Teorema de Descartes

Três círculos congruentes

Quando três dos quatro círculos são congruentes, os seus centros formam um triângulo equilátero, tal como os seus pontos de tangência. As duas possibilidades para um quarto círculo tangente a todos os três são concêntricas, e equação (2) reduz-se a

$${\displaystyle k_{4}=(3\pm 2{\sqrt {3}})k_{1}.}$$

Uma ou mais linhas retas

Se um dos três círculos for substituído por uma linha reta tangente aos círculos restantes, então a sua curvatura é zero e sai de equação (1). Por exemplo, se ${\displaystyle k_{3}=0}$, então equação (1) pode ser fatorizada como

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}{\bigl (}{{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{1}}}}{\bigr )}\\[3mu]&\quad {}\cdot {\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{2}}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}-{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}=0,\end{aligned}}}$$

e equação (2) simplifica para

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}$$

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtém-se outra formulação alternativa deste caso (com ${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}}$),

$${\displaystyle {\sqrt {k_{4}}}={\sqrt {k_{1}}}\pm {\sqrt {k_{2}}},}$$

que foi descrita como "uma espécie de versão demente do teorema de Pitágoras".

Se dois círculos forem substituídos por linhas, a tangência entre os dois círculos substituídos torna-se um paralelismo entre as suas duas linhas de substituição. Neste caso, com ${\displaystyle k_{2}=k_{3}=0}$, equação (2) reduz-se à trivial

$${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$$

Isto corresponde à observação de que, para que todas as quatro curvas permaneçam mutuamente tangentes, os outros dois círculos devem ser congruentes.

Curvaturas inteiras

Quando quatro círculos tangentes descritos por equação (2) têm todos curvaturas inteiras, o quarto círculo alternativo descrito pela segunda solução da equação também deve ter uma curvatura inteira. Isto porque ambas as soluções diferem de um inteiro pela raiz quadrada de um inteiro, e portanto qualquer solução só pode ser um inteiro se esta raiz quadrada, e consequentemente a outra solução, também for um inteiro. Cada quatro inteiros que satisfazem a equação do teorema de Descartes formam as curvaturas de quatro círculos tangentes entre si. Quádruplos inteiros deste tipo também estão intimamente relacionados com triângulos de Heron, triângulos com lados e área inteiros.

Começando com quaisquer quatro círculos mutuamente tangentes, e substituindo repetidamente um dos quatro pela sua solução alternativa (salto de Vieta), de todas as formas possíveis, obtém-se um sistema de infinitos círculos tangentes chamado tapete de Apolónio. Quando os quatro círculos iniciais têm curvaturas inteiras, o mesmo acontece com cada substituição e, portanto, todos os círculos no tapete têm curvaturas inteiras. Quaisquer quatro círculos tangentes com curvaturas inteiras pertencem exatamente a um tal tapete, unicamente descrito pelo seu quádruplo raiz dos quatro maiores círculos e das quatro menores curvaturas. Este quádruplo pode ser encontrado, começando a partir de qualquer outro quádruplo do mesmo tapete, substituindo repetidamente o círculo mais pequeno por um maior que resolve a mesma equação de Descartes, até que nenhuma tal redução seja possível.

Um quádruplo raiz é dito primitivo se não tiver um divisor comum não trivial. Cada quádruplo raiz primitivo pode ser encontrado a partir de uma fatorização de uma soma de dois quadrados, ${\displaystyle n^{2}+m^{2}=de}$, como o quádruplo ${\displaystyle (-n,\,d+n,\,e+n,\,d+e+n-2m)}$. Para ser primitivo, deve satisfazer as condições adicionais ${\displaystyle \gcd(n,d,e)=1}$, e ${\displaystyle -n\leq 0\leq 2m\leq d\leq e}$. Fatorizações de somas de dois quadrados podem ser obtidas usando o teorema da soma de dois quadrados. Qualquer outro tapete de Apolónio inteiro pode ser formado multiplicando um quádruplo raiz primitivo por um inteiro arbitrário, e qualquer quádruplo num destes tapetes (isto é, qualquer solução inteira da equação de Descartes) pode ser formado invertendo o processo de substituição usado para encontrar o quádruplo raiz. Por exemplo, o tapete com quádruplo raiz ${\displaystyle (-10,18,23,27)}$, mostrado na figura, é gerado desta forma a partir da soma de dois quadrados fatorizada ${\displaystyle 10^{2}+2^{2}=8\cdot 13}$.

