirac demonstram um campo conjugado ${\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},$ interpretado como um campo de antipartícula, satisfazendo a equação de Dirac transposta complexa

{\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0

Observe que alguns, mas não todos, os sinais foram invertidos. Transpondo isso de volta, obtém-se quase a forma desejada, desde que se possa encontrar uma matriz 4×4 $C$ que transponha as matrizes gama para inserir a mudança de sinal necessária:

C^{-1}\gamma _{\mu }C=-\gamma _{\mu }^{\textsf {T}}

A solução conjugada de carga é então dada pela involução

\psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}

A matriz 4×4 $C,$ chamada de matriz de conjugação de carga, tem uma forma explícita dada no artigo sobre matrizes gama. Curiosamente, essa forma não é independente de representação, mas depende da representação matricial específica escolhida para o grupo gama (o subgrupo da álgebra de Clifford que captura as propriedades algébricas das matrizes gama). Essa matriz é dependente de representação devido a uma interação sutil envolvendo a complexificação do grupo de spin que descreve a covariância de Lorentz de partículas carregadas. O número complexo $\eta _{c}$ é um fator de fase arbitrário $|\eta _{c}|=1,$ geralmente tomado como $\eta _{c}=1.$

Conjugação de carga, quiralidade, helicidade

A interação entre quiralidade e conjugação de carga é um pouco sutil e requer articulação. Frequentemente se diz que a conjugação de carga não altera a quiralidade das partículas. Esse não é o caso para os campos, com a diferença surgindo na interpretação da "teoria de buracos" das partículas, onde uma antipartícula é interpretada como a ausência de uma partícula. Isso é articulado abaixo.

Convencionalmente, $\gamma _{5}$ é usado como o operador de quiralidade. Sob conjugação de carga, ele se transforma como

C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{\textsf {T}}

e se $\gamma _{5}^{\textsf {T}}$ é igual ou não a $\gamma _{5}$ depende da representação escolhida para as matrizes gama. Na base de Dirac e quiral, tem-se que $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=\gamma _{5}$ , enquanto $\gamma _{5}^{\textsf {T}}=-\gamma _{5}$ é obtido na base de Majorana. Segue um exemplo trabalhado.

Espinores de Weyl

Para o caso de campos espinoriais de Dirac sem massa, a quiralidade é igual à helicidade para as soluções de energia positiva (e menos a helicidade para as soluções de energia negativa).^{(§ 2-4-3, página 87 ff)} Obtém-se isso escrevendo a equação de Dirac sem massa como

i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0

Multiplicando por $\gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$ , obtém-se

{\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi

onde $\sigma ^{\mu \nu }=i\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]/2$ é o operador momento angular e $\epsilon _{ijk}$ é o tensor totalmente antissimétrico. Isso pode ser trazido para uma forma um pouco mais reconhecível definindo o operador de spin 3D $\Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},$ tomando um estado de onda plana $\psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)$ , aplicando a restrição on-shell de que $k\cdot k=0$ e normalizando o momento para ser um vetor unitário 3D: ${\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}$ para escrever

\left(\Sigma \cdot {\hat {k}}\right)\psi =\gamma _{5}\psi ~.

Examinando o acima, conclui-se que autovetores de momento angular (autovetores de helicidade) correspondem a autovetores do operador quiral. Isso permite que o campo de Dirac sem massa seja dividido de forma limpa em um par de espinores de Weyl $\psi _{\text{L}}$ e $\psi _{\text{R}},$ cada um individualmente satisfazendo a equação de Weyl, mas com energia oposta:

\left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{R}}=0

e

\left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{\text{L}}=0

Observe a liberdade que se tem de igualar helicidade negativa com energia negativa e, portanto, a antipartícula com a partícula de helicidade oposta. Para ser claro, os $\sigma$ aqui são as matrizes de Pauli, e $p_{\mu }=i\partial _{\mu }$ é o operador momento.