Círculos de Ford

Os casos especiais de uma linha reta e curvaturas inteiras combinam-se nos círculos de Ford. Estas são uma família infinita de círculos tangentes ao eixo ${\displaystyle x}$ do sistema de coordenadas cartesianas nos seus pontos racionais. Cada fração ${\displaystyle p/q}$ (em termos reduzidos) tem um círculo tangente à linha no ponto ${\displaystyle (p/q,0)}$ com curvatura ${\displaystyle 2q^{2}}$. Três destas curvaturas, juntamente com a curvatura zero do eixo, satisfazem as condições do teorema de Descartes sempre que os denominadores de duas das frações correspondentes somam o denominador da terceira. Os dois círculos de Ford para as frações ${\displaystyle p/q}$ e ${\displaystyle r/s}$ (ambas em termos reduzidos) são tangentes quando ${\displaystyle |ps-qr|=1}$. Quando são tangentes, formam um quádruplo de círculos tangentes com o eixo ${\displaystyle x}$ e com o círculo para o seu mediana ${\displaystyle (p+r)/(q+s)}$.

Os círculos de Ford pertencem a um tapete de Apolónio especial com quádruplo raiz ${\displaystyle (0,0,1,1)}$, limitado entre duas linhas paralelas, que podem ser tomadas como o eixo ${\displaystyle x}$ e a linha ${\displaystyle y=1}$. Este é o único tapete de Apolónio que contém uma linha reta, e não está limitado dentro de um círculo de curvatura negativa. Os círculos de Ford são os círculos neste tapete que são tangentes ao eixo ${\displaystyle x}$.

Progressão geométrica

Quando se assume que os quatro raios dos círculos no teorema de Descartes estão numa progressão geométrica com razão ${\displaystyle \rho }$, as curvaturas também estão na mesma progressão (inversamente). Inserindo esta razão no teorema, obtém-se a equação

$${\displaystyle 2(1+\rho ^{2}+\rho ^{4}+\rho ^{6})=(1+\rho +\rho ^{2}+\rho ^{3})^{2},}$$

que tem apenas uma solução real maior do que um, a razão

$${\displaystyle \rho =\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$$

onde ${\displaystyle \varphi }$ é a proporção áurea. Se a mesma progressão for continuada em ambas as direções, cada quatro números consecutivos descrevem círculos que obedecem ao teorema de Descartes. A progressão geométrica resultante de círculos, com duas extremidades, pode ser disposta num único padrão espiral de círculos tangentes, chamado sequência loxodrómica de círculos tangentes de Coxeter. Foi descrita pela primeira vez, juntamente com construções análogas em dimensões superiores, por H. S. M. Coxeter em 1968.

Configurações arbitrárias de quatro círculos

O teorema de Descartes pode ser expresso como uma equação matricial e depois generalizado para outras configurações de quatro círculos orientados alterando a matriz. Seja ${\displaystyle \mathbf {k} }$ um vetor coluna das quatro curvaturas dos círculos e seja ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ uma matriz simétrica cujos coeficientes ${\displaystyle q_{i,j}}$ representam a orientação relativa entre o i-ésimo e o j-ésimo círculos orientados no seu ponto de interseção: $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {Q} ^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}}.}$$

Então equação (1) pode ser reescrita como a equação matricial

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0.}$$

Como uma generalização do teorema de Descartes, uma matriz simétrica modificada ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ pode representar qualquer configuração desejada de quatro círculos, substituindo cada coeficiente pela inclinação ${\displaystyle q_{i,j}}$ entre dois círculos, definida como

$${\displaystyle q_{i,j}={\frac {r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-d_{i,j}^{2}}{2r_{i}r_{j}}},}$$

onde ${\displaystyle r_{i},r_{j}}$ são os raios respetivos dos círculos, e ${\displaystyle d_{i,j}}$ é a distância euclidiana entre os seus centros. Quando os círculos se intersectam, ${\displaystyle q_{i,j}=\cos(\theta _{i,j})}$, o cosseno do ângulo de interseção entre os círculos. A inclinação, por vezes chamada distância inversiva, é ${\displaystyle 1}$ quando os círculos são tangentes e orientados da mesma forma no seu ponto de tangência, ${\displaystyle -1}$ quando os dois círculos são tangentes e orientados opostamente no ponto de tangência, ${\displaystyle 0}$ para círculos ortogonais, fora do intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$ para círculos não intersectantes, e ${\displaystyle \infty }$ no limite quando um círculo degenera num ponto.