Conjugação de carga na base quiral

Tomando a representação de Weyl das matrizes gama, pode-se escrever um espinor de Dirac (agora tomado como massivo) como

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}

O campo dual (antipartícula) correspondente é

{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{\textsf {T}}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{*}\\\psi _{\text{R}}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

Os espinores conjugados de carga são

\psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{c}\\\psi _{\text{R}}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

onde, como antes, $\eta _{c}$ é um fator de fase que pode ser tomado como $\eta _{c}=1.$ Observe que os estados canhoto e destro são trocados. Isso pode ser restaurado com uma transformação de paridade. Sob paridade, o espinor de Dirac se transforma como

\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{p}\left(t,{\vec {x}}\right)=\gamma ^{0}\psi \left(t,-{\vec {x}}\right)

Sob carga e paridade combinadas, tem-se então

\psi \left(t,{\vec {x}}\right)\mapsto \psi ^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\\\psi _{\text{R}}^{cp}\left(t,{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\left(t,-{\vec {x}}\right)\end{pmatrix}}

Convencionalmente, toma-se $\eta _{c}=1$ globalmente. Veja, no entanto, a nota abaixo.

Condição de Majorana

A condição de Majorana impõe uma restrição entre o campo e seu conjugado de carga, a saber, que eles devem ser iguais: $\psi =\psi ^{c}.$ Isso é talvez melhor declarado como o requisito de que o espinor de Majorana deve ser um autovetor da involução de conjugação de carga.

Fazer isso requer algum cuidado notacional. Em muitos textos que discutem a conjugação de carga, a involução $\psi \mapsto \psi ^{c}$ não recebe um nome simbólico explícito, quando aplicada a soluções de uma única partícula da equação de Dirac. Isso contrasta com o caso em que o campo quantizado é discutido, onde um operador unitário ${\mathcal {C}}$ é definido (como feito em uma seção posterior, abaixo). Para a presente seção, deixe a involução ser nomeada como ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}$ de modo que ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.$ Tomando-a como um operador linear, pode-se considerar seus autoestados. A condição de Majorana destaca um deles: ${\mathsf {C}}\psi =\psi .$ Há, no entanto, dois desses autoestados: ${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.$ Continuando na base de Weyl, como acima, esses autoestados são

\psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{\text{L}}\\i\sigma ^{2}\psi _{\text{L}}^{*}\end{pmatrix}}

e

\psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{\text{R}}^{*}\\\psi _{\text{R}}\end{pmatrix}}

O espinor de Majorana é convencionalmente tomado como apenas o autoestado positivo, a saber, $\psi ^{(+)}.$ O operador quiral $\gamma _{5}$ troca esses dois, no sentido de que

\gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}

Isso é facilmente verificado por substituição direta. Tenha em mente que ${\mathsf {C}}$ não tem uma representação matricial 4×4! Mais precisamente, não há matriz complexa 4×4 que possa levar um número complexo ao seu conjugado complexo; essa inversão exigiria uma matriz real 8×8. A interpretação física da conjugação complexa como conjugação de carga torna-se clara ao considerar a conjugação complexa de campos escalares, descrita em uma seção subsequente abaixo.

Os projetores sobre os autoestados quirais podem ser escritos como $P_{\text{L}}=\left(1-\gamma _{5}\right)/2$ e $P_{\text{R}}=\left(1+\gamma _{5}\right)/2,$ e então o acima se traduz em

P_{\text{L}}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{\text{R}}~.

Isso demonstra diretamente que a conjugação de carga, aplicada a soluções de valor complexo de uma única partícula da equação de Dirac, inverte a quiralidade da solução. Os projetores sobre os espaços próprios de conjugação de carga são $P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{\text{L}}$ e $P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{\text{R}}.$

Interpretação geométrica

O fator de fase $\ \eta _{c}\$ pode receber uma interpretação geométrica. Foi observado que, para espinores de Dirac massivos, o fator de fase "arbitrário" $\ \eta _{c}\$ pode depender tanto do momento quanto da helicidade (mas não da quiralidade). Isso pode ser interpretado como dizendo que essa fase pode variar ao longo da fibra do fibrado de espinores, dependendo da escolha local de um referencial. Dito de outra forma, um campo espinorial é uma secção local do fibrado de espinores, e os impulsos e rotações de Lorentz correspondem a movimentos ao longo das fibras do fibrado de referenciais correspondente (novamente, apenas uma escolha de referencial local). Examinada dessa forma, essa liberdade de fase extra pode ser interpretada como a fase decorrente do campo eletromagnético. Para os espinores de Majorana, a fase seria restringida a não variar sob impulsos e rotações.