A equação ${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0}$ é satisfeita para qualquer configuração arbitrária de quatro círculos no plano, desde que ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ seja a matriz apropriada de inclinações aos pares.

Geometria esférica e hiperbólica

O teorema de Descartes generaliza-se para círculos máximos ou pequenos mutuamente tangentes em geometria esférica se a curvatura do ${\displaystyle j}$-ésimo círculo for definida como ${\textstyle k_{j}=\cot \rho _{j},}$ a curvatura geodésica do círculo em relação à esfera, que é igual à cotangente do raio intrínseco orientado ${\displaystyle \rho _{j}.}$ Então:

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})+4.}$$

Resolvendo para uma das curvaturas em termos das outras três,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}-1}}.}$$

Como uma equação matricial,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =-1.}$$

A quantidade ${\displaystyle 1/k_{j}=\tan \rho _{j}}$ é o "diâmetro estereográfico" de um círculo pequeno. Este é o comprimento euclidiano do diâmetro no plano estereograficamente projetado quando algum ponto no círculo é projetado na origem. Para um círculo máximo, tal projeção estereográfica é uma linha reta através da origem, então ${\displaystyle k_{j}=0}$.

Da mesma forma, o teorema generaliza-se para círculos mutuamente tangentes em geometria hiperbólica se a curvatura do ${\displaystyle j}$-ésimo ciclo for definida como ${\textstyle k_{j}=\coth \rho _{j},}$ a curvatura geodésica do círculo em relação ao plano hiperbólico, a cotangente hiperbólica do raio intrínseco orientado ${\displaystyle \rho _{j}.}$ Então:

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})-4.}$$

Resolvendo para uma das curvaturas em termos das outras três,

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+1}}.}$$

Como uma equação matricial,

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =1.}$$

Esta fórmula também é válida para configurações mutuamente tangentes em geometria hiperbólica incluindo hiperciclos e horociclos, se ${\displaystyle k_{j}}$ for a curvatura geodésica do ciclo em relação ao plano hiperbólico, o recíproco do diâmetro estereográfico do ciclo. Este é o diâmetro sob projeção estereográfica (o modelo do disco de Poincaré) quando uma extremidade do diâmetro é projetada na origem. Os hiperciclos não têm um centro ou raio intrínseco bem definido e os horociclos têm um ponto ideal para centro e raio intrínseco infinito, mas ${\displaystyle |k_{j}|>1}$ para um círculo hiperbólico, ${\displaystyle |k_{j}|=1}$ para um horociclo, ${\displaystyle |k_{j}|<1}$ para um hiperciclo, e ${\displaystyle k_{j}=0}$ para uma geodésica.

Dimensões superiores

No espaço euclidiano de ${\displaystyle n}$ dimensões, o número máximo de hiperesferas mutuamente tangentes é ${\displaystyle n+2}$. Por exemplo, no espaço tridimensional, cinco esferas podem ser mutuamente tangentes. As curvaturas das hiperesferas satisfazem

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}}$$

com o caso ${\displaystyle k_{i}=0}$ correspondente a um hiperplano plano, generalizando a versão bidimensional do teorema. Embora não exista um análogo tridimensional dos números complexos, a relação entre as posições dos centros pode ser reexpressa como uma equação matricial, que também se generaliza para ${\displaystyle n}$ dimensões.

Em três dimensões, suponha que três esferas mutuamente tangentes são fixas, e uma quarta esfera ${\displaystyle S_{1}}$ é dada, tangente às três esferas fixas. A versão tridimensional do teorema de Descartes pode ser aplicada para encontrar uma esfera ${\displaystyle S_{2}}$ tangente a ${\displaystyle S_{1}}$ e às esferas fixas, depois aplicada novamente para encontrar uma nova esfera ${\displaystyle S_{3}}$ tangente a ${\displaystyle S_{2}}$ e às esferas fixas, e assim por diante. O resultado é uma sequência cíclica de seis esferas, cada uma tangente aos seus vizinhos na sequência e às três esferas fixas, uma configuração chamada hexleta de Soddy, após a descoberta e publicação de Soddy na forma de outro poema em 1936.

Configurações de dimensão superior de hiperesferas mutuamente tangentes em geometria esférica ou hiperbólica, com curvaturas definidas como acima, satisfazem

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=nC+n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2},}$$

onde ${\displaystyle C=2}$ na geometria esférica e ${\displaystyle C=-2}$ na geometria hiperbólica.