Conjugação de carga para campos quantizados

O acima descreve a conjugação de carga apenas para as soluções de uma única partícula. Quando o campo de Dirac é segunda-quantizado, como na teoria quântica de campos, os campos espinorial e eletromagnético são descritos por operadores. A involução de conjugação de carga então se manifesta como um operador unitário ${\mathcal {C}}$ (em fonte caligráfica) agindo sobre os campos de partículas, expresso como

$\psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\ \psi \ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\ C\ {\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$
${\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}\ {\overline {\psi }}\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\ \psi ^{\textsf {T}}\ C^{-1}$
$A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}\ A_{\mu }\ {\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }\$

onde o $\ C\$ não caligráfico é a mesma matriz 4×4 dada antes.

Reversão de carga na teoria eletrofraca

A conjugação de carga não altera a quiralidade das partículas. Um neutrino canhoto seria levado pela conjugação de carga a um antineutrino canhoto, que não interage no Modelo Padrão. Essa propriedade é o que se entende por "violação máxima" da simetria C na interação fraca.

Algumas extensões postuladas do Modelo Padrão, como os modelos esquerda-direita, restauram essa simetria C.

Campos escalares

O campo de Dirac tem uma liberdade de gauge $U(1)$ "escondida", permitindo que ele se acople diretamente ao campo eletromagnético sem quaisquer modificações adicionais à equação de Dirac ou ao próprio campo. Esse não é o caso para campos escalares, que devem ser explicitamente "complexificados" para se acoplar ao eletromagnetismo. Isso é feito "tensorizando" um fator adicional do plano complexo $\mathbb {C}$ no campo, ou construindo um produto cartesiano com $U(1)$ .

Uma técnica muito convencional é simplesmente começar com dois campos escalares reais, $\phi$ e $\chi$ , e criar uma combinação linear

\psi \mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\phi +i\chi  \over {\sqrt {2}}}

A involução de conjugação de carga é então a aplicação ${\mathsf {C}}:i\mapsto -i$ , uma vez que isso é suficiente para inverter o sinal do potencial eletromagnético (já que esse número complexo está sendo usado para se acoplar a ele). Para campos escalares reais, a conjugação de carga é apenas a aplicação identidade: ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi$ e ${\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi$ e, portanto, para o campo complexificado, a conjugação de carga é apenas ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.$ A seta "mapsto" $\mapsto$ é conveniente para acompanhar "o que vai para onde"; a notação antiga equivalente é simplesmente escrever ${\mathsf {C}}\phi =\phi$ e ${\mathsf {C}}\chi =\chi$ e ${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.$

O acima descreve a construção convencional de um campo escalar carregado. Também é possível introduzir estrutura algébrica adicional nos campos de outras maneiras. Em particular, pode-se definir um campo "real" comportando-se como ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi$ . Como é real, ele não pode se acoplar ao eletromagnetismo por si só, mas, quando complexificado, resultaria em um campo carregado que se transforma como ${\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.$ Como a simetria C é uma simetria discreta, tem-se alguma liberdade para jogar esses tipos de jogos algébricos na busca de uma teoria que modele corretamente alguma realidade física dada.

Na literatura de física, uma transformação como ${\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi$ pode ser escrita sem qualquer explicação adicional. A interpretação matemática formal disso é que o campo $\phi$ é um elemento de $\mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}$ , onde $\mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.$ Assim, propriamente falando, o campo deve ser escrito como $\phi =(r,c)$ , que se comporta sob conjugação de carga como ${\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).$ É muito tentador, mas não totalmente correto formalmente, simplesmente multiplicá-los, para mover o local desse sinal de menos; isso em geral "simplesmente funciona", mas uma falha em rastreá-lo adequadamente levará à confusão.

Combinação de reversão de carga e paridade

Acreditou-se por algum tempo que a simetria C poderia ser combinada com a transformação de inversão de paridade (ver simetria P) para preservar uma simetria CP combinada. No entanto, violações dessa simetria foram identificadas nas interações fracas (particularmente em káons e mésons B). No Modelo Padrão, essa violação de CP deve-se a uma única fase na matriz CKM. Se CP é combinada com a reversão temporal (simetria T), a resultante simetria CPT pode ser mostrada, usando apenas os axiomas de Wightman, como universalmente obedecida.

Em contextos gerais

O análogo da conjugação de carga pode ser definido para matrizes gama de dimensão superior, com uma construção explícita para espinores de Weyl dada no artigo sobre matrizes de Weyl–Brauer. Observe, no entanto, que espinores como definidos abstratamente na teoria de representação das álgebras de Clifford não são campos; em vez disso, devem ser pensados como existindo em um espaço-tempo de dimensão zero.

O análogo da simetria T segue de $\gamma ^{1}\gamma ^{3}$ como o operador de conjugação T para espinores de Dirac. Os espinores também têm uma simetria P inerente, obtida invertendo a direção de todos os vetores de base da álgebra de Clifford a partir da qual os espinores são construídos. A relação com as simetrias P e T para um campo fermiônico em uma variedade de espaço-tempo é um pouco sutil, mas pode ser grosseiramente caracterizada da seguinte forma. Quando um espinor é construído via uma álgebra de Clifford, a construção requer um espaço vetorial sobre o qual construir. Por convenção, esse espaço vetorial é o espaço tangente da variedade de espaço-tempo em um dado ponto de espaço-tempo fixo (uma única fibra no fibrado tangente). As operações P e T aplicadas à variedade de espaço-tempo podem então ser entendidas como também invertendo as coordenadas do espaço tangente; assim, os dois são colados. Inverter a paridade ou a direção do tempo em um também a inverte no outro. Esta é uma convenção. Pode-se descolar falhando em propagar essa conexão.

Isso é feito tomando o espaço tangente como um espaço vetorial, estendendo-o para uma álgebra tensorial e então usando um produto interno no espaço vetorial para definir uma álgebra de Clifford. Tratando cada uma dessas álgebras como uma fibra, obtém-se um fibrado chamado fibrado de Clifford. Sob uma mudança de base do espaço tangente, elementos da álgebra de Clifford se transformam de acordo com o grupo de spin. Construir um fibrado principal com o grupo de spin como fibra resulta em uma estrutura de spin.

Tudo o que falta nos parágrafos acima são os próprios spinores. Estes requerem a "complexificação" da variedade tangente: tensorizá-la com o plano complexo. Uma vez feito isso, os espinores de Weyl podem ser construídos. Estes têm a forma

w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)

onde os $e_{j}$ são os vetores de base para o espaço vetorial $V=T_{p}M$ , o espaço tangente no ponto $p\in M$ na variedade de espaço-tempo $M.$ Os espinores de Weyl, juntamente com seus conjugados complexos, geram o espaço tangente, no sentido de que

V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}

A álgebra alternada $\wedge W$ é chamada de espaço de espinores; é onde os espinores vivem, bem como produtos de espinores (assim, objetos com valores de spin mais altos, incluindo vetores e tensores).

Ver também

Notas

↑ Essa liberdade é explicitamente removida, restringida, em espinores de Majorana.

Referências

↑ Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics. New York, NY: McGraw-Hill. capítulo 5.2, páginas 66-70
1 2 Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum Field Theory. New York, NY: McGraw-Hill. capítulo 2-4, páginas 85 ff
↑ Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (1997). An Introduction to Quantum Field Theory. [S.l.]: Addison Wesley. ISBN 0-201-50397-2
↑ (Itzykson & Zuber 1980, § 2-4-2 Charge Conjugation, página 86, equação 2-100)
↑ (Bjorken & Drell 1964, capítulo 15)
↑ (Itzykson & Zuber 1980, § 3-4)

Bibliografia

Sozzi, M.S. (2008). Discrete Symmetries and CP Violation. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8

[7] Essa liberdade é explicitamente removida, restringida, em espinores de Majorana.

[Bjorken-Drell-1964-1] Bjorken, James D.; Drell, Sidney D. (1964). Relativistic Quantum Mechanics. New York, NY: McGraw-Hill. capítulo 5.2, páginas 66-70

[Itzykson-Zuber-1980-2] 1 2 Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980). Quantum Field Theory. New York, NY: McGraw-Hill. capítulo 2-4, páginas 85 ff

[PS-3] Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (1997). An Introduction to Quantum Field Theory. [S.l.]: Addison Wesley. ISBN 0-201-50397-2

[4] (Itzykson & Zuber 1980, § 2-4-2 Charge Conjugation, página 86, equação 2-100)

[5] (Bjorken & Drell 1964, capítulo 15)

[6] (Itzykson & Zuber 1980, § 3-4)